超高层建筑调谐质量阻尼器运动位移的解析计算方法研究

李卫华

（湖南金辉建设集团有限公司，湖南 长沙 410022）

0 引言

高层建筑在常遇的风荷载或者偶遇地震作用下，极有可能会产生较为强烈的振动现象[1]，特别是在台风和地震等极端环境下，高层建筑的振动将尤为显著，这会严重影响高层人群的居住舒适度，甚至会影响结构的安全。因此高层建筑结构的振动控制显得尤为重要，在高层建筑的振动控制方法中，调谐质量阻尼器（tuned mass damper，TMD）是一种结构振动控制的被动装置，因其结构简单，安装方便，造价低廉以及计算理论成熟而被广泛应用[2]。调谐质量阻尼器最早于1909年由Frahm提出，其相关理论由Ormondroyd与Den Hartog于1928年发表在ASME杂志上的文章所建立[3]。调谐质量阻尼器应用范围广泛，高层建筑和大跨度桥梁的抗风和抗震均可采用调谐质量阻尼器进行振动控制，相关工程实践和科学研究不乏其数。在工程实践中，台北101大厦，上海国际金融中心等超高层建筑项目都采用了调谐质量阻尼器来对结构的振动进行控制。然而，现有关于调谐质量阻尼器进行结构振动控制的研究仍然主要集中在主结构的位移或加速度响应上，对调谐质量阻尼器运动行程的研究还很不充分，然而实际工程中很可能会遇到阻尼器安装空间有限的情况，阻尼器运动位移计算方法的研究十分必要。本文采用牛顿第二定律推导出了用于评估阻尼器运动位移的DMFre的解析表达式，为阻尼器的设计和研究提供参考。

1 Den Hartog相对位移计算理论

Den Hartog首先建立了调谐质量阻尼器的相关理论体系，其基于能量原理推导了调谐质量阻尼器相对位移的解析表达式，然而Den Hartog的计算理论只适用于无结构阻尼的情形，对实际的工程应用有着极大的局限性，为了便于本文后续的研究，此处对Den Hartog相对位移计算理论仅做简要介绍。

Den Hartog在其1947年出版的Mechanical Vibrations[3]一书中详细推导了基于能量方法的调谐质量阻尼器相对位移动力放大系数DMFre的计算公式。Den Hartog在该书中认为，结构在受到简谐激励作用时会对结构做功，对结构输入能量，结构物在一个周期内吸收的能量为激励对位移响应的积分，其可以表示为以下形式：

调谐质量阻尼器的简化力学模型如图1（a）所示（忽略结构阻尼的情况）。

图1 考虑阻尼（a）与不考虑阻尼（b）结构-调谐质量阻尼器计算简图

在不考虑结构阻尼时，由台风或者地震对结构输入的能量全部由调谐质量阻尼器的弹簧单元吸收，并由其阻尼单元耗散。基于此，首先定义调谐质量阻尼器与结构的相对位移为xre，则可知其阻尼耗能为：

调谐质量阻尼器的相对位移幅值与结构静位移的比值定义为相对位移动力放大系数DMFre，将式5除以结构的静位移即可得DMFre。

2 调谐质量阻尼器相对位移计算的精确计算方法

2.1 Den Hartog理论的局限性

Den Hartog理论是调谐质量阻尼器的根本性理论，是调谐质量阻尼器在高层建筑中设计安装的基础理论，但是该理论有较为不合理的假设。

反观第一部分Den Hartog理论的推导过程，发现其有两个主要的局限：①只能适用于不考虑结构阻尼的情形，很难应用于实际结构，因为实际结构有着明显的阻尼特性，其既包含了结构的自身阻尼，也可能包含了气动阻尼等，忽略结构阻尼计算得到的阻尼器位移很可能是失真的；②假设了相位角φ=π/2，此条件只在共振时满足，在非共振区，结构振动与调谐质量阻尼之间的相位并不等于90°，因此Den Hartog理论只适用于共振的情形，而在非共振区Den Hartog理论是失效的。

