基于MATLAB和TOPSIS法的齿轮齿条转向器的参数优化＊

曹飞红，赵海军，朱威冲

（1.碧桂园控股有限公司广东皓耘科技有限公司，广东 佛山 528311；2.天津职业技术师范大学汽车与交通学院，天津 300222）

1 前言

转向系统是用来保持或者改变汽车行驶方向的机构，在汽车转向行驶时，保证各转向轮之间有协调的转角关系，机械转向系依靠驾驶员的手力转动转向盘，经转向器和转向传动机构使转向轮偏转。有些汽车还装有防伤机构和转向减振器[1]。齿轮齿条式转向器由转向轴做成一体的转向齿轮和常与转向横拉杆做成一体的齿条组成。与其他形式的转向器相比，齿轮齿条转向器最主要的优点：结构简单、紧凑；壳体一般采用铝合金或镁合金压铸而成，转向器的质量比较小，传动效率高达90%。齿条背部靠近小齿轮处还有调节弹簧，可自动消除齿间间隙，还可以提高系统刚度，减小工作时的冲击和噪声[2]。许多工程技术人员进行了齿轮齿条式转向器的优化，刘向丽进行了齿轮齿条式转向器的 CAD建模，并进行了CAE分析[3]，张瑛进行了转向机最大齿条力的分析与优化[4]。即使到目前普遍采用电动助力转向系统，齿轮齿条式转向器在转向系统教学演示、现场培训及后市场服务中仍发挥重要作用[5][6]。本文首先建立齿轮齿条式转向器结构、使用条件、受力等参数关系，然后介绍TOPSIS法的原理，最后以工程案例进行详细的齿轮齿条转向器的具体参数。

2 理论基础

2.1 参数关系

转向器的设计，需要求出作用在方向盘上的手力Fh、转向器的传动比iw、转向器力传动比ip、转向阻力矩MR、转向阻力Fw、转向盘转动的圈数n、主销偏移距a、内、外转向偏转角β、α，以及最小转弯半径R等。

转弯半径R与转向轮的内、外偏转角之间存在以下关系式（1）。

最小转弯半径在2L＜R＜2.5L之间。主销偏移距a不能选得太大，亦不能选得太小，初定范围为45≤a≤55。

转弯半径与外转角的关系式如下（2）。

由内外偏转角与最小转弯半径的理想关系式（1）可得到内转角β与最小转弯半径之间的计算如公式（3）。

首先通过最小转弯半径在2L到2.5L之间，步长为10作为一个大循环，其次通过主销偏移距a在45到55这个范围内做一个嵌套循环，主销偏移距的步长为 1，寻找同时满足（2）、（3）关系式，且符合α＜β的条件下的最小转弯半径R、主线偏移距a，如果满足以上的条件就输出α、β、a、R。

初步计算出了最小转弯半径R、主销偏移距a、最大外转角α、最大内转角β，最小转弯半径R、主销偏移距a、最大外转角α、最大内转角β可作为下一步求解作用在方向盘上的手力Fh、转向器的传动比iω等数据的已知条件。

1）计算转向系统的转向阻力矩MR如公式（4）。

取胎压p=0.2Mpa，胎与路面间的滑动摩擦因素f=0.7，G1=0.3G，货车满载时的前轴转向轴负荷一般取汽车满载系数的0.3。

计算转向系统的阻力Fw如公式（5）。

2）计算转向器的传动比iω如公式（6）。

计算作用在方向盘的手力Fh如公式（7）。

2.2 TOPSIS算法基础

TOPSIS是C.L.Hwang和K.Yoon于1981年首次提出，TOPSIS法根据有限个评价对象与理想化目标的接近程度进行排序的方法，是在现有的对象中进行相对优劣的评价。TOPSIS法是一种逼近于理想解的排序法，该方法只要求各效用函数具有单调递增或递减性就行。TOPSIS法是多目标决策分析中一种常用的有效方法，又称为优劣解距离法。通过计算结果可知，满足条件的数据有很多组，没法确定哪一组是同时满足转向轻便性和转向灵敏性、机动性最好的一组数据，故需要用到TOPSIS法对上述数据进行排列，找到一组最优的数据，即在综合情况下，转向系统的轻便性、灵敏性、转弯的机动性最好的一组数据。计算的方法步骤如下所示。

