叠合矩形的多解探究

裘依玲

摘  要：折叠在初中阶段的几何学习中有较广泛的应用，2017年金华数学中考第23题就以折叠为背景，叠合矩形的定义展开，探究了特殊四边形折叠成叠合矩形所存在的图形类型和图形中存在的数量关系，三小题由浅及深，充分考察了学生的数学核心素养。本文以23题为基础对多边形折叠成叠合矩形展开进一步的分类探讨研究，归纳折叠方法和类型，为折叠复习提供一些思路。

关键字：折叠，叠合矩形，多边形

一.前言

2017年金华数学中考的第23题总题干中通过将△ABC纸片沿中位线EH折叠，使点A的对称点D落在BC边上，再将纸片分别沿等腰△BED和等腰△DHC的底边上的高线EF，HG折叠，折叠后的三个三角形拼合形成一个矩形（如图一），从而给出叠合矩形的定义，即类似地，对多边形进行折叠，若翻折后的图形恰能拼成一个无缝隙、无重叠的矩形，这样的矩形称为叠合矩形。而后的三个小题针对平行四边形和直角梯形折叠成叠合矩形，进行了图形的分类探讨计算，故下文中我们也针对多边形进行分类，先探讨不同类型的多边形如何折叠成叠合矩形，以及折叠中存在的一些数量关系。

二.分类讨论，探究叠合矩形产生方法

研究叠合矩形产生的方法不妨先研究折叠需要产生的角和边，因为折叠可以产生的图形有很多，而我们需要的叠合矩形是一种特殊的平行四边形，它有四个直角，这就是折叠方法的关键突破口。折叠问题（翻折变换）实质上就是轴对称变换，对称轴是对应点的连线的垂直平分线，所以要使翻折后的图形恰能拼成一个无缝隙、无重叠的图形，折痕所在位置必定和边的中点有关;而要折叠出90度的角，我们可以将边所在的直线看成一个180度的角，然后考虑分成经过一次折叠和两次折叠，折叠次数再多就无法构成矩形了。若是一次折叠，只需将180度的角对折平分成两个90度的角，若分成两次折叠，即将180度的角分成两两相等的四个角，其中中间两个角一边重合，组合在一起即为一个90度的角，这就是寻找折痕的突破口。那么不同的多边形折痕的位置自然也是不同的，接下来我们就由浅入深进行进一步的探索。

（一）三角形

这里主要分普通三角形和特殊三角形两种情况展开研究，特殊三角形则主要研究直角三角形和等边三角形。

1.普通三角形

普通三角形折叠成叠合矩形的方法在23题的题干中已经给出，即沿着一条中位线和两条高线折叠三次，三个三角形即可组成叠合矩形，如前言中的图一。这里选取的中位线没有特殊的要求，三条中位线中任意一条都可以作为折痕，再取折叠之后构造出的两个等腰三角形底边上的高线进行折叠即可。所以我们可以归纳出一个结论：任意的三角形都可以折叠得到叠合矩形。

2.直角三角形

直角三角形折叠成叠合矩形有一个便利之处，即它本身就已经存在一个直角，那么只需再折叠出三个直角即可。如图二，因为要使翻折后的图形拼成一个无缝隙、无重叠的矩形，可以参考23题的折叠方法，将△ABC纸片沿中位线DE折叠，使点A与点B重合，再将纸片沿等腰△BCE的底边上的高线EF折叠，折叠后的两个三角形拼合形成一个矩形即可。所以直角三角形折叠成叠合矩形最少只需折叠两次，不过，如果我们选取的中位线是DF，那么也需要经过三次折叠。我们也可以进一步考虑一下直角三角形中更加特殊的等腰直角三角形，折叠方法是不变的，不过折出的叠合矩形更加特殊，即为叠合正方形。

3.等边三角形

等边三角形折叠成叠合矩形的方法与普通三角形是一致的，如图三，但是由于等边三角形三边相等的特殊性质，我们可以找到它折叠后产生的叠合矩形的长与宽之比是一个定值。不妨设等边三角形边长为 ，由于线段EH为中位线，所以可以由中位线的性质得 。再来看一下线段EF，它存在于含30度，60度角的直角三角形中，两直角边与斜边含有 的关系，由此可得 ，而 ，所以 ，由此，可以得到叠合矩形的长宽之比即 。

三.结束语

回顾之前的研究，我们不禁会思考，多边形折叠成叠合矩形需要满足什么条件才可以呢？在四边形中，可以一组对边平行，也可以对角线互相垂直，而后面多边形的边数增加之后，折叠成叠合矩形就十分困难了。将以上的图形整合在一起观察，我们可以初步的得到这样一些折叠的方法和多边形折叠成叠合矩形需要满足的条件：由于叠合矩形无缝隙无重叠的特殊性，折痕的端点中必须有两个或者两个以上是边的中点;折叠之后，多边形的内角必须刚好组合在一起凑成180度或者360度，否则无法折叠得到无缝隙的矩形。

金华2017年数学中考第23题难度不是非常大，并且第（2）小题在课本中出现过，学生通过平时对折叠知识的学习，做到第三小题的第一種情况应该不是非常困难，而第二种情况就需要多一些思考了。建议学生在遇到此类问题时，多思考，多动手，将实际情况抽象成图形表示，再进一步求解。我们也发现，许多中考题都立足于课本中的探究方法和课题学习展开，考察学生对数学方法和思想的理解以及应用，即学生的数学核心素养。学生应在数学学习过程中有意识的培养基于数学知识技能又高于具体知识技能的综合性，整体性，持久性的数学素养，这样有助于在具体情境中发现问题，提出问题和解决问题。

参考文献：

[1]孙联荣.用折纸探究几何问题.数学教学.2006.8.

[2]万涛.有关初中数学折纸问题的分析.数学之友.2012.24.

[3]赵丽珠.“巧”解初中数学中的折叠问题.课程教材教学研究.2013.1.

（浙江省永康市永康中学）