向思维深处漫溯

【摘要】数学思想是数学知识的灵魂，学生在运用思想方法解决问题的过程中积累经验，提升素养.数学素养的提升有助于学习新的数学知识，有助于分析和解决新的数学问题，两者相辅相成，密不可分.

【关键词】数学思想;数学素养;方程

1教材分析

方程的出现源于解决实际问题的需要，利用方程解决问题可以增强学生学数学、用数学的意识.七年级学生在经历从问题到方程并学会解一元一次方程的基础上，进一步学会用方程解决实际问题，通过对实际问题中数量关系的分析，列出一元一次方程解决问题，凸显方程是刻画现实世界的有效数学模型，并体会由实际问题抽象为方程模型过程中蕴含的数学思想，学会从思想方法的高度去分析和解决问题，提升自身的数学素养.

2学情分析

学生在小学阶段学习过用算术方法解决一些实际问题.步入初中后，先后经历了从问题到方程，利用等式的性质解一元一次方程，并在此基础上，经历了各类实际问题的分析和解决，如数字问题、行程问题、工程问题等.但对蕴含其中的数学思想体会不深，多数同学没有达到从数学思想层面上对问题进行深刻认识，亟需重新审视“用方程解决实际问题”的过程和方法，實现思维上的飞跃与提升.

3教学目标

以数学思想为主线，以提升数学学科素养为目标，通过对“用方程解决问题”中的思想方法专题复习，在用方程解决问题的过程中，注重对数量关系的分析，突出解决问题的策略，借助图表、示意图整体把握和分析题意，寻找相等关系，建立方程模型，让学生积极参与活动，独立思考、合作交流，充分感悟其中隐形的数学思想方法，逐步积累经验，提升数学素养，实现从感性认识到理性认识的飞跃.

4教学重难点

重点：从数学思想的高度分析“用方程解决问题”的策略和方法，体会解决问题过程中隐藏的数形结合、分类讨论、方程、转化、整体、建模等数学思想方法.

难点：数学思想蕴涵在数学知识形成、发展和应用的过程中，如何引导学生体会、感悟并形成解决问题的能力与素养，对老师和学生的能力要求都很高.

5教学过程

老师：同学们，我们学习过哪些数学思想方法呢？

学生（齐）：数形结合、分类讨论、方程思想、转化思想……

老师：好的，今天老师将带领大家在“用方程解决问题”中进一步体会数学思想.

（1）年龄之谜

例1小丰、小婷的年龄之和为29岁;小婷和小东的年龄之和为27岁;小丰、小东的年龄之和为28岁，他们的年龄分别是多少？

老师：这是一道关于三人年龄的问题，我们怎么设未知数？

学生1：设小丰、小婷、小东的年龄分别是x，y，z岁，由题意可以列出方程组x+y=29，

y+z=27，x+z=28，然后解方程组即可.

老师：（追问）很好！如果设小丰的年龄为x岁，你能用含x的代数式表示出小婷和小东的年龄，并用方程解决问题吗？

学生2：可以，设小丰的年龄为x岁，则小婷的年龄为29-x岁，小东的年龄为28-x岁，根据小婷和小东的年龄之和为27岁，可列方程29-x+28-x=27，从而解决问题.

老师：很好！大家从中体会到了哪些数学思想？

学生3：方程思想.

学生4：（补充）转化思想.

老师：（追问）从哪儿体会到了转化思想？

学生4：设出小丰的年龄为x岁，可以表示出小婷和小东的年龄，这就是转化思想的体现.

点评用方程解决问题本身就蕴含着方程思想，无论是设三个未知数还是设一个未知数，都离不开用方程解决问题的思路，所以方程是解决问题的一个很有用的工具.

老师：解决了年龄问题，请大家接着分析足球问题.

（2）足球之谜图1

例2丰丰、东东两人都是足球迷.足球一般是用黑白两种颜色的皮块缝制而成，如图1所示，黑色皮块是正五边形，白色皮块是正六边形.若一个球上共有黑皮块12块，求白色皮块的块数.

老师：（左手托着足球）Whats this？

学生：（兴奋地齐声）Its football.

老师：怎样求白色皮块的块数？

（学生由兴奋状态立即转为鸦雀无声，都在努力思考如何寻找解题的突破口.）

老师：老师提醒大家，注意看问题的角度，你有什么发现？（左手托着足球，眼睛盯着足球的黑皮块，一边用右手指住一边说：“我的眼中只有你.”）

学生5：从黑皮的角度看，每个黑五边形有5条边与白皮相连，从白皮的角度来看，每个白六边形有3条边与黑皮相连.

老师：（追问）在这个发现中，有什么不变的相等关系？

学生5：黑皮与白皮的公共边的数量不变.

老师：很好！若设白色皮块的块数为x，如何列出方程？

学生6：从白皮的角度来看，有3x个边与黑皮相连;从黑皮的角度来看，有12×5条边与白皮相连，所以列出方程：3x=12×5.

老师：（竖起大拇指）厉害！（话锋一转）还有没有与这个角度不一样的方法？

学生7：（举起高高的手）我是从两种皮块的顶点看的.