1）用向量规划的方法求得规范决策矩

设多属性决策问题的决策矩阵A-（aij）m×n，规范决策矩阵B-（bij）m×n，计算公式如下如公式（8）。

构造加权规范矩阵C-（cij）m×n，设由决策人给定的权重向量设为w=[w1，w2，…wn]T则cij=wj.bij（i=1，2，…，m，j=1，2，…，n）。

2）确定正理想解C*和负理想解C0

设正理想解C*的第j个属性值为Cj*，负理想解C0的第j个属性值为Cj0，则正理想解

负理想解

计算各方案到正理想解C*与负理想解C0的距离

备选方案di到正理想的解的距离如公式（9）。

备选方案di到负理想的解的距离如公式（10）。

3）计算各方案的排序指标值

3 案例计算

某微型卡车轴距L=3300mm，轮距B=1400mm，满载时的重量G=3t，胎压p=0.2Mpa，转弯半径为2L＜R＜2.5L，主销偏移距为 40mm≤a≤60mm，作用在方向盘上最大的手力Fh＜200N，卡车转向盘从中间位置转动每一端圈数小于3圈，即0＜n＜6。

通过Matlab把上述的式子编成程序，程序如下所示[7]：

clc

clear

data=load("C:UsersdellDesktopjisuanshujushujuyi.txt")；%导入数据

A1=data(:,3)； %内轮转角

A=data(:,2)； %外轮转角

B=A1+A； %求内外轮转角之和

a=data(:,1)； %主销偏移距

G=0.3*3000*10； %计算满载时的前轴负荷

P=0.2； %轮胎气压

D=425； %方向盘的直径

t=0.97； %传动效率

MR=(0.7/3)*sqrt((G^3)/P)； %计算原地转向阻力矩

Fw=MR./a； %计算轮胎上的阻力

A2=cosd(A1)；

for n=4.2:0.1:5.2

iw=(n*360)./B,%转向盘的圈数从4.2到5.2变化计算转向器的角传动比

Fh=（2*MR）./（D*iw*t），%转向盘的圈数从4.2到5.2变化计算作用在方向盘上的手力

在计算作用在方向盘上的手力Fh、转系器的传动比iω时，由于转向盘的最大转动圈数无法确定，故在编程的时候，以转向盘转动的圈数作为一个for循环，转向盘最大转动圈数n设定的值从4.2变化到5.2，步长为0.1，再通过把内、外偏转角内、外偏转角数据带入进去计算，最后算得作用在转向盘上的手力Fh、转向器的传动比iω、转向盘的最大转动圈数n等。

通过Matlab编程，把计算得到最小转弯半径R、转向器的传动iω、作用在方向盘手力Fh进行数据标准化处理，即进行向量归一化。

把初始值归一化处理后，最小转弯半径R、转向器的传动比iω、作用在方向盘的手力Fh的权重按 0.1、0.45、0.45的比例选取，即主要考虑转向系统的轻便性与灵敏性，其次再考虑到汽车的转弯机动性。计算结果通过排序，得出最优结果如表1所示。

表1 转向系统主要参数

由表1可知，最终的最小转弯半径是6910mm、主销偏移距为 50mm、最大外转角为 28.75°、对应的内偏转角为33.72°、转向盘最多转动的是4.8圈，符合货车转向盘转动最大圈数小于6的设计要求。转向器的传动比是27.66，符合转向器传动比大于23小于32的设计要求。作用在方向盘的手力为78.14N，符合作用在方向盘的最大手力不超过128N的设计要求。汽车的转向阻力为8909.55N，转向系统的力传动比为228.05。

4 结论

通过Matlab编程，运用TOPSIS法评价，在主要考虑汽车转向轻便性与转向灵敏性的大条件下和兼顾转弯机动性的情况作用下，作用在方向盘上的手力、转向器的传动比、最小转弯半径的权重按0.45、0.45、0.1的比例选取，通过具体案例确定了齿轮齿条转向器角传动比、最小转弯半径、主销偏移距、外轮转角、内轮转角、转向盘最大转动圈数、作用在方向盘上的手力。