分分合合，“简”入人心

李小燕

一、化繁为简——基于学情精准定位

师（出示½）：你能说出一些跟它相等的分数吗？

生：2/4、4/8……

师（板书1-24）：看到这几个分数，有同学提出了这样的问题（课件展示）。

（1）为什么分数会发生不同改变，但相同？（2）为什么有些分数的分母和分子不一样，但它们都相等？

（3）还有其他相等的分数吗？

师：这些是不是好问题？它们为什么相等呢？就让我们从“为什么-2=4”研究起吧！请同学们在学习单上写出自己的想法。

生：都是一半。

生2：12-05，子-2405，g48-05，它们都等于0.5。

生，（出示图1）：看，1个就等于2个等于4个所以相等。

师：还有其他的想法吗？想一想，分數的大小不变，但分子、分母却变了，是怎么变的？

【赏析】学生对相等的分数本就有初步感知，可到底了解到什么程度？什么是学生心底最困惑的？这些学情是上课之前教师必须准确把握的。为此，黄老师设计了前测单：（1）有相等的分数吗？如果有，请你举个例子，并说明理由。（2）仔细观察这几个分数，你发现了什么？（3）你有什么疑问吗？前测的结果多数学生仅对1比较有感觉。学生对问题（3）的回答大多指向同一点：“分数的基本性质是什么？道理何在？”

基于前测，黄老师设计了大问题“为什么124n，这个问题看似简单，背后所蕴涵的内容却很不简单：学生知道1=2，仅仅是借助“一半”或是分数与除法的关系等来理解，这样的理解是浅层的，而分数基本性质要研究的是深层次的数学本质，是分数单位的变化特点，是分子和分母变化中的不变。从学生熟悉的开始，是合适的。因为它是基于学生的已有经验，切合学生的内心所需，也更有思考的空间。在探究过程中，学生可以剪、可以拼、可以画，可以用自己喜欢的方式去探究数学的本质，更容易获得成功的体验，且契合数学研究“从简单到复杂，从特殊到一般”的规律。这就是“知识的生长点”。当学生把它弄明白了，其余的问题，如“还有其他相等的分数吗”也就迎刃而解了，达到“化繁为简”的效果。

二、深析简议一基于本质精准提炼

1.分一同倍缩小。（图2）

生：我发现，是墓幅图的一半，而2也是一半，所以它们的大小相等。

生，：其实2就是把的分子和分母的每一份都再平均分成两份，所以它们的大小不变。

师（边画图边说）：如果我们把2的分子和分母的每一份再继续往下分成两小份，变成4呢？

生齐答：大小还是不变。

师：再继续往下分呢？生：还是不变。

师：是啊，因为新的分数是“再分”出来的。是把的分子和分母，每一份都“再分”成两份，4又是把2的分子和分母每一份又“再分”成两份，数字变大，分数单位却一直缩小，它们的整体“1”和所取的部分其实是不变的。

2.合——同倍扩大。

师：旁什么名会零于时？

（画图示意）：把二的分子和分母每两份来变成一份，就变成，了，所以2

生：如果是，就是分子和分母的每3份都变成一份。

师：所以虽然它们的分数单位一直扩大，也就是分子和分母的数字缩小，但分数的大小不变。这样的变化，其实就是“合并”。不论是“再分”还是“合并”，有一个关键的地方是什么呢？

生：分子和分母的变化必须相同。

师：对，分和合的倍数都要一样，用数学的语言来说，也就是“同时乘或除以一个不为0的数”。只有这样，分数的大小才能保持不变。

【赏析】“再分”和“合并”这两个词语极妙，它们通俗易懂，却把分数基本性质的两种变化讲得清清楚楚。我们知道，小学生正处于具体运算阶段，他们的思维还偏形象化，需要实物或图形来支持数学思维，而数学语言却是高度抽象化的。为此，黄老师借助图形，引导学生画图发现“变化中的不变”一“乘”即相当于画图中的“再分”，“除”就是“合并”，只要图形中的每一份“分”或“合”的倍数是一致的，所取的总量就不会改变，分数值的大小也不会改变。这样简单的话语，配合图形的变化，极具动感，使得抽象的数学用语在学生的脑海中形象起来，学生很容易就能明白知识背后的道理所在。此时，再引出“同时乘或除以一个不为0的数”这样的数学语言也就水到渠成了。

三、以简挈全一基于极限精准概括

1.分一穷究极限。课件出示数线（图3）：

师：这条数线的中间这一点，表示几呢？

生：½，2/4……

师：到底有多少个呢？

生：有无数个，因为的每一份都可以不断地往下分。

师：是啊，每一种分法，都会产生一个新的分数，所以这一点可以用无数个分数来表示。但是，它的大小必须都等于——

生齐答：½。

2.合一以一代万。师：这一点上的所有的分数，我们可以把它看成一个集合。（如图4所示）

师：如果让你选择一个分数来作为这个集合的代表，你会选谁呢？为什么？

生：我会选），因为它数字最小。

生2：我觉得，其他的任何一个都可以，因为它们的大小其实都一样。

生：我赞成生2。像可以“再分”成2，4也可以“合并”出½。

【赏析】如果说前一次的“再分”与“合并”还处于感官认知的层次，这次的“再分”与“合并”则完全是理性建模的高度。通过“表示数线中间点的分数有几个”这个问题的引导，学生明白了分数的每一部分都可以无限地“再分”下去，每一次的分割，都会产生一个新的分数。分法无数种，则新的分数就有无数个，于此学生感受到了极限思想。而“选择一个分数来作为这个集合的代表”这个问题设置得更妙。在这个环节中，“再分”与“合并”得到了“归一”——学生通过探讨得出了结论，许多分数，既可以用“再分”的方法得到，也可以用“合并”的方法得到，只不过想的角度不一样，因此任何一个数都可以当成这个集合的代表。这样简朴的话语说明学生真正理解了分数基本性质的内涵，也为这堂课画下了圆满的句号。

大道至简！因为“简”，才能让知识本质凸显，更容易使人掌握知识要素，也更有生长的空间。但“简”，又不是普通意义上的简单，它要建立在对数学知识深度理解的基础之上，去引导学生理解数学知识的道理、描述数学知识的法则，并建构数学模型。黄伟华老师正是基于对本课内容的深刻领悟，才能提取出“再分”和“合并”这两个接地气的话语。言简意赅，却又直入人心。由此，分数基本性质在学生的心中生根发芽，建立了比较完善的知识结构。

（作者单位：福建省石狮市第三实验小学责任编辑：王彬）