基于SVM与SRM耦合的抗剪强度参数随机场模拟

苗 雨, 丁琪皓, 陈 浙, 郑俊杰, 李继能

(1.华中科技大学 土木工程与力学学院,湖北 武汉 430074; 2.武汉华中科大土木工程检测中心,湖北 武汉 430074)

0 引言

工程经验表明,土体参数即使在同质层中也会表现出显著差异。这种不确定性在传统的计算中经常会被忽略,而采用均值代替。在大多数情况下,这种处理方法并不准确甚至是错误的。因此如何正确地模拟土体参数的空间变异性是一个富有挑战性的问题。

随机场理论为土体空间变异性的模拟提供了有效途径。目前关于随机场模拟分析方面的文献较多,如Vanmarcke等[1]提出随机场模型,视土层为统计均匀的前提下,运用方差、方差折减函数、相关函数和波动范围等随机场的数字特征来描述土性参数的空间分布。Griffiths等[2-4]将蒙特卡罗法(MCS)用于随机场分析中,对比考虑空间变异性后结构的失效概率变化。吴振君等[5]将随机场模拟和区域化变量理论的Kriging 方法结合,建立约束随机场。闫澍旺等[6]研究了随机场方差折减函数的确定原则,并通过算例说明了折减原则的合理性。史良胜等[7]研究了Karhunen-Loeve(KL)展开在土性参数随机场模拟中的应用。Shinozuka等[8-9]比较了SRM与KL方法在随机场离散中的优劣,证明在相关距离较短时KL方法收敛难度较大。尽管上述方法在岩土工程随机场分析中得到了一定的应用,但仍然存在很多不足。如方差折减法需要大量数据确定其折减函数。MCS方法需要更大数量级的样本数量和计算时间,计算代价过大。KL方法需要解决Fredholm积分方程问题。更重要的是,在实际工程中土体参数一般为多维多变量随机场,而传统的随机场方法仅考虑参数的自相关性,即仅解决多维单变量问题,并未考虑到参数间的互相关性。

本文将SRM与SVM结合,提出一种能兼顾参数自相关性与互相关性的随机场模拟方法,并在此基础上研究土体抗剪强度参数随机场模拟问题。

1 基本理论

1.1 谱表示法

谱表示法将随机场离散为N1个具有随机相位角的三角函数,一维随机场公式:

(1)

式中:φi(i=1,…,N1)为在[0,2π]区间服从标准分布的独立随机相位角,频率设定为:

(2)

式中:κ1u为截断波数。幅值Ai可用下式确定:

(3)

其中:Sf0为非负函数κ1的功率谱密度函数。式(1)的模拟过程构成了随机场的频谱表示。

当随机场为二维或三维时,式(1)改写为以下形式:

(4)

和

式中:

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

κ1i=iΔκ1;κ2i=jΔκ2;κ3i=kΔκ3

(13)

1.2 自相关函数

土体参数空间变异性分析时常采用自相关函数描述随机场计算区域内任意两个不同空间位置处土体参数间的自相关性[10]。对于土体的自相关函数,尚无一个确定的结论,常用的型式有指数型和指数余弦型。出于简化计算的考虑,本文采用各向同性指数平方型相关函数[11],其表达式为:

(14)

式中:b为随机场的相关距离。

1.3 支持向量机

SVM的基本思想是通过非线性变化把原数据空间映射到某一高维的特征空间,然后在这个新空间中求取最优线性分类面,使得该超平面将两类样本正确无误地分开且使分类间隔最大[12]。这种非线性变化通过定义适当的内积函数加以实现。SVM的特点在于根据有限的样本信息在模型的复杂性(对特定训练样本的学习精度)和学习能力(无错误地识别任意样本的能力)之间寻求最佳折中,以获得最好的推广能力[13-14]。

对于给定一组样本数据(x1,y1),(x2,y2),…,(xk,yk),xi∈Rn,yi∈R,我们的目标是寻找一个n维空间中的线性函数

f(x)=w·x+b

(15)

使得对于所有从训练数据中获得的目标数据yi的偏差最小。

经过整理,最优分类面问题可以表示成如下的约束优化问题,求函数

(16)

