打磨 打通 打开 高观点视角下的复习与整理——以《正、反比例复习》为例

文｜钱建兵

“高观点”思想是德国杰出的数学家菲利克斯·克莱因于20世纪初在《高观点下的初等数学》这本书中提出来的。克莱因认为，基础数学的教师应该站在更高的（高等数学）视角来审视、理解初等数学问题，只有观点高了，事物才能显得明了而简单；一个称职的教师应当掌握或了解数学的各种概念、方法及其发展与完善的过程以及数学教育演化的经过。数学教材的编排具有螺旋上升的特点，知识之间的层级较为明显，教学中需要在更高的视角审视、理解层级较低的问题，从而理解数学的本质。早期通过铺垫、渗透的知识，在高级阶段通过适当地唤醒、拾取，学习者前后的经验得以延续与贯穿，形成知识的序列与结构。如学习新知过程中的复习铺垫、反思回顾等环节，就是一种唤醒旧经验连接新经验的过程。本文以《正、反比例的复习》为例，着眼于高观点，瞻前顾后，从而达到融会贯通、深度理解知识的教学目标，形成完整的知识结构。

一、打磨已知：在比较中精致结构

格式塔心理学认为：学习主要不是加进新痕迹或减去旧痕迹的问题，而是要使一种完形改变成另一种完形。这种完形的改变可以因新的经验而发生，也可以通过思维而产生，学习就是知觉重组或认知重组，知觉重组或认知重组注重的是认清事物的内在联系、结构和性质。只有通过整理比较，形成清晰的结构，才能更有效地去融合之前的知识与经验，将两个独立存在而实质具有联系的结构进行融合。对概念的清晰认识是建立良好知识结构的前提，所谓清晰，就是要厘清相似概念的联系与区别，从更细致处去把握概念，将原有认识进行打磨，在形成知识结构的基础上整体把握知识的本质与内涵。如对正比例与反比例的理解，不是仅从外部“比值一定”“乘积一定”或是图象上去区别二者，而是要深入概念的整体与内部，增强学生对比例是表示关系即函数思想的理解。“正”“反”是相对的概念，只有通过对比，才能体现自身。

通过两个例子对两个概念进行梳理。经过比较，得出了正、反比例的相同点：都有两个变化的量，一个量的变化引出另一个量的变化，且变化中都有不变的因素。在此基础上，可以打磨细节，让学生说一说对“正”“反”的理解，有的学生从变化方向角度去解释，也有的学生从图形利用图象进行描述。根据学生的回答形成下表，由此学生对正、反比例相同与不同的认识从粗糙走向精致。

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通过学生条理清楚的表达，以表格、思维导图等形成知识之间的联系。通过具体例子，首先帮学生提取相关概念的内涵与外延；再组织比较，形成了比较清晰的正、反比例的概念结构。要特别重视结构的精致过程，结构越通透，其吸纳整合其他知识、同化融合其他结构的能力就越强。

二、打通旧知：在“吐故”中融合结构

结构融合即建立新结构与原有概念或结构之间的联系，把原有概念与结构纳入新的认知结构中，使原有概念被赋予新的意义与视角。由于之前是以渗透的形式教学，是经过了适合儿童思维水平改造后呈现，所以知识呈现的视角会与正式学习时有所不同。当儿童正式学习某一知识时，因首因效应，对先前改造后学习的知识会有深刻的印象，后期学习时也不会从新的视角去认识，结构的整合并不是自动的。所以教学要在恰当的时候积极寻找中间地带，促进两个结构系统对质，并积极促进旧的结构同化融入到新的知识结构之中。

正比例与反比例在学习了乘、除法的计算之后逐步渗透，教材以探索规律的形式让学生感受变化的思想。如（图1）：

图1

这样的例子在教材中非常多，有练习中的也有以规律、性质等教学形式出现的，如商不变的规律、分数的基本性质、比的基本性质等。可以说，通过之前的学习，学生能感受到一个量的变化引起另一个量的变化，对变化的方向也较为清晰，但不能跟正、反比例联系起来，也不能建立起变量的概念，算术的思维始终影响代数思维的发展。对规律的解释，还只是一种经验，缺少相应的理性抽象的思考。因此，从学生思维发展的角度讲，需要一个提升与转变。