老师：（追问）请具体一点.

学生7：从黑皮的角度来看，每个五边形有5个顶点与白皮相连，从白皮的角度来看，每个六边形有6个顶点与黑皮相连，但每个顶点处涉及一个黑皮和两个白皮，所以白皮的顶点重复一次，所以可列方程：5×12=6x2.

老师：太好了！在解决问题的过程中，大家体会到了什么数学思想？

学生8：数形结合.

老师：对，除了运用方程解决问题，更重要的是结合足球，通过数形结合，调换看问题的角度解决问题.

点评将足球带进课堂，通过对实物的观察，从中体会数形结合的数学思想，让学生真真切切地学会解决问题的方法，是教者用心设计的体现，学生从中受益匪浅，终身难忘.

（3）时间之谜

例3已知A、B两地相距400米，小明和小兵分别从A、B两地同时出发，相向而行，已知小明的速度为6米/秒，小兵的速度为4米/秒，经过多少秒两人相距100米？

老师：请大家认真读题，画出线段图，结合图形解决问题.

学生9：（上台展示）设行驶x秒时，两人相距100米，如图2所示，小明行驶了6x米，小兵行驶了4x米，根据题意得：6x+4x+100=400，解之得：x=30，所以经过30秒两人相距100米.

老师：有没有需要补充的？

学生10：（高高地举起手）老师，这是相遇之前，还有一种情况，就是两人相遇之后相距100米，（上黑板画出草图，如图3所示）此时可得方程：6x+4x-100=400，解之得：x=50，所以经过30秒或50秒两人相距100米.图3

老师：补充得很好！大家从中体会到了怎样的数学思想方法？

学生11：分相遇前和相遇后两种情况，“分类讨论”的思想.

老师：（幽默地）对，“相遇前，相遇后，分类讨论解不漏！”

学生12：画线段图解决问题，“数形结合”的思想.

老师：不错，“行程问题含相距，严防多解两数据！”最终得出了结果，依据是什么？

学生13：（抢着说）方程，所以还有“方程思想”.

老师：归纳得都不错！下面我们继续放飞数学思想……

点评通过画线段图，引导学生分两种情况列出方程解决问题，让学生感悟其中蕴含的思想方法，并归纳朗朗上口的“口诀”，提升学生的学习力和思维力.

（4）路程之谜

例4小东和小丰在一条笔直大路上的A、B两地间来回练习长跑，若小东从A地、小丰从B地同时出发，开始相向而行，并在离A地500米处第一次相遇，相遇后继续前进，小东到达B地、小丰到达A地后立即返回，在离B地300米处再次相遇，求AB之间的路程.

老师：请大家结合题目中的条件，画出线段图进行分析.

学生14：（上黑板画出线段图展示如图4）图4

老师：同学们，题目的条件中既没有速度，也没有时间，我们如何找出等量关系，列出方程？

请大家分小组展开讨论.

老师：（思考片刻无果）如果从小东和小丰中某一个人的角度去思考，你会发现什么？

学生15：（小组代表）设AB之间的路程为x米，因为两人第一次相遇在离A地500米处，所以站在小东的角度看，两人行完一个全程小东行了500米，第二次相遇时两人共行完3个全程，所以小东一共行了3×500米;再换一个角度，第二次相遇时离B地300米，则小东一共行了x+300米，两个量不变，所以得到方程：3×500=x+300.

老师：太棒了！只要我们抓住小东这一方所走的全程，用两种不同的方法表示出来就好了！（话锋一转）如果换个角度，只看小丰行走的全程，我们能得到什么方程呢？

学生16：x-500×3=2x-300，等式的左边表示两人行一個全程时，小丰走x-500米，3个全程需要乘以3，等式的右边表示第二次相遇时，小丰共行了2个全程少300米，“两个角度同一人”，所以它们相等.

老师：那么，这两种方程所得结果相等吗？大家解出来验证一下.

学生17：相等.

老师：问题解决了，你从中体会到了怎样的数学思想？

学生18：整体思想、方程思想.

老师：（追问）怎么理解其中的整体思想呢？

学生18：从小东的角度看，一个全程小东走了500，三个全程小东走了3个500，一个全程作为一个整体;从第二次相遇时来看……

老师：归纳得很好！正所谓：“行程问题全路程，只看一方走全程”.

点评运用整体思想的关键是选好看问题的角度，然后用两种不同的方式去理解问题，并把它们表示出来，形成等量关系，以达到解决问题的目的.

（5）设计之谜

例5请你设计一个满足一元一次方程3x=4x-1的问题情境（编写一道应用题）.

老师：请大家畅所欲言.

学生19：一批旅客入住旅馆，原计划3人一间，正好住满，若4人住一间，则可少安排一间，问原计划安排多少间？

学生20：李叔叔加工一批零件，原计划每天做3个，正好如期完成，如果每天做4个，那么可以提前一天完成.加工完这批零件需要多少天？

学生21：小东和小丰一起跑步，已知小东比小丰每秒多跑1米，小东3秒钟跑的路程与小丰4秒钟跑的路程相等，求小东和小丰跑步的速度分别是多少？

学生22：已知某超市的香蕉比橘子每千克贵1元，小明用所带的现金能购买3kg香蕉或4kg橘子，问：香蕉和橘子的单价分别是多少？

……

老师：大家编写的问题种类很多，有住宿问题、工程问题、路程问题等等，由方程到问题，这是一种什么思想体验？

学生23：逆向思维.

