数控机床丝杠动态误差补偿分析研究*

李 怀，祖 莉，邱亚兰

(南京理工大学机械工程学院，南京 210094)

0 引言

滚珠丝杠副是数控机床的关键功能部件，要提高机床的加工精度离不开滚珠丝杠副的精密定位性能。机床的热变形是影响机床加工精度的关键影响因素，由温升引起的滚珠丝杠副的热伸长又成为影响机床热变形关键因素。相关研究表明，热变形导致的误差占据数控机床整个传动误差链的70%左右[1]。因此，滚珠丝杠副的温度场及温升引起的误差补偿研究已经成为国内外学者的重要研究方向。

针对滚珠丝杠副的温度场研究，陈诚等[2]建立了滚珠丝杠副分段模型，能较好地预测滚珠丝杠副温度随时间的变化；Kim S K等[3]通过有限元模型对滚珠丝杠副温度场进行了二维仿真分析，利用修正的集总参数法对丝杠的温度场进行分析;Huang S C[4]利用多元线性回归，选取前轴承、丝杠螺母、后轴承温度作为独立变量，研究滚珠丝杠副的热变形和温度的关系。马彦等[5]使用Ansys软件在丝杠表面施加均匀的热流密度对其温度场进行分析。针对误差补偿研究,主要是对滚珠丝杠副的热致误差进行建模并通过NC控制器进行在线实时补偿[6-7]。但这些研究缺少对滚珠丝杠副运行过程中各个热源的传热机制进行系统的理论分析与试验研究，其次提出的误差补偿模型往往基于大量实验，补偿模型复杂，因此难以直接应用。

为了准确预测丝杠运行中的动态温升，详细分析了滚珠丝杠副各个热源的热传导机制。综合考虑滚珠丝杠副移动热源以及轴承生热量建立了一维离散化非稳态热传导模型；其次，根据滚珠丝杠副误差形成机制，建立了滚珠丝杠副综合误差补偿模型；最后设定工况进行丝杠动态误差补偿数值模拟，并通过试验进行验证。

1 滚珠丝杠副热传导模型建立

典型数控机床进给系统热源分布如图 1所示。其中，QM表示电机发热产生的热量；QN表示丝杠和螺母由于摩擦产生的热量；QLB、QRB分别为左、右支撑轴承产生的热量。从图1可以看出，丝杠的实时温度与移动热源QN、左右轴承产生热量QLB、QRB有关。

由于数控机床丝杠的长度一般来说是远大于其径向尺寸的，可以假定丝杠的温度在任何一个横截面都是相同的，因此滚珠丝杠副的温度场分析可看作沿轴线方向的热传导问题。

图1 机床进给系统热源示意图

将丝杠整体等效成由一系列节点组成的离散化个体。对于每个节点的热边界条件有两种情况：其一是当该节点位于丝杠螺母接合面位置；其二是当该节点位于丝杠螺母结合面之外。基于此分析，我们建立了滚珠丝杠副的离散化节点模型，如图2所示。

图2 滚珠丝杠副离散化模型

如图2所示，丝杠由编号分别为0,1,2…n共n+1个节点组成。在运行至第k个时间步时，螺母运动到节点i处，该节点只承受丝杠螺母因摩擦所产生的热量;在第k+1个时间步时，螺母运动到第i+1个节点，此时节点i位于丝杠螺母结合面之外，该节点与空气进行强制对流换热作用。

根据能量守恒关系知，每个节点满足：

Qi+Qci+QN-Qco-Qh=ΔE

(1)

其中，Qi为导入节点的热流量；Qci为导入至该节点的热流量；QN为滚珠丝杠摩擦产生的单位长度热流量；Qco为导入至该节点的热流量；Qh为与丝杠与外界对流换热释放的热流量；ΔE为单位时间内该节点所控制体积区域的内能增量。

基于上述分析，可以得知节点i在第k个时间步的热传导控制方程如下：

(2)

当节点i在第k+1个时间步时，其热传导控制方程如下：

(3)

接下来对模型的边界条件进行设定：

假定滚珠丝杠运行初始时刻各处温度一致，均为环境温度。因此，我们可以得到其初始边界条件为：

T(x,0)=T∞

(4)

