刍议我国的高中微积分课程

【摘 要】 大约40年来，我国高中微积分课程的地位较不稳定.当前，最新高中数学课程标准在微积分方面存在选择性必修课程内容偏少、选择性必修课程和选修课程之间衔接不畅以及选修课程存在实施挑战等问题.从明确定位、充实内容、完善分层和对接高考四个角度进行探讨，以期为改进我国的高中微积分课程形成建议和展望.

【关键词】 高中;数学课程;课程标准;微积分

前 言

大约40年来，我国高中微积分课程的地位较不稳定，呈现出“钟摆现象”[1].当前，《普通高中数学课程标准（2017年版）》一方面在选择性必修课程中削减了微积分内容，一方面在部分选修课程中设置“微积分”专题，使得微积分课程的内容再次发生变化.频繁的变化虽是应时而生，但从长远角度看，不利于课程传统的积淀和教学经验的积累.为改进我国的高中微积分课程，本文第一部分简要回顾“1978大纲”至“2003标准”中微积分课程的变迁，第二部分指出“2017标准”在微积分方面存在的一些问题，最后以前两部分为基础，从明确定位、充实内容、完善分层和对接高考四个角度提出建议和展望.

1 对1978年以来高中微积分课程的简要回顾

新中国成立以来，首次将较为系统的微积分内容正式纳入国家高中数学课程的，是1978年颁布的《全日制十年制学校中学数学教学大纲（试行草案）》，其中微积分内容课时占比约20%.随后的“1980大纲”“1982大纲”和“1983纲要”也都设置微积分内容.后来，微积分的地位一度被弱化.先是“1986大纲”将微积分等内容列入附录，再是“1990大纲”将微积分作为选学内容，且不作高考要求.至此，微积分内容在一定程度上“形同虚设”.

20世纪末，在经历一段沉寂后，微积分在“1996大纲”中重回高中数学课程，而后在“2000大纲”和“2002大纲”中有所调整和删减.进入21世纪，我国高中数学课程的理念由知识为本转向过程为本、关注学生发展.于是，“2003标准”更加重视数学的思想、方法和过程，体现在微积分方面的主要变化有两点：第一，更为注重知识的探索过程和直观了解，对严格的定义和推理等淡化.这样的处理，有利于学生的接受，也有助于体现课程改革的新理念，因而有其积极意义.第二，跳过极限、略去不定积分，试图重组高中微积分内容的理论结构.这样的处理精减掉了部分学习内容，对缓解课时紧张、减轻课业负担有一定帮助，而其不足之处是逻辑链条不够严谨、顺畅.遗憾的是，“2017标准”删去了涉及积分的部分，未能从真正意义上使“2003标准”的逻辑链条得以完善.

通过以上回顾可以发现，从“1978大纲”到“2003标准”，我国高中微积分课程存在三方面的问题：第一，在学与不学、学多学少的问题上存在徘徊;第二，學习内容的选取、编排和处理有待继续打磨;第三，课程实施受高考影响较大，发生过不考则不学的情况.

2 对2017年版高中数学课程标准微积分内容的思考

在微积分方面，“2017标准”体现了“分层分类”的设计思路.选择性必修课程在“函数”主题设置“一元函数导数及其应用”单元，并作为高考要求;选修课程在A类课程（数理类）和B类课程（经济、社会类和部分理工类）设置“微积分”专题，二者内容有所不同;此外，选修课程E类课程的“大学数学的先修”也包含微积分内容.

对比“2017标准”与“2003标准”中的微积分内容，如果说选择性必修课程体现了继承，那么可以说选修课程体现了发展.在继承和发展中，有必要化解既有问题，也应注意避免导致新的问题.从这个角度出发，本部分指出“2017标准”在微积分方面存在的一些不足.

2.1 选择性必修课程中微积分内容偏少

“2017标准”必修课程和选择性必修课程的课时总数少于“2003标准”的理科要求，缩减幅度达到八分之一.为确保教学质量，“2017标准”确有必要删减先前理科要求中的部分内容.定积分不属于高中数学课程的主干内容，删除后不影响整体结构，且在大学阶段将有系统学习;因此，删去定积分和微积分基本定理等内容有其合理之处.

但是，“2017标准”选择性必修课程在先前的文理科要求之间“就下不就上”，使得微积分内容进一步减少，这种现象应引起重视和反思.当前，我国高中数学课程微积分内容的权重大幅低于法、德、日等国[2].另外，有研究将包含我国“2003标准”（“选修2-2”）在内的14个微积分课标进行比较，发现我国“2003标准”（“选修2-2”）的广度、深度和难度在14个课标中均位于倒数第二位[3].该研究的样本来自若干发达国家以及国际数学教育比较中排位靠前的若干国家或地区，范围较广且有一定代表性.这些样本侧重理科、工程类，并作为大多数高中生的升学要求.由此可知，我国“2003标准”（“选修2-2”）中的微积分内容与样本中的其他课标已经存在明显差距.然而，“2017标准”中作为高考要求的微积分内容不增反减，未作出有助于缩小上述差距的调整.

