酉群的有限子群所生成的代数

罗来珍, 李兴华, 陶元红

(1.哈尔滨理工大学 理学院，哈尔滨 150080；2.浙江科技学院 理学院/曙光大数据学院，杭州 310027)

0 引 言

表示理论在数学中具有极其重要的作用，正如数学家盖尔范德(Izrail Moiseevich Gelfand)所说，所有的数学都是某种表示理论。而有限群表示论是有限群论的核心内容，也是研究有限群结构最强有力的工具之一。有限群表示论是在代数和数论的研究中产生的，后来发展成为数论、代数、几何和分析中的重要工具[1]。随着代数学的不断发展和完善，而后产生各种表示，如群表示、代数表示，而且表示论自身已成为独立的数学分支。群表示论在很多领域都有应用，例如群表示论在直积网络中[2]、在对称系统控制[3]以及在群结构[4]研究等方面都有重要应用。酉群作为重要的一类群，有很多的相关研究[5-10]，本文主要研究一类酉群的子群生成的代数结构，它对于建立酉群和置换群的Schur-Weyl对偶有重要意义。

设H是一个Hilbert空间，B(H)表示其上有界线性算子全体构成的集合。设M⊆B(H)，M′为M的交换子，即H上与M 中每个算子可交换的有界算子全体，记作

M′={M′∈B(H):[M,M′]=0,对任意的M∈M′}

显然，M′是包含单位元1的Banach算子代数。 若M是自伴的, 则M′是H上的C*-代数，从而有

M⊆M″=M(iv)=M(vi)=…

M′=M‴=M(v)=M(vii)=…

定义1[12]H上的von Neumann代数是指B(H)的*-代数使得

M=M″

任给B(H)的一个子集{Aλ:λ∈Λ}，由其生成的von Neumann代数为Alg({1}∪{Aλ:λ∈Λ})，即

{Aλ:λ∈Λ}″=Alg({1}∪{Aλ:λ∈Λ})

设U(d) 为一个酉群，K是群H≤U(d)的子群，子群K的中心化子记作CH(K)，是指群H中与子群K中任意元素可交换的全体元素构成的集合，即

群H的任意子群的中心化子也是该群的子群，即CH(K)≤H。

设G为酉群U(d)的任意子群，C(G)表示G在U(d)的中心化子，C(G)的中心化子记作C(C(G))，则有G⊆C(C(G))。

1 预备知识

首先给出中心化子和交换子的关系：

命题1[13]对任意的酉群U(d)的子群H, 有H′=Alg(C(H)) 成立。

证明：显然，Alg(C(H))⊆H′。由于C(H)是与H可交换的，H′是自同态的且与H可交换，满足C(H)⊆H′。显然H′是von Neumann代数，因此有Alg(C(H))⊆H′。

下证Alg(C(H))⊇H′。任选T∈H′，由于H′是von Neumann代数, 则对任意的s,t∈，有is(T+T*)和t(T-T*)都属于H′，由此

exp[is(T+T*)], exp[t(T-T*)]∈H′

从而有exp[is(T+T*)]和exp[t(T-T*)]都与H可交换。 显然exp[is(T+T*)]和exp[t(T-T*)]是酉的,且属于C(H)⊆Alg(C(H))。由此

进而

由此可得，T∈Alg(C(H))。故有H′⊆Alg(C(H))。

命题2[12]H为一个Hilbert空间,A⊆B(H)是自伴随的, 即当A∈A时有A*∈A。则A″是包含A的最小的von Neumann代数。

证明：假设B⊆B(H)是包含A的von Neumann代数。 只需证明A″⊆B, 事实上, 由于A⊆B,则有A′⊇B′, 从而有A″⊆B″=B。

定义2[12]H为一个Hilbert空间,M⊆B(H)。称A是由M生成的von Neumann代数，若A是包含M的最小的von Neumann代数，记作A=G(M)。

命题3[12]H为一个Hilbert空间,M⊆B(H)，则有G(M)=(M∪M*)″,其中M*={M*:M∈M}。

命题4[二次交换子定理][12]H为一个Hilbert空间,设A⊆B(H)是自伴的且1∈A。则下列命题等价:

(ⅰ)A是von Neumann代数，即A=A″。

(ⅱ)A=SOT-[A];SOT-[A]表示A的强算子拓扑闭包；

(ⅲ)A=WOT-[A];WOT-[A]表示A的弱算子拓扑闭包；

(ⅳ)A=σ-SOT-[A];σ-SOT-[A]表示A的σ-强算子拓扑闭包；

(ⅴ)A=σ-WOT-[A];σ-WOT-[A]表示A的σ-弱算子拓扑闭包。

由此我们得到结论：

定理1若H是U(d)的子群, 则由H生成的代数Alg(H)是von Neumann代数，且有Alg(H)=H″。

证明：由于H⊆H″,则有Alg(H)⊆H″。显然Alg(H)是自伴的，且单位元1∈Alg(H)。

由于Alg(H)是有限维的,B(d)上所有拓扑都是相同的, 因此在各种拓扑下的闭包与Alg(H)相同。

由命题4知, Alg(H)是von Neumann代数，H″是由H生成的最小的von Neumann代数, 因此H″⊆Alg(H)。

命题5[13]若H是U(d)的子群，则有(Alg(H))′=H′。

证明：由于Alg(H)=H″，从而有(Alg(H))′⊆H′；又由H⊆Alg(H),知H′⊇(Alg(H))′。对任意的T∈H′, 由命题1,对任意的T∈Alg(C(H)),exp[is(T+T*)]和exp[t(T+T*)]都属于C(H)，得到exp[is(T+T*)]和exp[t(T+T*)]都与H可交换, 从而其与Alg(H)也可交换。 即exp[is(T+T*)]和exp[t(T+T*)]都属于(Alg(H))′，从而有T∈(Alg(H))′。故H′⊆(Alg(H))′。

