基于卡尔曼滤波的在线量子态估计优化算法

丛 爽, 张 坤

(中国科学技术大学自动化系, 安徽 合肥 230027)

0 引 言

量子状态估计(quantum state estimation, QSE)又称为量子态层析,是一种基于量子系统的测量结果,并将QSE问题转化为一个多目标最优化问题,通过优化算法的求解重构出量子状态的方法[1-2]。QSE是量子信息的基础,同时也是实现量子系统状态反馈操控的重要组成部分[3]。一个n比特量子系统的状态可以由一个d×d(d=2n)维的密度矩阵ρ描述,该密度矩阵同时满足半正定和单位迹的厄米矩阵约束。QSE基于瞬时投影(强)测量,需要对待测的量子状态制备大量的全同副本,并进行完备的(d2-1)次测量[4-5]。由Silberfarb 提出的连续弱测量提供了一种新的获取量子测量信息的方式[6-7]。通过连续弱测量,可以间接地获取量子态的部分信息,同时对被测系统动力学特性的影响很弱,因此能够对量子系统实现在线的连续测量,为在线QSE提供了可能性[8]。由于QSE需要用到较多的测量数据,并通过多次迭代处理整个测量数据集来估计状态,一般都是离线进行,而且多次测量和多次迭代所估计出的只是一个固定的量子态[9-10]。在离线QSE的算法方面,已经取得了很多研究成果,尤其在基于交替方向乘子法(alternating direction multiplier method, ADMM)的优化算法方面[2,4,11-13]。

在线QSE不仅要考虑每次只能在线获取的一个测量值, 还要兼顾到系统的状态是随时间在线变化,也就是说, 在线量子态估计是对在线动态变化的量子态进行估计,这对在线QSE及其算法的实现提出了更大的挑战[14]。在线QSE的算法方面,Silberfarb等人首先通过量子绘景变换,利用极大似然法,将动态的时变QSE转化为对静态初始状态的估计[6-7]。Cong 等人提出了一种对时变量子态的在线估计算法,将每个采样时刻的状态估计问题转化为一个约束最小二乘问题, 并利用Matlab凸优化工具箱进行求解[15-16]。极大似然法和凸优化工具箱本质上均为离线算法,其在线状态估计过程实际上是一种双层嵌套算法,即在每一时刻的在线优化过程中,执行多次的算法迭代,而不是每一次只执行一次算法迭代。Tsuda和Youssry等人提出利用矩阵指数梯度(matrix exponential gradient, MEG)的量子态在线学习算法[17-18]。Zhang等人提出一种基于在线邻近梯度下降法(online proximal gradient descent method, OPG)和ADMM的量子态在线估计算法(简称为OPG -ADMM)[19-21]。本质上MEG和OPG -ADMM均是利用一阶随机梯度信息进行状态在线更新。卡尔曼滤波(Kalman filter,KF)是一种时域状态滤波算法,被广泛应用于含有随机扰动和测量噪声的系统状态估计或动态目标跟踪系统中[22-24]。

本文将KF应用到在线QSE中,推导出满足密度矩阵半正定和单位迹厄米矩阵约束的KF在线QSE优化算法。对于动态变化的量子状态,在每一个采样周期里,以在线测量一次估计一次的方式,进行一系列的在线量子态重构, 实时估计出动态变化的量子状态。

由于待估计的状态密度矩阵ρk的维度为d×d,对量子系统输出值的每一次测量仅能获得一个含有噪声的测量输出值。因此，本文首先通过演化算符的绘景等价变换,利用k时刻以及k以前所有时刻的测量值构造出测量值序列,作为对当前k时刻状态估计的测量数据。然后，通过将带有量子态约束条件的KF优化问题,分解成两个凸优化子问题,先求解一个无约束条件下基于在线KF算法的量子测量更新问题的解析解,再考虑量子约束条件,通过求解矩阵的投影,在量子测量更新的基础上获得估计状态的解析解。以此方式解决基于KF的在线QSE的应用问题,提出并实现一种实时重构动态量子状态的在线KF算法,称之为基于KF在线QSE(Kalman filter based online quantum state estimation, KF-OQSE)优化算法。将所提的KF-OQSE算法应用于估计4量子位系统的状态密度矩阵,并与OPG -ADMM和MEG作性能对比分析。