2.2 微积分内容在选择性必修课程与选修课程之间的衔接有待完善

选修课程中的微积分内容弥补了选择性必修课程微积分内容偏少的不足，但是选修课程与选择性必修课程之间跨度偏大.以A类课程为例.首先，选择性必修课程基本沿用“2003标准”中借助直观或实例的方式，但A类课程对抽象性和严谨性有较高的要求，在抽象、推理和运算等方面迈的步子较大.其次，A类课程以“数列极限”和“函数极限”为起点，并对ε-N定义和ε-δ定义有要求，而选择性必修课程延续“2003标准”，未设置关于数列极限或函数极限的内容.虽然选择性必修课程增加了“体会极限思想”的表述，但相关知识的要求较为模糊.由于对极限的概念和性质未作充足铺垫，直接开展ε-N定义和ε-δ定义的教学存在一定跨越.所以，在微积分方面，有必要改进两类课程之间的衔接.

2.3 选修课程的实施挑战仍然存在

“2003标准”选修课程“系列3”和“系列4”在实施过程中存在“不考就不学”的问题，原因主要有三点：第一，限于学习时间，对高考不考的内容无暇顾及;第二，对师资要求较高且参考资料较为短缺;第三，学生倾向于轻松简单的课程，以获得相同的学分[2]. “2017标准”选修课程中的微积分内容不属于高考范围，且难度较大，十余年来微积分在我国高中数学课程中处于相对次要的地位，师资和资料出现一定的断层.有鉴于此，“2017标准”选修课程的微积分内容仍有可能面对上述三点原因的挑战.所以，包含微积分内容在内的“2017标准”选修课程应汲取“2003标准”选修课程“系列3”和“系列4”的经验和教训，力求落实课程实施.

3 对我国高中微积分课程的建议和展望

鉴于在以上两部分中发现的问题，我国的高中微积分课程仍然有待进一步改进和完善.本部分针对上述问题，从明确定位、充实内容、完善分层和对接高考四个角度，给出建议和展望.

3.1 明确定位

为避免微积分成为可有可无、可多可少的内容，有必要明确高中微积分课程的定位.具体地，可从微积分课程的基础性和价值性展开思考.

根据《普通高中数学课程标准解读（2017年版）》，高中数学课程的基础性主要体现在三个方面：第一，“高中数学课程在课程内容上包含了数学中最基本的部分”;第二，“为学生适应未来社会生活、高等教育和职业发展提供必要的数学基础”;第三，“为高中物理、化学、技术等其他学科学习提供必要的知识准备” [2].可从这三个方面思考高中微积分课程的基础性.首先，微积分是一种重要的数学理论，对开拓近现代数学发展的新局面贡献巨大.虽然微积分诞生时间较晚且难度偏大，但是有关的思想和方法、事实和应用等使微积分在数学的理论和应用中占据较为核心的位置.其次，微积分是大学理工类专业的必修内容，高中微积分课程可为大学阶段打下基础.若学生在大学不必学习微积分，高中微积分课程亦可起到一定的常识积累作用.最后，微积分与高中阶段一些其他学科关联紧密.例如，在物理学科，可从求导和求积分的角度理解速度与加速度、速度与位移之间的关系，而位移与加速度的关系又为二阶导函数提供了直观的背景.又如，高中物理课程中的牛顿第二定律、动量定理和动能定理通常作为三个相对独立的内容来处理，如若借助微积分发现其间的关联，将有助于学生的深层理解和融会贯通.综合以上三点，可以肯定高中微积分课程中的基础性.而且，这三点也为把握微积分内容的多少和深浅提供考量依据.