老师：对！根据方程反过来建立生活模型，建模思想.

点评建模思想通常是由问题出发，构建方程、函数、不等式等数学模型予以解决问题，但根据方程逆向编写题目，构建生活问题对学生而言是一种逆向的思维方式，也是一种新的尝试，有助于学生思维空间的拓展.

老师：通过今天的探究，你体会到了哪些数学思想方法？

学生24：用方程解决问题的方程思想、数形结合、分类讨论.

学生25：还有转化思想、整体思想、建模思想等.

老师：同学们，我们学习数学就离不开数学的思想方法，让我们畅游在数学的谜海中，扬起智慧的风帆，放飞数学思想，让思维自由飞翔！

6教学反思

6.1数学思想方法的培育依附于数学活动过程

数学教学有两条线，一条是明线，即数学知识的教学;一条是暗线，即数学思想方法的教学，它们之间存在着某种对应关系.对于学生而言，运用数学方法解决问题的过程就是感性认识不断积累的过程，当这种积累达到一定程度后就会产生飞跃，从而上升为数学思想，一旦数学思想形成之后，便对数学方法起着指导作用.学生在积极参与教学活动的过程中，通过独立思考、合作交流，逐步感悟数学思想的存在.当学生学会分类讨论、数形结合，学会用方程解决问题后，将有助于学习新的数学知识，也有助于分析和解决新的数学问题.

如例3中的时间之谜：“经过多少秒两人相距100米？”例4的路程之谜：“求AB之间的路程.”解决这两道题目的过程，既体现了运用数学知识解决实际问题，又让学生在不知不觉中体会了分类讨论、整体、方程等思想方法，使其养成独立思考、反思质疑的学习习惯以及严谨求实的科学态度.依托这些实际问题的分析、思考，使学生在解决问题的过程中不断体会数学思想，逐步提升数学素养.

6.2数学思想方法的感悟是提升素养的有效途径

具备数学学科素养，表现为会用数学的眼光观察世界、会用数学思维思考世界、会用数学语言表达世界.数学问题中的“数形结合”思想是最常见，也是应用最广泛的一种数学思想方法，数学中我们常用到的三种语言：文字语言、图形语言、符號语言，“数形结合”思想的运用恰好把这三种语言融合在一起进行思考，是提升素养的有效途径.

例2中的“足球之谜”，如果没有足球的“形”，那何来解决问题的数？没有了对足球的仔细观察，也就谈不上依托五边形和六边形“公共边”的关系列方程，或者从公共顶点的角度去思考，所以数形结合是研究数学问题的有效途径和重要策略，它体现了数学的和谐美、统一美.数形结合可以调动和促进学生形象思维和抽象思维的协调发展，沟通数学知识之间的联系，从复杂的数学关系中凸显最本质的特征.由此可见，数学思想方法的渗透和数学学科素养的培育目标一致，前者可以为后者实现重要、可靠的路径铺垫.

6.3数学思想方法的应用与数学素养的提升相辅相成

义务教育数学课程标准（2011年版）从四个方面阐述了课程总目标：知识技能、数学思考、问题解决、情感态度.与“数学思想方法”对应的是第二阶段的数学思考，与“数学核心素养”对应的则是第三、四阶段的问题解决和情感态度.课程标准总目标的这四个方面不是相互独立和割裂的，而是一个密切联系、相互交融的有机整体[1].数学思考、问题解决、情感态度的发展离不开知识技能的学习.在课堂教学中我们不可能将数学思想方法从数学学科素养培育的过程中剥离出来，只有在运用思想方法解决问题的过程中才更容易积累经验，提升素养，素养的提升又更容易分析和解决新的数学问题，所以思想方法与数学素养是相辅相成、不可分割的.本节课所设计的5道例题中，既有思想方法的提炼，又有数学素养的培育.

在例1中的“年龄之谜”，无论学生选择设一个未知数，用方程解决问题;还是设三个未知数，用方程组解决问题，都离不开方程的思想，同时也让学生获得解决问题的基本经验，体验问题解决方法的多样性，发展创新意识，提升数学素养.例5中的“设计之谜”，让学生展开想象的翅膀，构建自己喜欢的熟悉的实际问题，实现从方程到题目的逆风飞扬！通过积极参与数学活动，使学生深刻体会建模的思想方法，从中体验并获得成功的乐趣，建立自信心，提升数学素养.

参考文献

[1]义务教育数学课程标准（2011年版）[S].北京师范大学出版社2011.

作者简介：赵军（1975—），男，江苏省特级教师、中小学正高级教师.太仓市赵军名师工作室主持人，从事初中数学教学研究，成果丰硕，教具发明获国家专利2项，发表论文140余篇.