全弹性平面运动机器人的高精度运动控制和振动抑制算法研究

付晓东， 陈 力

(福州大学 机械工程及自动化学院，福州 350108)

1 引 言

空间机器人主要用来协助宇航员舱外作业、搭建空间站、回收失效卫星和清理轨道垃圾等，其动力学与控制的研究备受学者关注[1-4]。为扩大空间机器人的工作范围，机械臂安装于移动支座上，支座沿桁架组装而成的导轨移动，由于臂杆自重或负载等外部因素的冲击，易使导轨振动[5](本文将基座、导轨和航天器统称为弹性基座，其弹性主要由导轨振动引起)。而机械臂具有杆长、质轻和重载等特性，其抗弯刚度偏低，尤其抓捕外部载荷及后续一体化操作时易诱发臂杆的轴向变形与振动[6，7]。另外，考虑发射成本及预期任务要求，关节处的驱动装置一般采用谐波驱动柔轮，虽节省成本却引入了关节柔性[8]。空间机器人的弹性可以抵御外部冲击，提高系统的缓冲减振作用，但弹性振动也是影响系统控制精度和运动稳定性的关键因素，尤其构件自振产生的冲击能量互相影响，造成机器人抖动甚至损伤设备，因此考虑空间机器人弹性影响并抑制其振动具有重要的现实意义。

近年来，国内外学者在空间机器人弹性抑振及运动控制方面取得一定成果。文献[9]讨论了弹性基座机器人基于神经网络的自适应输出反馈控制。文献[10]设计了应用于柔性臂空间机器人的鲁棒自适应控制。文献[11]探究了柔性关节空间机器人基于观测器的双时间尺度控制。文献[12]分析了弹性基座和柔性关节空间机器人建模及运动控制算法。上述研究主要考虑基座和关节和臂某一类或两类构件弹性的影响，而基座、关节和臂全弹性系统的研究亟待进一步积累与完善。全弹性空间机器人是基座和关节刚性运动与基座、关节和臂弹性振动相互耦合的高度复杂非线性系统，振动互相影响，而且弹性抑制器又互为外部激励，所以全弹性系统多重振动同步抑制及高精度运动控制具有一定难度。

另外，空间机器人软硬件开发、设计、制造、运行以及维护成本高昂，设计结构简单、占用储存空间少、计算量小且精度高的控制器很有必要。比例微分(PD)控制使用PD线性反馈控制律，保证系统渐进稳定，且控制器容易设计，至今在工业机器人控制中广泛应用。而为了提高机器人的控制品质，实现对周期信号的高精度跟踪，重复学习控制受到学者重视[13，14]，由于周期性信号易进行傅里叶级数逼近，并且多数信号在中低频段占有较大比例的功率，所以可以解析周期信号为有限维傅里叶级数，再结合传统的PD算法与有限维重复控制，设计应用于航天工业的运动有限维PD重复学习控制器，用N个线性振荡器和一个积分器并联的结构估计系统中模型不确定性与其引起的扰动，不同于传统的基于内模的重复控制器，运动有限维PD重复学习控制能有效避免严格的稳定条件与缓慢收敛问题，且规律简单，不依赖模型信息，易于实现。

为此，本文基于基座、关节和臂全弹性空间机器人动力学模型，设计了改进的运动有限维PD重复学习控制算法及双重柔性振动线性二次最优抑制方案构成的总控制算法，实现刚性轨迹高精度追踪的同时，抑制基座、关节和臂多层弹性振动。数值仿真结果验证了算法的可行性。

2 基座、关节、臂全弹性空间机器人建模分析

2.1 全弹性空间机器人模型的建立

基座、关节和臂全弹性空间机器人由载体B0、前柔性杆B1和后柔性杆B2组成，如图1所示。其中，基座弹性部分视为无质量的线性伸缩弹簧，刚度系数kb取定值；柔性关节简化为无惯量的线性扭簧[15]，刚度系数km i取定值；柔性杆采用欧拉-伯努力梁理论与假想模态法分析，等效为简支梁，抗弯刚度EIi取定值，vi(t)为t时刻杆Bi在任意截面处的横向弹性变形(i=1,2)。建立惯性坐标系OXY与各分体的连体坐标系Ojxjyj(j=0,1,2)，令OC 0为载体B0的质心(与O0重合)，OC为系统总质心，Oi为连接Bi - 1与Bi的旋转铰几何中心(i=1,2)。q0为基座相对于Z轴的转角，qb为载体与杆B1铰接处弹性变形量，qi为杆Bi的相对转角，qm i为关节电机转子转角。基座无振动时，OC 0与O1的距离为l0。关节铰Oi处电机转子质量不计，转动惯量计为Jm i。

图1 基座、关节和臂全弹性空间机器人

忽略微弱重力的影响，根据系统在惯性坐标系中的几何位置关系、假设模态法和动量守恒定律，采用拉格朗日方程，建立载体位置不控和姿态受控全弹性空间机器人动力学模型为

(1)

(2，3)

2.2 模型奇异摄动分解

由于全弹性空间机器人基座、关节和臂杆的振动互相耦合，同时抑制三类构件的振动难度很大，为此，将基座和关节的弹性振动看作快变子变量，臂杆的振动、基座姿态和关节的旋转运动看作慢变子变量，采用奇异摄动理论，将系统解耦为慢和快变子系统。令τn s∈R2 × 1为慢变子控制器，τn f∈R2 × 1为快变子控制器。设计电机驱动总控制器为