从正、反比例的学习过程来看，需要融会贯通才能深度理解。在教学中，我们发现学生是基于具体计算比值相等、乘积相等或图象直观去判断两个量存在哪种比例关系，对于用关系式进行判断，由于不能（或缺少相应的元认知）将自己想到的关系式根据乘、除法之间的关系转化后进行判断，学生对正反比例的判断能力较差。如，三角形的底一定，面积和高是什么比例关系？学生首先想到的是面积计算公式，而不会主动地将这个公式转化成面积除以高等于底除以2，然后判断比例关系，但是却知道“面积不变，底扩大多少，高要缩小多少”这样的关系。

在对正、反比例的概念进行梳理之后，引导学生用比例去思考之前学过的知识，以深化对比例的认识。

首先是乘法中的变化规律。出示（图2）：

图2

说一说这是什么规律？能用比例的知识解释吗？并让学生用字母关系式a×b=c（a、b、c 均不为0）表示，说一说三个量的比例关系。在完成抽象表达之后回到情境，说一说常用数量关系中的比例关系：单价×数量=总价、工作效率×工作时间=工作总量……

接着是从比例的视角发现除法中的变化规律。用字母关系式：a÷b=c（a、b、c 均不为0）表示后引导学生用比例的知识解释：商不变的规律、分数的基本性质、比的基本性质。小结：一个乘法或除法关系式的三个量中，只要一个量确定了，就可以确定其他两个量是正比例或反比例关系。可以根据乘法或除法关系式判断比例关系。用比例的眼光看面积、体积的变化规律：正方形边长乘以或除以一个不为0 的数，周长怎么变化？圆的半径扩大3 倍，周长怎么变化？

当学生从现在的学习角度去看原来的知识与结构并获得一种解释时，不仅仅是一种结构的形成，更是理解上的深入。学生会产生“原来那就是比例，原来比例就是之前学习的变化规律”的想法，这样更有助于学生理解比例的意义。通过这样的回顾，从一个更高的视角看原有的知识，“站起来环顾四周”更容易有一种整体感，促进原有知识的同化或顺应，让新结构得以形成，理解得到深入。

三、打开未知：在“纳新”中延伸结构

当旧知通过反思融入结构中，产生一个新结构，结构仍处于平衡状态。这时，教学要引导学生再一次制造冲突，制造新的不平衡，将这个结构开放、生长、延伸。皮亚杰认为，全部数学都可以按照结构的建构来考虑，而且这种建构始终是完全开放的……这种结构或者正在形成“更强的”结构，或者在由“更强的”结构来予以强化。

从复习课的角度讲，复习的要点在于沟通知识之间的联系，形成更大、更清晰、更牢固的知识网络。所谓更大，就是瞻前顾后，站在现在去俯视原有的知识，将原来教材中渗透的、不系统的知识放到现在的一个比较系统的知识中，形成一个结构。瞻前，就是如本课中，对乘、除法运算中的变化规律从正、反比例的角度对其解释。顾后，就是将现有知识放在一个更高的观点上，让学生更近距离地去接触这一知识的本质，正、反比例是函数的学习基础，让学生画比值不同的比例感受一下，为后续学习打开一扇窗。瞻前顾后，复习课应做到上不封顶、下要保底。

如果将正、反比例的学习放在一个更上位的概念系统中看，应该是函数学习的一部分。因此，这一内容的学习应该是中学函数知识的前期准备，在这一准备中，应该有着后续学习所需要的“种子”，正如前期学习乘除法中的变化规律一样。在教学中我是这样渗透和铺垫的。首先通过《学习单》（图3）引导，画出的图象。

图3

图4

组织观察：这些直线有什么变化？你觉得与什么有关？学生发现直线的倾斜程度与比值有关。再引导学生聚焦直线的倾斜程度：倾斜程度的大小是从哪里看出来的？比值与夹角有什么样的关系呢？这些问题，让学生意识到正比例的价值，更激发了学生探究的欲望。重要的是让学生能对正比例产生问题，问题使结构常新，新的结构始终保持着一种开放的状态。

高观点下的复习整理，要整理、贯通，促使结构的生成。一是知识内部的联系紧密，加强知识之间的联系，从模型、本质的角度去理解知识，促使知识的“原来—现在—将来”能成为一个牢固的整体；二是不断在学生心中产生问题，保持结构的开放，使结构常新。