本文基于连续弱测量的开放量子系统演化模型以及测量值序列的构造,推导了在线量子态KF算法,最后进行数值仿真实验及其性能对比。

1 基于连续弱测量的随机开放量子系统以及测量值序列的构造

一个n比特量子系统可以由薛定谔绘景下的连续随机开放量子系统主方程[25]描述为

(1)

量子状态在线估计的过程如图1所示，由连续弱测量过程和量子状态在线估计器两部分组成。

图1 基于连续弱测量的量子状态在线估计过程Fig.1 Online quantum state estimation process based on continuous weak measurement

1.1 n-比特开放量子系统离散演化模型

n-比特量子系统的弱测量算符M(Δt)可以由m0(Δt)和m1(Δt)的张量积计算为

(2)

(3)

根据式(1)的随机开放量子系统主方程以及式(3)的演化算符,通过令t=Δtk,被测量子系统S的动态离散演化模型为

(4)

式中,k=1,2,…,N表示采样时间。

式(4)可以通过线性化变换为

(5)

式中,vec(X)表示将矩阵X的所有列组合串联为一个列向量。

连续弱测量过程中作用在被测系统状态上的测量算符的动态离散演化模型为

(6)

1.2 连续弱测量输出序列的构造

(7)

实际应用中,测量值序列bk=[y1,y2,…,yk]。当然,对于从k=1采样时刻起的QSE,由于测量总次数少于完备次数,所估计出的状态一定是不准确的。随着在线测量次数的增加,在达到一定测量次数后,就可以实现对随时间变化的动态量子态的高精度估计。

采用本文所提出的测量数据值序列bk的构造方法,可以直接估计出每一个k时刻的量子状态ρk。然后,再通过把初始状态ρ1代入量子状态演化模型,通过k步演化,得到k时刻的量子状态。

测量采样次数k是可以无限增大的,但不能一味地增加测量值序列的长度,增加计算负担,并且在一定的测量次数下,就可以能获得较高的估计精度。考虑到估计精度以及在线处理的计算代价,在量子态的在线估计中,本文限制并且固定一个测量值序列的长度,从第一次测量获取数据开始,直到给定的测量长度,每一次新获得的测量数据将替代掉已有数据序列中最早获取的一个数值,从而始终保持估计数据序列限制在给定的长度里,称为滑动窗口， 滑动窗口的更新策略为先进先出。由此可得实际QSE中所使用的带有滑动窗口的测量值序列为

(9)

式中,l为测量值序列的滑动窗口长度。

根据式(8),构造与式(9)对应的采样矩阵为

(8)

(10)

考虑到弱测量过程中不可避免地存在测量噪声,结合式(9)和式(10),将测量值序列bk重写为

bk=Akvec(ρk)+ek

(11)

式中，ek∈Rk(l

由此得到对连续弱测量过程中的量子系统离散状态演化模型式(4),以及所构造的用于在线QSE的测量值序列式(11)。

2 基于KF算法的在线QSE优化算法

本节将通过两步来进行基于KF的在线QSE优化算法的设计及其求解过程的推导:① 量子预测状态的时间更新,在此过程中,量子态滤波器基于上一时刻估计状态和系统预测模型,对当前时刻状态进行预测;② 量子估计状态的测量修正和投影,在此过程中,量子态滤波器利用对当前状态的观测值对预测状态值进行修正, 以获得当前时刻状态的估计值。

2.1 量子预测状态的时间更新

式(5)中的量子状态的预测方程为

(12)

(13)

2.2 QSE的测量修正和投影

式(13)可以转化为一个凸优化问题:

(14)

由于存在量子约束,对于式(14),直接求解带有量子态约束条件的QSE测量更新的凸优化问题,以及推导满足约束下的卡尔曼增益矩阵是十分困难的。为了能够保证所估计出的量子状态满足量子约束条件,通过两步运算来实现在线求解:

步骤 1当忽略状态约束C时,优化问题式(14)退化为一个较容易求解的无约束二次凸优化问题:

(15)

(16)

基于求逆公式[27]:

可以求得式(16)为

同时, 通过定义卡尔曼增益矩阵为

(17)

则式(16)可以重写为

(18)

需要强调的是,通过式(17)所获得的卡尔曼增益矩阵Kk是无约束下的最小方差估计值。结合式(13)和式(18),可以推导出:

(19)

式中，Q为系统随机噪声先验统计特征。

(20)

(21)

(22)

(23)

式(23)的拉格朗日函数为

(24)

(25a)

(25b)

(25c)

(25d)

(26)