然后，确定丝杠左、右轴承处边界条件：

对于节点0，运用能量守恒原理：

(5)

对于节点n，运用能量守恒原理：

(6)

同理，滚珠丝杠副丝杠处于静止工况时，公式(1)、式(4)、式(5)中的QN,QLB,QRB均等于0，其他不变。

其中，x表示丝杠位置；HL、HR为丝杠左、右轴承处等效对流换热系数；T表示环境温度；QLB、QRB为左右轴承产生热量；HB为丝杠轴承处等效对流换热系数。

2 滚珠丝杠副综合螺距误差补偿分析

丝杠在加工制造过程中由于切削力的作用不可避免产生切削振动和切削热，一定程度上影响着丝杠的加工精度。因此，丝杠的实际螺距在理论螺距的基础上有一定的随机波动，在此称其为几何螺距误差。因此，有下式成立：

ΔP(i)=Pactual(i)-Ptheory(i)

(7)

其中，i表示丝杠轴的节点编号；Pactual表示丝杠的实际螺距；Ptheory表示丝杠的理论螺距;ΔP表示丝杠的实际螺距与理论螺距之间的差值。

而数控机床在加工过程中由于温升带来的误差称为热误差。因此基于几何螺距误差与热误差分析进行综合螺距误差补偿建模。

首先，进行转速n=1200 r/min的全行程试验，在试验过程中选取丝杠尾部近轴承端、丝杠中部、丝杠头部近轴承端3个测点进行温度测量。从图3左半部分可以看到：滚珠丝杠副近轴承端温度高于中部温度。说明丝杠的温度不仅与丝杠螺母间的往复随机运动有关，其支撑轴承的摩擦运动产生的热量对丝杠的影响也不能忽略。丝杠电机端近轴承处温度在同一时刻要高于尾部轴承。说明电机运行损耗所产生的热量是不能忽略的，因此在计算丝杠电机支撑端轴承发热量时需要进行修正，以反映电机损耗对丝杠温升的影响。

图3 丝杠各测点温度变化图

从图3右半部分可知,在冷却工况下，丝杠近轴承处温度下降速率明显高于丝杠中部。主要是因为丝杠轴承处在静止时一方面通过空气向外界释放热量;另一方面，丝杠与轴承座之间产生热传导作用传递热量，而轴承座表面同时又通过自然对流换热向外界释放热量，所以丝杠轴承处节点的等效对流换热系数远高于丝杠其他节点对流换热系数，在计算丝杠轴承处静止时对流换热系数要根据等效散热面积进行修正。由图3可知丝杠各点温度并不是处处相等，所以将丝杠各处温度看做成一样来计算动态热伸长是不精确的。通过分析可知，其热伸长量可以表达成下式：

(8)

其中,ΔL表示补偿节点的长度；N表示补偿的段数；ΔT表示补偿节点i处的温升；L表示滚珠丝杠副的有效行程；Ti、Ti-1表示补偿节点i、i-1的温度；αΔT表示在温升为ΔT时的热伸长率，通过试验可知其与温升的关系如图4所示。

图4 温升-变形率图

从图4可以看到，滚珠丝杠副的热伸长率与温升有着很明显的线性关系，因此可以通过MATLAB一元线性回归命令进行拟合。由此可以得到热伸长率与温升的关系式为：

αΔT=9.3267e-6·ΔT+4.5167e-7

(9)

对于一批相同型号的滚珠丝杠副，可根据要求设定补偿点数，通过激光干涉仪(本文采用雷尼绍XL-80)对其进行初始状况下的几何误差测量。由于样本量的限制，本文仅对一台国产立式加工中心进行测试，本文设定补偿点数为10，根据式(9)对激光干涉仪测量的定位数据进行处理，得到的滚珠丝杠副全行程各补偿点的随机误差如图5所示。

图5 丝杠几何螺距误差拟合图

利用MATLAB对所测数据进行一元线性回归拟合，结果如图5所示，根据拟合结果，可以得到如下关于丝杠各补偿点的随机制造误差与丝杠补偿点所在位置表达式如下：

δi=-0.9227xi+0.0023

(10)