关于微积分在数学和教育上的价值，已有一些文献进行论述[4，5].当前，在“核心素养”的语境下，可重新挖掘微积分在数学教育上的价值.首先，“数学学科核心素养”由数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析等六种构成，在微积分的学习与这六种能力或素养的养成之间，存在相互依存、相互促进的关系.通过将微积分的具体学习内容与上述六种能力或素养的内涵和要素建立联系，可从“数学学科核心素养”的角度重新阐释微积分在数学教育上的价值.其次，在“数学核心素养的本质在于用数学的眼光观察现实世界、用数学的思维思考现实世界、用数学的语言表达现实世界的综合素养”的观点下，数学抽象和直观想象是“用数学的眼光观察现实世界”，逻辑推理和数学运算是“用数学的思维思考现实世界”，数学建模和数据分析是“用数学的语言表达现实世界”[6].从这个角度看，作为方法、思想和知识的微积分，既是一种数学的眼光，也是一种数学的思维，还是一种数学的语言.最后，孔凡哲和史宁中老师认为中国学生发展的数学核心素养必须涵盖三种成分：第一，“学生经历数学化活动而习得的数学思维方式”;第二，“学生数学发展所必需的关键能力”;第三，“学生经历数学化活动而形成的良好的数学品格及健全人格养成” [7].析取上述三种成分的关键词，并将其与微积分建立关联，也有助于从“核心素养”的角度把握高中微积分课程的价值.例如，关于数学化，“数学化其实就是从（数学外部的）现实（世界）到数学内部，从数学内部发展，再到现实中（以及应用于其他学科之中）的全过程”.数学化的过程包含三个阶段，即现实问题数学化、数学内部规律化、数学内容现实化[8].微积分中一些概念的提出、一些事实的探索和推导以及一些结论的应用，可为数学化的三个阶段提供案例和素材;反之，数学化的三个阶段也为理解微积分提供新的视角，而不仅是将微积分视为知识和技能的堆砌.又如，“健全人格”是一些心理特征的合称，包含情感过程和意志过程等非智力因素.微积分在高中数学课程中难度偏大，学习过程中的困难和挑战可使微积分在培养学生健全人格方面发挥独到的作用.

基础性和价值性可为高中微积分课程的定位提供准绳，虽然其中细节仍有继续探索的空间，但是以高中微积分课程的定位为指导原则，有助于避免学习内容因外部因素而发生大幅度的起伏和徘徊.

3.2 充实内容

在微积分方面，为了向存在学习需求的学生（特别是资优生）提供充足的学习机会，并且改善学习内容偏少的问题，有必要充实高中微积分课程.

高中微积分课程的内容应具备完整性.完整性是指高中微积分课程能够涵盖一元微积分学的梗概内容，如极限、导数与微分、不定积分和定积分等.梗概内容可包含适量且适度的微分方程，并应当包括一元微积分学中的一些基本关系，如极限与导数的关系、极限与定积分的关系、导数与积分的关系和不定积分与定积分的关系等.上述的梗概内容可支撑起一元微积分的理论框架和逻辑体系，也可涵盖微积分产生之初有待解决的四类问题（变速运动、曲线切线、函数最值、体积与面积等），从而在一定程度上体现对微积分发生历史的尊重.國际上，将上述梗概内容纳入高中数学课程的国家为数不少，说明以高中学生的认知水平学习这些内容具备一定可行性.

将较为完整的微积分内容纳入高中数学课程，有必要考虑课程内容的可接受程度.微积分的理论具有概念抽象和逻辑严谨等特点，因而高中微积分课程应处理好抽象与直观、严谨与量力等矛盾.首先，为避免过度形式化，可借助直观.一些几何问题与微积分关联密切，可为借助直观提供较为丰富的背景和素材.针对极限，可通过直观引入概念和介绍性质，将极限的思想、运算和符号等作为后续内容的逻辑基础;事实上，已有高校教材采用此策略[9].其次，一些推理和证明可能成为难点或障碍，为不失逻辑严谨性，可考虑对微积分的理论体系和逻辑线索作适当调整.例如，既可采用黎曼和的极限来定义定积分，而后论证定积分与原函数的关系;也可从原函数出发将牛顿—莱布尼茨公式作为定积分的定义，接下来再探讨定积分与被积函数图象下方曲边梯形面积的关系.对于定积分，上述第二种定义方式可将繁难的推理和证明向后移动，从而起到简化引入过程的作用.不同的理论体系或逻辑线索各有其长短，在取用时应以学生易于接受、易于理解为宜.

3.3 完善分层

微积分属于难度较大的学习内容，而且单一化的学习内容无法适合所有的学生.因此，高中微积分课程还应具备层次性.层次性是指对学习内容进行有差异的选择、编排和处理，形成不同的系列或等级，供不同的学生使用.为使微积分内容具有层次性，可采用并列或递进两种方式.在并列方式中，不同的学习内容相对独立，学生只需学习其中一种;在递进方式中，学习内容分为基本层次和较高层次，二者具有先后关系，学生可以只学习基本层次，也可以在学习基本层次之后继续学习较高层次.

我国以往文科和理科的微积分课程是并列关系，文科课程通常是由理科课程经删减内容或降低要求后得到，因而处理方式比较简单.“2017标准”选择性必修课程和选修课程的微积分内容可以形成递进，但在基础层次应该包含哪些内容、如何划分层次之间的界限以及怎样处理两个层次之间衔接和过渡等问题上，还有待继续斟酌和打磨.