综上所述，Den Hartog理论的局限性较强，限制了其应用的范围。在实际的阻尼器设计当中，由于往往有着安装空间受限的问题，因此准确评估阻尼器可能发生的振动位移有着重要的意义，为了得到准确的振动位移，有必要对有结构阻尼、非共振区的调谐质量阻尼器相对位移动力放大系数进行研究。

2.2 调谐质量阻尼器相对位移计算的精确计算方法

Den Hartog理论从能量原理出发推导得到了不考虑结构阻尼时的调谐质量阻尼器相对位移动力放大系数DMFre计算公式。然而在考虑结构阻尼之后，荷载激励对结构输入的能量由结构阻尼和调谐质量阻尼器阻尼共同消耗，此时调谐质量阻尼器阻尼耗能与主结构能量输入不存在对等关系，因此能量积分的推导方法可能并不适用于有阻尼结构的调谐质量阻尼器相对位移计算。为了更好地克服上述缺点，本文从时间域内进行微分方程的建立并进行求解，首先从牛顿第二定律出发推导调谐质量阻尼器相对位移表达式，这样把结构阻尼考虑在内，Den Hartog理论的第一个局限性被克服。

首先定义相对位移如下式所示

继而可以得到速度和加速度的表达式如下

列写图1（b）所示的有结构阻尼体系的运动方程[4-5]

将式7、8代入式9，可得最终的时域微分方程

根据欧拉公式，设式10有如下解的形式

其中Xs和Xre为复常数，可包含相位差，这样，Den Hartog理论的第二个局限性也被克服，保证了计算结果的精确性。至此，上节提到的Den Hartog理论的两个局限性都被克服，计算结果是精确的。

为了将式10求解，将式11代入式10，最终计算求得Xs和Xre的含复数的表达式，其中i为虚数单位

则调谐质量阻尼器的相对位移动力放大系数可以仿照式6给出，此时为了消除虚数的影响应该取其模

式13是带虚数单位，并采用调谐质量阻尼器及被控结构实际参数的表达形式，为了方便工程应用，本文对其进行进一步的推导，将其简化为一系列的无量纲参数。

2.3 与Den Hartog理论的比较

由前文的分析可知，由于Den Hartog理论基于无结构阻尼的假设，使其仅适用于无阻尼结构调谐质量阻尼器相对位移动力放大系数的计算。利用Den Hartog计算公式及本文推导得到的调谐质量阻尼器相对位移动力放大系数公式，计算无结构阻尼、质量比μ=0.01时的相对位移动力放大系数随荷载频率比g的变化，并与本文理论下质量比μ=0.01、结构阻尼比为0.02时的计算结果进行对比，计算结果如图2所示。

由图2可以看出，在不考虑结构阻尼时，本文精确解与Den Hartog解在频率比为1时是重合的，这是Den Hartog在推导时假设了荷载与结构位移相位角为90°导致的，这与前文的分析完全一致。而在频率比取其他值时，Den Hartog理论的计算精度很不理想，计算所得调谐质量阻尼器的相对位移放大系数偏大较多，这是其推理假设的先天缺陷。此外，当考虑结构阻尼时，计算所得调谐质量阻尼器的位移远低于不考虑结构阻尼的情形，由于Den Hartog没有合理地考虑结构阻尼，使其夸大了调谐质量阻尼器的振动位移，调谐质量阻尼器的安装空间不能被充分利用，这极大地限制了其工程应用，这会导致控制效果大打折扣。

图2 精确解与Den Hartog解的比较

通过分析可以看出，Den Hartog由于没有考虑结构阻尼，其计算所得调谐质量阻尼器的位移行程过于保守，不能充分利用调谐质量阻尼器的安装空间。本文计算理论摆脱了Den Hartog理论的劣势，计算精度较高，可为实际应用提供指导。

3 结语

针对高层建筑抗风抗震中常用的调谐质量阻尼器实际应用中可能存在的安装空间受限的问题，运用牛顿第二定律推导得到了调谐质量阻尼器相对位移放大系数DMFre的精确解析表达式，并与Den Hartog理论下的计算结果进行了对比，分析了Den Hartog理论的局限性，证明了本文方法的优势。本文方法适用性广，计算结果精确，可为相关阻尼器的设计与研究工作提供参考。