车辆跟驰模型的扭结-反扭结波解

吴春秀,陈明玉

(泉州师范学院 数学与计算机科学学院，福建 泉州 362000)

在实际交通中，初始均匀的交通流受到小扰动后会演化形成拥堵交通.通常用宏观、微观和半离散模型研究交通拥堵问题.宏观交通流模型从连续介质的视角，研究车辆的集体行为[1-2].微观跟车模型从空间离散的视角，研究单个车辆的运动规律[3-9].半离散模型可视为联系宏观模型和微观模型的桥梁[10-11].宏观模型的窄幅急簇和宽移动堵塞解通常可描述交通的拥堵状况.微观车辆跟驰模型则用KdV孤立波解和mKdV扭结-反扭结波解描述拥堵交通.本文建立后视速度差车辆跟驰模型，对模型进行非线性分析，推导出模型方程的扭结-反扭结波解,并分析这种解存在的必要条件，合理解释模型方程是否存在扭结-反扭结波解,同时讨论参数的选取对交通系统稳定性的影响.

1 模型方程

在车辆跟驰模型中，前车的信息对车辆速度影响较大，因而一些优化速度模型只考虑前车信息[3,7].由于后车的信息对车辆速度也有影响，我们提出如下后视速度差模型(简称BLVD模型)：

(1)

其中:V(Δvn)为优化速度，vn和xn分别表示t时刻第n辆车的速度和位置，Δxn=xn+1-xn和Δvn=vn+1-vn分别表示t时刻第n和n+1第辆车的车头间距和相对速度，司机敏感度a>0、λ≥0.在车辆行驶过程中，第n辆车跟随第n+1辆车，车辆之间的跟驰关系如图1所示，其中箭头方向表示车辆行驶的方向.

图1 车辆跟驰关系Fig.1 The relationship of vehicles

选取优化速度

用向前差分格式表示时间导数，方程(1)可写成差分形式.运用长波展开法对模型方程[5-6]的差分形式进行线性稳定性分析，可得模型方程的线性稳定区域为τ≤τc，其中临界弛豫时间

(2)

弛豫时间τ=1/a，敏感率l=λ/a.

2 非线性分析

方程(1)用车头间距形式表示如下

(3)

引入慢变量X和T[5]:

X=ε(n+bt),T=ε3t,0<ε≪1.

(4)

其中：b为待定常数.车头间距

Δxn=h0+εR(X,T).

(5)

其中：h0表示初始均匀交通流的车头间距，R(X,T)表示偏离幅度，0<ε≪1.

其中：VB′=VB′(h0),VB′′′=VB′′′(h0),VF′=VF′(h0)且VF′′′=VF′′′(h0).选取b=b1VB′+b2VF′, 可得ε2系数为零.选取τ=(1+ε2)τc，结合方程(2), 上述方程可简化为

(6)

其中：

g1=-[7(b2VF′-b1VB′)/(b1VB′+b2VF′)+14l-9(1+4l+2l2)b2VF′-9(1+2l+2l2)b2VB′]/54,

g2=-(b1VB′′′+b2VF′′′)/6,

g3=A2/6,

g4=-23A4/648-l(4A/3-10A2/3-32A3/27)/24+A[(1+4A)b1VB′-(1-4A)b2VF′]/

[72(b1VB′+b2VF′)],

g5=-A[(1-2A)b2VF′′′-(1+2A)b1VB′′′]/[36(b1VB′+b2VF′)],

(7)

(8)

其中：b=b1VB′+b2VF′.

选取安全间距hc=h0=4.0，最大速度vmax=2.0，当参数(l,b1,b2)取不同值时，可得车头间距-敏感度图，如图2所示，其中实线表示方程(2)对应的曲线(称为中性稳定曲线[5])，虚线表示方程(8)对应的曲线(称为共存曲线[5]).

图2 车头间距-敏感度图Fig.2 Phase diagram in the headway-sensitivity space

图2(a)、(c)-(d)显示，对每一组(l,b1,b2)，交通状态分为三个区域：位于共存曲线上方的稳定区域；介于共存曲线和中性稳定曲线之间的亚稳定区域；位于中性稳定曲线下方的不稳定区域[5].由图可知，适当考虑前车的相对速度和后视效应，可使中性稳定曲线和共存曲线的位置下降，稳定区域扩大.