其中，δi为第i个补偿点的几何误差预测值(μm);xi为第i个补偿点的位置(mm)。

结合以上分析，有下式成立：

Δei=Δli+δi

(11)

其中,Δei表示第i个补偿点的总误差；Δli表示第i个补偿点的由于温升引起的热误差；δi表示第i个补偿点的几何误差。δi定义如下式：

δi=Δxi-Δxi-1

(12)

其中,δi表示第i个补偿点与第i-1个补偿点之间的相对定位误差；Δxi、Δxi-1分别表示第i、i-1个补偿点的理论位置与测量位置之差。

基于此，滚珠丝杠进给系统的随机几何误差模型已经建立。我们得到滚珠丝杠进给系统的误差补偿表达式为：

(13)

3 机床滚珠丝杠副误差实验

综合误差测量装置如图6所示。

图6 综合误差测量装置图

本文以纽威立式加工中心VM1150H的X轴作为研究对象，其丝杠为南工艺生产的DKFZD4016，预紧力为3 kN。由于实验过程中为空载运行,根据厂家提供的丝杠预拉伸量，可以计算得到轴承预紧力。具体参数如表1所示。

表1 滚珠丝杠副输入参数

基于一维非稳态热传导模型的动态误差补偿流程如图7所示。

图7 综合误差补偿流程图

将滚珠丝杠副的输入参数代入图7所指文献[8-11]中进行计算，进而可得到其热特性参数如表2所示。

表2 n=1200 r/min时滚珠丝杠副热特性参数

实验步骤：每隔10 min通过便携接触式温度测量仪测量丝杠测点1(尾部近轴承端)、2(丝杠中部)、3(丝杠头部近轴承端)三个测点的温度，其中前120 min模拟运行工况，后60 min模拟冷却工况。在运行至第20、40、80、100、120 min时刻利用雷尼绍激光干涉仪XL-80测量滚珠丝杠副各补偿节点的综合误差。其测点2温度随运行时间变化情况与模型计算值如图8所示。

图8 丝杠测点2计算值与实验测量值比较

对实验测量结果与模型计算值进行比较,可得到理论和实际测量的残差如图9所示。由图8可知，测点2模型预测与试验测量误差值最大为2.2℃,测点2实际温升最大值为25℃，最大误差率为9%，预测较为精确。

图9 模型计算与试验测量误差

接着，对激光干涉仪测得的数据进行处理，得到被测对象在运行至20、40 min时滚珠丝杠副的累积综合误差值，如图10、11所示。

图10 运行20 min误差测量与模型计算

图11 运行40 min误差测量与模型计算

根据式(22)计算各个时刻各个节点之间的相对误差值并进行处理得到累积定位误差值，并与实验测得的误差进行比较。由图可知，经过补偿后，各个补偿点在20、40 min时的累积定位误差从补偿前的110 μm、169 μm变为补偿后的8 μm、5.7 μm。补偿效果证明了基于一维离散化节点的非稳态热传导模型的综合动态误差补偿方法是有效的，模型可适用加热、冷却等多种工况。

4 结论

机床滚珠丝杠副在运行过程中的温度因工况不同而时刻发生变化。本文以某国产加工中心X轴滚珠丝杠副作为研究对象，提出了基于热传导分析理论的一维非稳态离散化节点的温度场模型，分析了滚珠丝杠副各部分热源的热传导机制。根据实时预测的温度值，建立综合误差补偿模型，对滚珠丝杠副的动态误差进行补偿，实验结果表明误差补偿效果较好，省去了因大量实验所耗费的人力、物力。主要结论如下：

(1)机床滚珠丝杠的温度场可视为一维非稳态热传导问题。本文采用的模型简化了分析内容，将丝杠螺母往复移动等效成施加在节点上的移动热源，同时将轴承生热量滚珠丝杠副温度的影响纳入考虑之中，可以精确的预测不同工况下滚珠丝杠副运行过程中的温度变化情况。

(2)机床滚珠丝杠副各个部位的温度均不相同，因此伸长量不同，基于分段补偿的方法更加精确。

(3)本文提出的误差补偿方法综合考虑几何螺距误差以及热误差的影响。模型补偿操作简单、精度较高，可方便应用到精密加工机床中,实现动态补偿。