类比拓展 寻求共性

罗爱忠 董仁思

摘要：众所周知高考试题要求具有高度的原创性，高考命题专家手中只有教材和课标，以教材中的例题和习题以及曾经的高考试题，甚至部分模拟试题作为试题命制背景进行类比拓展、加工变式成为专家命题的主要方式。下面以两个题组为例从试题命制的角度谈领悟、应用类比法的体会，以及解决这一类直线过定点问题的基本方法.

关键词：类比拓展;寻求共性;高考试题;定值问题

人教A版《数学》（选修2-2）（第73页）对类比法这样定义：“有两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）。”数学家波利亚曾指出：“类比是伟大的引路人“;科学家开普勒的话：“我珍视类比胜过任何别的东西，它是我最可信赖的老师，它能揭示自然界的秘密”;数学家拉普拉斯认为即使在数学里发现真理的主要工具也是归纳和类比。由此可见，类比是一个非常重要的推理方法，也是编制试题的主渠道，更是培养学生数学创新能力、创新思维的重要途径，教学过程中我们应给予充分的重视。

题组一

1、（人教版《数学》选修2-1P73A组第6题）如图，O是直角系坐标原点，直线y=x-2与抛物线y2=2x相交于A，B点，求证：OA⊥OB﹒

本题主要研究过抛物线顶点的正交弦问题，本质上也是一个定值问题，即求证或kOA·kOB=-1。从这个命题出发进行探究、拓展，一般可以从三个维度进行：

一是逆命题是否成立，即过抛物线顶点的正交弦两端点的直线是否过定点问题，即例2﹒

二是探究拓展原、逆两个命题的一般性结论，即抛物线的弦的两端点的横坐标（纵坐标）乘积为定值，则弦所在直线过轴上的定点，反之亦然﹒

三是背景迁移，即將抛物线迁移到椭圆、双曲线中﹒

2、（2017年全国Ⅰ卷20）已知椭圆，下列四点

中恰有三点在椭圆C上﹒

⑴求椭圆C的方程;（）

⑵设直线l不经过点P2且与C相交于A，B两点，若直线P2A与直线P2B的斜率之和为-1，证明：直线l过定点﹒

这道高考题创新度较高，考查了直观想象、数学运算、逻辑推理等数学核心素养，充分体现了素养立意的命题要求。这道试题可以认为是由上述教材习题即第一题的逆命题且将载体由抛物线类比到椭圆而来，该题创新主要体现如下两点：第一，设问创新，以往给出点的坐标，利用待定系数法求曲线方程是常规题，如何跳出俗套，命题人出其不意，利用多给一个点的坐标，把直观想象、数学运算、逻辑推理等数学核心素养巧妙地结合在一起考查;第二，类比创新，研究直线变量中的不变问题，也是常见题，一般情形下类比方法是把两条直线重直的结论k1·k2=-1类比为k1·k2=m（m为常数），在这道考题中打破常规类比方法，创新为k1+k2=-1，从数学运算角度类比，让人感觉既熟悉又陌生，创新感十足﹒

题组二

得到关于p的方程解得，经检验符合题意

类比是创造新思维的基石，也是创新的重要方法。创新方法依赖于创新思维，培养学生数学创新思维，要求教师在日常教学中从关注学生的知识，技能的掌握转变为关注学生的思维思考方式，类比推理属于发现性学习，激发学生的智慧，培养学生的数学创新能力，是一个复杂的系统的工程。只要教师能转变观念，与学生的学习为中心与学科素养为导向，学生的创新能力一定能够提高。

参考文献：

[1][潘巧玲. 追本溯源，发现本质——对教材中椭圆一个定值问题的深度探究与微拓展[J]. 教学考试， 2019， 000（047）：P.18-21.

本文系湖南省教育科学规划课题：《高中数学教学实践渗透创客文化的实效性研究》（课题批准号：XJK016CZⅩX017）研究成果之一。

衡东一中 湖南 衡阳 421400