由上述非线性分析，可得扭结-反扭结波解存在的必要条件为

(9)

为了得到扭结-反扭结波解，由(9)式可推导出敏感率和弛豫时间随着后视权重变化的取值范围，如表1-2所示，其中后视权重b1∈[0,0.4]，安全间距hc=4.0，最大速度vmax=2.0，表1和表2中的初始间距分别为h0=4.0和h0=3.5.由表1可知，当后视权重b1=0.2时，要使扭结-反扭结波解存在，则需敏感率l>0.79.因而在图2(b)中不存在相应的共存曲线，其中后视权重b1=0的情况与图2(a)中对应，这里的共存曲线省略.表1-2显示：如果后车权重b1增大或者初始间距h0减小，敏感率l需要增大.否则，mKdV方程的扭结-反扭结波解不存在.

表1 第一种初始间距对应的敏感率和弛豫时间的变化范围Tab.1 The regions of sensitivity ratio and relaxation time corresponding to the first initial headway

表2 第二种初始间距对应的敏感率和弛豫时间的变化范围Tab.2 The regions of sensitivity ratio and relaxation time corresponding to the second initial headway

3 数值模拟

选取初始条件Δxj(0)=Δx0=3.5，j=1,2,…,N；Δxj(1)=3.0，j=N/2, Δxj(1)=4.0，j=N/2+1,且Δxj(1)=3.5，j≠N/2，N/2+1, 其中车辆总数N=100.选取安全间距hc=4.0，最大速度vmax=2.0，敏感度a=1.6，道路长度L=NΔx0=350且弛豫时间τ=1/a=0.625，在周期边界条件下对方程(3)进行数值模拟，可得t=10 000后的车头间距时空演化图，如图3所示.图(a)-(f)分别对应如下6种情况：(a)OV模型，其中l=0,b1=0,b2=1.0且τc=0.424；(b)FVD模型，其中l=0.1,b1=0,b2=1.0且τc=0.509；(c)FVD模型，其中l=0.2,b1=0,b2=1.0且τc=0.594；(d)SBLOV模型，其中l=0,b1=0.2,b2=0.8且τc=0.944；(e)BLVD模型，其中l=0.13,b1=0.2,b2=0.8且τc=1.127；(f)BLVD模型，其中l=0.13,b1=0.04,b2=0.96且τc=0.6.

图3 车头间距时空演化图Fig.3 Space-time evolutions of the headway

图3(a)-(b)中演化形成的波由窄幅集簇和宽幅集簇组成.当敏感率l增大时，FVD模型的一个扭结-反扭结波解出现在图3(c)中.图3(a)-(c)表明增大敏感率能够提高交通系统的稳定性.图3(d)-(e)中不存在扭结-反扭结波的原因是：这两组参数不满足表2中扭结-反扭结波存在的必要条件.由图3(d)可见，SBLOV模型演化形成振荡拥挤交通.当敏感率增大时，图3(e)中出现自由流.当后视权重b1减小时，BLVD模型的扭结-反扭结波解在图3(f)中出现，表明交通系统的稳定性降低.图3中的6种情况表明：适当考虑敏感率l和后视权重b1能够明显提高交通系统的稳定性.

在BLVD模型中，重新选取两组不同参数，车头间距时空演化图如图4，其中图4(a)-(b)中的参数分别对应如下2种情况：(a)a=1.6,l=0.1,b1=0.04,b2=0.96;(b)a=1.08,l=0.355,b1=0.1,b2=0.9 .图4(a)中出现与图3(f)类似的扭结-反扭结波.当后视权重b1增大时，要使扭结-反扭结波存在，敏感率l和弛豫时间τ都需要增大.因此当选择了较小的敏感度a时，忽略小振荡，模型可演化形成一个扭结-反扭结波，如图4(b).图4中的两种情况均满足表2中扭结-反扭结波存在的必要条件.

图4 BLVD模型车头间距时空演化图Fig.4 Space-time evolutions of the headway of BLVD modle