τm=(E+Ac)τn-Acτ

(4)

式中E∈R2 × 2为单位矩阵，Ac∈R2 × 2为对称正定柔性补偿矩阵，τn=τn s+τn f。

(5)

dξf/dtf=Afξf+Bfτn f

(6)

2.3 刚性子系统模型及其特性

(7)

子系统式(7)具有如下结构特性[16]。

特性1惯性矩阵M(x)对称正定有界，即

λm(M)=y=2≤yTM(x)y≤λM(M)=y=2

(∀y∈R3 × 1)

式中λm(·)和λM(·)分别为矩阵最小和最大特征值。

特性2科氏力和离心力矩阵C∈R3 × 3满足

C(x,y)z=C(x,z)y(∀y,z∈R3 × 1)

特性4存在正常数kM,kC 1和kC 2对于任意矢量x,y,z,x1,y1,x2,y2∈R3 × 1满足关系式

其中，kM,kC 1和kC 2的取值参考文献[16]。

特性5c1(x1,y1)与C(x1,y1)z有相似特性，即

其中，kC 3,kC 4和kC 5的取值参考文献[16]。

3 控制器设计

3.1 慢变子系统控制算法分析

3.1.1 运动有限维PD重复学习控制

以T为周期的二次连续可微期望轨迹qd(t)用有限维傅里叶级数展开为

(8)

参考信号qd(t)二次连续可微，根据式(8)，得qd(t)高阶项范数的有限上界

(9)

设计运动有限维PD重复学习控制器PDRC(finite -dimensional PD repetitive control)为

(10)

(k=1,…,N)(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

式(14)取范数，并根据特性2～4得

(16)

(17)

将式(9)代入式(17)得

(18)

(19)

(k=0,1,…，N)(20)

(21)

(22)

(23)

将式(20～23)代入式(10)，再将结果与式(19)代入式(13)，得闭环系统误差方程

(24)

(26，27)

定理对于刚性子系统式(7)，若控制器增益满足

λm(KP)+αλm(KD)>α2λM(M)

(28)

(29，30)

(31)

则PDRC可保证系统的全局渐进收敛，即

(32)

证明用李雅普诺夫第二法证明上述定理，构造李雅普诺夫函数为

(33)

(34)

式(33)沿式(24)求微分，并代入式(34)得

(35)

将式(24～27)代入式(35)，应用特性3得

(36)

式中

3.1.2 改进的运动有限维PD重复学习控制

使用虚拟力概念，修正原有的期望轨迹，生成混合轨迹qh，设计改进的运动有限维PD重复学习算法，以实现轨迹追踪控制与臂弹性振动抑制双重作用。引入虚拟力F∈R3 × 1，定义eh=qh-qd，由指令发生器式(37)生成。

(37)

式中c,d∈R3 × 3为常正定对角矩阵。

令混合误差er=q-qh，将控制器式(10～12)中qd,e和zk分别替换为qh,er和zk r，得改进后的PDRC为

(38)

(k=1,…,N)(39)

(40)

(41)

设计虚拟力F为

(42)

式中Rs为性能指标函数中F对应的加权矩阵，Ps为对应黎卡提方程的解。

令ξs和Ns(t)满足

(∀qs∈Rn)(43)

3.2 快变子系统控制器设计

(44)

4 仿真算例

控制情形1关闭所有弹性抑制器，即关闭虚拟力控制式(42)及快变系统控制式(44)，运用式(4，10～12)所示的算法仿真。

控制情形2开启所有弹性抑制器，运用式(4，38～40，42，44)所示的算法仿真。

图2为两种控制情形下基座姿态和关节轨迹追踪曲线。图3为基座与关节弹性振动在两种控制情形下的抑制对比曲线。图4为两种控制情形下的柔性杆抑振对比曲线。

图2 两种控制情形下基座姿态与关节的轨迹追踪曲线

图3 两种控制情形下基座姿态与关节振动对比曲线

图4 两种控制情形下机械臂振动对比曲线

从图2～图4可以看出，在关闭弹性主动抑制的控制情形1控制下，机器人基座和关节刚性运动轨迹追踪精度偏低，如图2(a)所示，同时基座、两关节和两杆振动明显，如图3(a)和图4(a)所示。采用本文设计的控制情形2的算法，能实现轨迹精确追踪，如图2(b)所示，并有效抑制基座、两关节和两杆弹性振动，如图3(b)和图4(b)所示。

图5 跟踪误差收敛曲线

5 结 论

为了抑制基座、关节和臂全弹性空间机器人多层弹性振动，并获得更高的轨迹跟踪精度，本文利用质心定理、假设模态法与拉格朗日方程建立弹性基座、柔性关节和柔性臂空间机器人动力学模型，并根据奇异摄动法，将模型分解为慢和快变子系统。然后，以全弹性空间机器人动力学模型为基础，设计了改进的PD重复学习慢变子控制器及线性最优多重柔性减振快变子控制器。通过仿真验证可知，设计的控制方案可以同时抑制不同构件的弹性振动，并且设计的方案控制规律简单，占用存储空间少，控制精度可达-5.5数量级，实现了对期望信号的高品质追踪。