的最小值。

对于现行不可分情况,根据统计学习理论,可以通过在约束条件中引入松弛变量,并在目标函数中加入罚函数来解决这一问题。式(16)即可演变为下式:

(17)

式中:C为常数,起控制对错分样本惩罚程度的作用,能实现错分样本的比例与算法复杂度之间的折中。若C过大,就会引起过学习,影响分类器的泛化能力。使用优化算法,式(17)即可转化为一个双优化问题,即求函数

(18)

的最大值。解决上述优化问题后,即可得到回归方程:

(19)

如果一个问题在其定义的空间中不是线性可分的,可以考虑通过引入核函数K(xi,xj)把问题转换到一个新的空间中,相应的判别函数为:

(20)

本文采用径向基核函数[15-16],其形式为:

(21)

式中:g是核函数中的重要参数,影响着SVM算法的复杂程度。

1.4 SRM与SVM耦合算法

对于给定一组样本数据(x11,…x1j,…x1m),(x21,…x2j,…x2m),…,(xn1,…xnj,…xnm),可得参数矩阵X

(22)

由式(22)可得参数间的相关矩阵C。SRM与SVM耦合其主要内容包括以下步骤:

(1) 选择一种参数作为训练集x,剩余参数为训练集y;

(2) 土体参数间的非线性关系可用SVM(X)表示:

SVM(x) :Rn→R
y=SVM(x),
x=(x1,x2,…,xn)
y=(y1,y2,…,yn)

(23)

(3) 求解二次优化问题,得到对应的支持向量机模型;

(4) 使用最佳算法:如粒子群算法、网格搜索法或遗传算法搜寻最优参数:C和g;

(5) 联合步骤(3)与(4)得到最优支持向量机模型;

(6) 采用各向同性指数平方型相关函数来表征土体参数的自相关性;

(7) 使用SRM模拟土体参数x;

(8) 使用式(23),即可得到剩余参数的模拟数据。

2 算例

本文以土体抗剪强度参数:黏聚力c(kPa)、内摩擦角φ(°)为例进行分析。土体黏聚力和内摩擦角间存在明显的统计负相关性,且二者大多服从非正态分布,故其服从二维二元随机场分布。取30组样本数据[17]为训练集,场地大小为50 m×50 m,具体数值见表1,基本指标见表2。

表1 土体三轴试验抗剪强度参数

表2 土体抗剪强度参数基本指标

若采用传统SRM模拟此二维二元随机场,则可用式(14)得到自相关函数Rf0f0(ξ1,ξ2),对应的功率谱密度函数Sf0f0(x1,x2)可采用快速傅里叶变换得到。土体抗剪强度参数随机场基本指标的具体数值见表3。

表3 SRM离散随机场基本指标

表3与表2对比可知,使用传统SRM方法离散多元随机场后,变量间的相关性发生了很大变化,说明此方法仅考虑了变量间的自相关性,并未考虑变量间的互相关性,与实际情况并不相符。

表4 SRM与SVM耦合离散随机场基本指标

图1给出了传统SRM方法与耦合算法离散随机场后内摩擦角的概率密度函数曲线。二者比较可知,耦合算法在自相关性上与传统SRM方法拟合较好,说明耦合算法在随机场模拟过程中比较好地保留了参数的自相关性。

图1 内摩擦角概率密度函数Fig.1 Probability density function of the internal friction angle

表4与表2对比可知,使用此方法离散随机场所得协方差矩阵与原始数据吻合较好,表明在随机场离散过程中未改变黏聚力c与内摩擦角φ的互相关性,更加符合工程实际。

3 结论

本文提出采用谱表示法与支持向量机法耦合模拟多维多元随机场,通过对比土体抗剪强度参数随机场模拟过程中相关性的变化,探讨传统谱表示法与耦合算法对互相关性的影响。通过上述分析,可以得到以下结论:与传统的谱表示法相比,采用本文提出的耦合算法,不仅可以模拟变量的自相关性,还可以兼顾变量间的互相关性,全面地反映了空间变异性,更加有利于工程设计计算。