从“将军饮马问题”谈模型思想的渗透

覃秀敏　刘运龙　张金江

[摘 要]模型思想是数学核心素养的重要方面，数学一线教师在日常教学中应注重这一重要思想的渗透，为学生数学核心素养的发展奠定坚实的基础.在“将军饮马问题”的教学中，让学生经历感知模型、建立模型、拓展模型、归纳模型、迁移模型等活动过程，体会模型思想，促进学生分析问题和解决问题能力的提高，进一步发展学生的数学核心素养.

[关键词]模型思想;将军饮马问题;初中数学

[中图分类号]    G633.6        [文献标识码]    A        [文章编号]    1674-6058（2021）02-0029-02

模型思想是《义务教育数学课程标准（2011年版）》新增的十个核心词之一，也被《普通高中数学课程标准》列为六大核心素养之一.数学一线教师在日常教学中应注重模型思想的渗透，为学生数学核心素养的发展奠定坚实的基础.初中阶段较少进行数学建模的专门训练，因此在一些典型课中，有意识地渗透模型思想尤为必要.如何有效地将这一抽象的数学思想渗透在教学中，促进学生数学核心素养的发展，一直是初中数学一线教师深入思考的问题.本文以一节“将军饮马问题”研讨课的教学设计为例谈谈模型思想的渗透.

一、创设情境，感知模型

数学抽象是建立模型的首要步骤.抽象性和概括性强是数学模型的重要特征，一些定理、公式和概念的产生往往需要经历抽象、归纳、概括的过程.笔者通过创设故事情境，引导学生抽象出数学问题，进而感知模型.

问题原型呈现：相传一位罗马将军拜访并请教精通数学和物理的学者海伦一个有趣的問题——若他每天从军营出发，先到河边饮马，再到河岸同侧的另外一个军营开会，应该怎样走才能使路程最短？海伦不假思索，便解决了问题.

师：请同学们也思考一下，从数学的角度应该如何理解这个问题呢？

评析：此环节先呈现“将军饮马问题”情境，激发学生的学习兴趣和求知欲;再通过追问，让学生感知问题的本质是探求最短路径，为模型的建立做好思维铺垫.

二、合作探究，建立模型

实践探究和合作学习是中学生研究数学的重要途径，它能将抽象的数学问题具体化和简单化.本环节以让学生经历操作、合作探究为出发点，让学生在观察、思考、作图的过程中感受领悟“饮马问题”模型的建立.

问题一抽象：用A表示军营，B表示另外一个军营.由此故事情境抽象出：（呈现在几何画板上）如图1，A和B位于直线l的同侧，求P在直线l上的什么位置时[PA+PB]的值最小？

师生活动：（限时3分钟）以小组为单位，合作探究作图.教师巡视，学生代表汇报交流结果，展示作图情况，追问画图过程，师生共同补充，教师利用几何画板动态验证.

小组展示：如图2，①以l 为对称轴，作出B的对称点B′;② 连接AB′与l交于点P，P的位置即为所求;③ [AP+PB]的最小值为AB′.

师生活动：

建立“将军饮马问题”模型的步骤：（1）明确直线和直线同侧的两点;（2）选取两点中的任一点，以这条直线为对称轴，作其对称点;（3）连接该对称点与另外一个点，使其与直线交于 P，P即为所求.

评析：引领学生从故事情境中抽象出模型，通过探索与反思，小组交流从分析原理到提出模型的学习心得，并借助几何画板的动态展示，使得教学内容变得生动、丰富.让学生总结从故事情境中提出数学问题、建立模型的经验，引导他们探究问题背后的实质，找到解题本质——利用轴对称变换知识作图，通过“两点之间线段最短”来解决问题.组织学生总结建立模型的步骤，有效提升学生对“将军饮马问题”模型的初步理解.

三、变式深化，拓展模型

为了使运用“将军饮马问题”模型解决实际问题常态化、系列化，确保学生真正理解和掌握该模型，设计如下问题，让学生再次经历从生活问题中抽象出“将军饮马问题”模型的过程，使学生更加熟练地掌握和应用模型.

问题二呈现：2020年迎新晚会，12班学生将桌子摆成两条直线[l1]和[l2]，在[l1]的桌面摆满苹果，在[l2]的桌面摆满饼干，乐乐坐在P处，他先拿苹果再拿饼干，最后回到P处，你能否帮忙设计一条路线，使他来回走过的总路程最短.

师：如图3，在[l1]、[l2]上分别取点M、N，使[△PMN]的周长最小.类比问题一的思想方法，应该如何解决这个问题？

生：如图4， 以[l1]、[l2]为对称轴，作出点P的对称点P′和P″;连接P′P″，与[l1]、[l2]分别交于M和N; 线段P′P″即为所求最小值.（两点之间线段最短）

评析：通过探究实际生活问题的数学活动，引导学生寻找基本信息、识别基本图形，发现实际生活问题中的数学规律，学会运用对称轴进行图形变换，建立“将军饮马问题”模型，强化模型的应用，推广模型.

四、兴趣延伸，归纳模型

通过类比探究，不难发现“将军饮马问题”模型还可应用在下列的问题中.

“将军饮马问题”模型也常运用在综合性较强的角、等腰三角形、等边三角形、菱形、正方形、长方形、圆、坐标系、抛物线等具有轴对称性质的几何图形相结合的问题中.难度一般的题目只需应用轴对称变换，再依据“两点之间线段最短”便可解决问题.难度较大的题目则需要多次进行轴对称变换或者轴对称变换与平移变换结合解决问题.

五、趣味提升，迁移模型

一些物理现象也常常需要应用“将军饮马问题”模型来解释.著名数学家费马曾运用该模型解释物理中的“光行最速原理”：从A点射出光线，经过平面镜MN反射照到点B，作出光走过的路径.

师生互动：如图9，以直线MN为对称轴，作B的对称点B′， 连接AB′，使其与MN交于点P; AP和PB的和则为光线的“最短路线”.

理由：在直线MN上，除点P之外的其他点P′，均有[AP′+P′B>AB′=AP+PB].光线走过两定点，走过的路程（或者时间）总是最短的.物理学中的“反射定律”——光线经平面镜反射，反射角等于入射角便可得证.

评析：此环节的设计增加了趣味性，让学生了解到“将军饮马问题”模型使用的广泛性.

综上，教师在数学教学中应注重渗透模型思想，引导学生体会模型思想的价值，学会建立模型，让学生在建模过程中提高分析问题和解决问题的能力，增强建模意识，提升数学核心素养.

[参考文献]

[1]  王立敏.例谈数学模型思想在教学中的渗透：以“探索多边形中隐含的规律”为例[J].教育实践与研究（A），2015（7） ： 69-70.

[2]  叶志敏，李秋容.“将军饮马问题”模型推广[J].数学学习与研究，2017（21）：143-144+146.

[3]  李克民.从经典模型的改造谈数学试题的命制：以“将军饮马”问题为例[J].教育研究与评论（中学教育教学），2016（1） ： 41-45.

[4]  扈保洪.“将军饮马”型问题的一种推广[J].中学数学杂志 ，2016（6） ： 51-53.

（责任编辑 陈 昕）