为完善区分层次的高中微积分课程，可以考察其他国家的一些做法.关于并列的方式，可以法国2011年修订的高三年级积分课程为例[10].一方面，文科系列和理科系列在内容上基本相同，都包含定积分的定义和符号、微积分第一基本定理以及定积分的性质等，二者的区别主要体现在一些内容的具体要求上，比如是否介绍原函数存在性的证明以及对哪些形式的函数求原函数等.另一方面，除了文科和理科两个系列，高三年级数学课程还设置了其他系列，例如实验室科学技术系列.该系列的积分部分与文、理科系列明显不同，主要特点是对牛顿—莱布尼茨公式予以直接承认或直观认识.可见，以并列的方式设计分层次的微积分课程时，除了可对内容和要求作有差别的处理，还可对不同类别采用不同的理论结构和逻辑线索.

关于递进的方式，可以韩国和日本为例.两国高中数学课程都由若干科目构成，二者都将两种层次的微积分内容分别设置于存在先后关系的两个科目之中[11][12].学生可以只选择前一个科目，也可顺次选择两个科目.两国高中数学课程对微积分内容的选取、编排和处理虽略有不同，但在以递进方式体现层次性方面有三个共同特点：第一，基本层次和较高层次都涵盖极限、微分和积分，两个层次都基本具备前文所述的完整性;第二，在层次的划分上，基本层次通常只处理多项式函数，较高层次处理多项式函数之外的一些基本初等函数以及一些较为复杂或深入的内容，如函数的商的导函数、复合函数的导函数、二阶导函数、换元积分法和分部积分法等;第三，基本层次和较高层次衔接自然、过渡缓和，且两个层次之间可形成“螺旋上升”.基于以上三点，在以递进方式体现层次性方面，韩国和日本的高中数学课程可从内容的框架、划分的基准和层次的连结等三个方向给予启示.

3.4 对接高考

高考在很大程度上对课程实施起到“指挥棒”的作用，因此有必要将对接高考作为高中微积分课程的实施保障之一.曾经一段时期，微积分不在高考范围内，因而一度成为高中数学课程的闲置内容.新世纪以来，随着微积分进入高考，高中数学教学又将微积分作为不可或缺的内容.“2017标准”将选择必修课程的微积分内容纳入高考考查范围，但是选修课程的微积分内容无法体现于高考.因此，“2017标准”未能在微积分方面完全实现课程与高考的一致性.

对比之下，与我国高考较为类似的日本“大学入学试验”和韩国“大学修学能力考试”在微积分方面则实现了课程与考试的对接.两国现行考试的数学学科都设置两个层次的试卷，一为基本层次、一为较高层次.前者考查高中微积分课程的基本层次内容，后者则考查较高层次内容[13，14].于是，区分层次的微积分课程与区分层次的考试形成对应，体现出课程和考试的一致性.另外，韩国自2022年将采用新的考试方案[15]，数学学科不再区分层次，而是将试卷划分为必考和选考两个部分.基本层次的微积分课程属于必考部分，较高层次的微积分课程作为选考部分中的一项备选，从而继续实现微积分课程和考试的完整对接.在我国，鉴于高考对课程实施的特殊影响力，有必要进一步探索高中微积分课程和高考之间的对接方案.

针对我国的高中微积分课程，以上从明确定位、充实内容、完善分层和对接高考四个角度作了探讨.虽然部分细节仍有待充实和完善，但这四个角度可为改进我国的高中微积分课程提供一些参考方向.诚然，课程设计和教学落实是一系列的复杂过程，并受到多种因素的影响和制约.在诸多考量的权衡中，如若对高中微积分课程的基础性和价值性、学习内容的完整性和层次性以及课程与高考一致性等方面形成更多的共识，那么对改进我国的高中微积分课程并使其尽量保持稳定，应是有裨益的.

参考文献

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[4] 胡典顺.新课程中的微积分及其教育价值[J].数学教育学报，2010，19（01）：13-16.

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[8] 孔凡哲. 学会数学化切实提升数学学科素养[J]. 小学数学教师，2015（06）：19-24.

[9] 龚昇. 简明微积分（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2006.

[10] Ministère de l'ducation nationale.PROGRAMMES DES CLASSES TERMINALES DES VOIES GNRALE ET TECHNOLOGIQUE [EB/OL]. （2011-10）[2020-01-12] https：//cache.media.education.gouv.fr//file/special_8_men/11/6/BO-SPE8_MEN_13-10-11_197116.pdf.

[11] 文部科学省. 高等学校学習指導要領（平成30年告示）[M].東京：文部科学省，2018.

作者简介 安彦斌（1983—），男，天津人，首都师范大学数学科学学院在读博士生.