定理2若V(G)是有限群G的酉表示，则其成的代数Alg(V(G))是von Neumann代数。

证明：V(G)是U(d)的子群,则由定理2知，Alg(V(G)) 是von Neumann代数。

命题6[13]Alg(U(d))=End(d)，其中End(d)表示全体线性算子。

证明：U(d)是End(d)的子集,从而有Alg(U(d))⊆End(d)。只需要证明Alg(U(d))⊇End(d)。对任意的非零元T∈End(d),由极分解定理,T=U|T|，其中U∈U(d)。令λ1为|T|的极大特征值。记因此‖T′‖=1。

2 主要结果

本文的中心问题研究由有限酉子群生成的代数结构。

由命题5, 我们可以考虑满足某种条件的von Neumann代数。 若H是U(d)的子群，且有限维|H|<+∞, 则有Alg(H)=[H]。

在群表示论中[14-20],任意的有限群H都可以生成群代数[H]。此外，当生成的群代数[H]被视为自身的表示(即正则表示)时，这种表示具有分解:其中是全不等价不可约H-模集，表示等价于Vα的不可约H-模集，从而有

(1)

假设A是包含于B(H)的von Neumann代数,E和F为A中的投影算子。

命题7[12]von Neumann代数A中的投影算子E是有限的当且仅当A中满足F≤E和F～E的投影F，使得F=E。一个von Neumann 代数是否为有限的取决于单位元是否为有限投影算子。

命题8[12]若EAE≈AE是Abel代数，则称E是Abel投影。称代数A是离散的，若对每一个非零中心投影Z，都有非零的Abel投影F满足F≤Z。称代数A是连续的若其不包含非零Abel投影。称A中投影E是连续或离散的，若其压缩代数AE是连续或者离散的。

定义3[12]A是von Neumann代数，称

(ⅰ)A是Ⅰ型的，若它是连续的；

(ⅱ)A是Ⅱ型的，若它是连续的且每一个非零中心投影控制一个非零有限投影；

(ⅲ)A是Ⅲ型的，若它不包含非零有限投影；

(ⅳ)A是Ⅰn型的，若它是Ⅰ型且有限的；

(ⅴ)A是Ⅰ∞型的，若它是Ⅰ型且无限的；。

(ⅵ)A是Ⅱ1型的，若它是Ⅱ型且有限的；

(ⅶ)A是Ⅱ∞型的，若它是Ⅱ型且无限的；

例1[12]若dim(H)=∞,B(H)是Ⅰ型，则有B(H)是Ⅰ∞型;若dim(H)=n<∞,则B(H)是Ⅰn型。

本文主要研究Ⅰ型von Neumann代数，事实上，在式(1)中，考虑对于某些不同的n，同构于Ⅰn型von Neumann代数中的直和的von Neumann代数。

由此我们研究的问题转化为每个End(d)可由有限酉子群生成。

定理3对酉群U(d)，存在有限酉子群H，使得End(d)=[H]。

证明：令H0表示d维的广义的Pauli算子，H0={XaZb:a,b=0,1,…,d-1}，广义Pauli算子作用在计算基

X|j〉=|j+1modd〉 andZ|j〉=ωj|j,〉

其中ω=exp(2πi/d)。这个算子也被称作Heisenberg-Weyl算子。显然，

ZX=ωXZ

且对任意的a,b∈Zd，有

XaZb=ωabZbXa，ZbXa=ω-abXaZb

从而对任意的a,b,c,d∈Zd，

XaZbXcZd=ωad-cbXcZdXaZb

进而得到

Xa|j〉=|j+amodd〉,Zb|j〉=ωbj|j〉

(Xa)*|j〉=|j-amodd〉,(Zb)*|j〉=ω-bj|j〉

H0是End(d)的一组基，这是因为

〈XaZb，Xa′Zb′〉=dδa′,aδb′,b

事实上,

〈XaZb，Xa′Zb′〉=Tr(Xa′-aZb′-b)=

故End(d)=[H0]。

为了构造群H生成End(d), 令

H={ωcXaZb:a,b,c=0,1,…,d-1}

其中|H|=d3。则H是一个有限酉子群，故有End(d)=[H]。

从上述定理可以看出，有限维Hilbert空间上的每个von Neumann代数都可以由作用在同一Hilbert空间上的有限酉子群生成。

3 结 论

通过构造酉群(作为连续群)的有限子群从而证明End(d)可作为有限群的群代数。也就是说，有限维Hilbert空间上的每一个von Neumann代数同构于它的某个有限群的群代数。事实上，我们还可以考虑问题：是否存在一个酉群的有限子群G并且|G|