(27)

本文所提KF-OQSE算法具体步骤如下所示。

算法 1 KF-OQSE算法初始化:变量^ρ0,W0,滑动窗口长度l∈Z+;步骤 1 for k=1,2,… do步骤 2 获取测量输出bk;步骤 3 根据式(13)计算时间更新预测状态ρpre;步骤 4 根据式(17)计算增益矩阵Kk;步骤 5 根据式(18)和式(19)分别计算中间的测量更新 ρk以及矩阵Wk+1;步骤 6 对(ρk+ρ†k)/2进行特征值分解得到Udiag{ai}U†;步骤 7 根据式(26)和式(27)计算出{σ∗i}di=1;步骤 8 根据式(22)获得当前时刻最优估计状态^ρ∗k;步骤 9 end for

3 在线QSE数值实验及其结果分析

本节将通过数值实验,将本文所提的KF-OQSE算法与其他已有的在线QSE算法对比,来验证所提算法对动态量子态在线重建性能的优越性。实验以n=4量子位系统为研究对象,系统相互作用强度ξ=0.7,外加控制量强度ux=2,系统测量效率η=0.5,系统随机噪声dW幅值为0.01;高斯测量噪声信噪比(signal to noise ratio, SNR)为40 dB。

(28)

(29)

保真度的值在0和1之间,越接近于1则认为两个量子状态越相似。在本文中, 所提KF-OQSE算法将分别与基于MEG[18]以及基于在线邻近梯度ADMM(online proximal gradient-ADMM, OPG -ADMM)[21]的在线QSE算法作对比。正如在引言部分所提, 基于极大似然估计法[6-7]和凸优化工具箱[16]的在线估计算法,在每次状态估计时内部都需要多次迭代,这个过程是相当耗时的,因此在本文中不作对比。OPG -ADMM算法首先通过引入辅助变量,并利用ADMM,将量子态在线估计问题分解为两个分别关于量子态和测量噪声的子问题,并通过在线临近梯度法进行交替优化求解。MEG算法本质上仍然是利用一阶梯度信息进行量子态更新,主要区别在于对量子态密度矩阵取对数和指数操作,通过矩阵的指数和迹归一化操作保证估计状态满足量子约束。在数值实验中, 对于KF-OQSE算法,初始化状态预测误差的协方差矩阵W0=10Id2×d2,OPG -ADMM 和MEG算法的参数均调至最优。数值仿真实验运行环境为Matlab 2016 a,2.2 GHz Inter Core i7-8 750H CPU,内存16 GB。

3.1 不同滑动窗口长度下算法在线估计效能对比

图2 不同滑动窗口长度下3种算法在线估计性能对比Fig.2 Performance comparison of three online estimation algorithms under different sliding window sizes

3.2 固定滑动窗口长度下算法在线处理性能对比

数值仿真实验固定滑动窗口长度l=40,分别对比KF-OQSE,OPG -ADMM和MEG算法对4 量子位动态量子状态的在线重构精度和估计耗时。图3为3种算法在每一采样时刻,在线估计状态的归一化估计误差曲线图。

图3 固定滑动窗口长度下3种算法的在线估计性能对比Fig.3 Performance comparison of three online estimation algorithms under fixed sliding window size

图4 k=100时真实以及估计的密度矩阵幅值和保真度Fig.4 Density matrix amplitude and fidelity of the real state and the estimated state with k=100

所提算法在处理多比特量子系统时,对于在线获取的测量值,首先采用滑动窗口构造测量值序列,滑动窗口的设计可以认为是在线计算量和估计效能的折中,更加适合于在线的应用场景。KF-OQSE算法能够在每次的状态估计中,仅通过一次迭代就得到当前采样时刻的估计值。同时,KF本身就是一种在线估计,可以有效地对动态目标进行实时跟踪,因此本文所提算法可以进行实时连续在线估计。

4 结 论

对于连续弱测量中的动态量子系统状态,本文提出了一种带有量子约束条件的KF的量子态在线估计算法KF-OQSE。所提算法采取量子预测状态的时间更新-量子估计状态的测量修正和投影的更新策略,求解具有量子态约束的卡尔曼优化问题。此外,为了获得较高的估计效率,采用了测量输出序列的滑动窗口。数值实验结果表明,所提算法能够以更少的采样次数和耗时实现高精度的量子态在线估计,验证了KF-OQSE算法作为多量子位系统状态在线估计方案的优越性。