一类脉冲随机微积分方程解的稳定性分析

孙志强

（河南艺术职业学院，河南郑州 450000）

1 随机微积分系统研究的背景、研究意义及现状

稳定性理论解决的是当t→∞时，微分方程的解x（t，t0）的极限状态如何?极限状态和初值x0的关系如何?在经典控制理论中，主要限于研究线性定常系统的稳定性问题。判断系统稳定性的主要方法有奈奎斯特稳定判据和根轨迹法。它们根据控制系统的开环特性来判断闭环系统的稳定性。这些方法不仅适用于单变量系统，而且在经过推广之后也可用于多变量系统。

Lakshmikantham 等于1989年在《脉冲微分方程理论》中总结了他们对脉冲系统的研究成果，1892年俄国数学家和力学家A.M.李雅普诺夫在论文《运动稳定性的一般问题》中完成了关于运动稳定性理论的奠基性工作的，又经过这几十年的研究，脉冲微分方程的理论被不断提出，逐渐形成了一个较为完整的体系。

脉冲系统目前广泛应用于机械制造、电子信息等，小到一个具体的控制系统，大至一个金融系统、社会系统、生态系统，这些系统总是在各种偶然的或持续的干扰下运行的，承受这种干扰之后，能否保持预定的工作状态运行，而不至于失控至关重要。

较早研究脉冲随机微积分的是Caro 和Rao，他们研究了以下脉冲随机微积分系统：

他们扩展了脉冲随机微积分稳定性的概念，用Lyapunov函数和微分不等式的技巧，得出上述系统的两测度稳定性的充分条件。随后，Liu 研究了如下随机微积分系统：

然后利用脉冲随机系统的比较原理，得到了下列比较系统最后再利用微分不等式，获得脉冲随即微积分方程解的唯一性和稳定性，并应用所得解的稳定性结果研究了其系统的脉冲镇定问题。SaKthivel 和Luo 通过研究以下系统得到了带有脉冲的非线性随机微分方程解的稳定性：

在脉冲随机微分方程解的稳定性的研究过程中，一般采用泛函微分系统的Lyapunov 泛函和Razumikhin 技巧。例如Cheng 等利用Lyapunov 泛函和Razumikhin 技巧，研究出了脉冲随机微分方程的指数稳定性以及渐近稳定性。

最近几年，许多学者开始研究对脉冲无穷时延迟微分方程、脉冲延迟积分方程、脉冲延迟混沌方程，虽然众多学者在脉冲随机系统方程解的稳定性研究已经取得了大量的成果，但由于时间较短，还有大量问题有待学者们研究解决。

2 带有时滞脉冲的随机泛函微分系统的稳定性分析

2.1 预备知识

本文研究时滞性随机微分系统：

令PC（[-τ，0]；Rn）表示逐段右连续函数φ∈[-τ，0]→Rn的集合，令‖φ‖=sup-τ≤s≤0｜φ（s）｜，则{PC（[-τ，0]；Rn），‖φ‖｝表示线性赋范空间，且sup-τ≤θ≤0E ｜φ（θ）｜＜∞，其中，E 表示对于给定的概率预测度P 的数学期望。

2.2 主要结果

系统的稳定性分析一般采用Razumikhin 技巧和Lyapunov函数来建立系统的稳定性。

定理：若存在一函数a ∈VK，b ∈CK，V ∈ν0和一正常数p 使得

证明结束。

3 结束语

在很多情况下，脉冲延迟微分方程与随机延迟微分方程是难于得到解的显式表达式的。有时候需要对脉冲延迟微分方程或随机延迟微分方程进行数值模拟或者需要定量研究，这就需要相应的数值方法。对脉冲微分方程数值方法的研究，目前只有少量的工作，并且都只是考虑了无延迟的情况。

本文讨论了一类随机延时脉冲微积分系统的阶矩稳定性，利用一些不等式及其他脉冲微分不等式的性质，采用Razumikhin 技巧和构造Lyapunov 函数的方法得出其系统稳定性的充分条件，研究出其稳定性，虽然脉冲延迟微分方程理论近些年来已经得到了充分的发展，但还有许多问题等待我们研究。