小学数学行程问题的解题策略

罗珍芳

【摘 要】行程问题是关于“速度、时间、路程”三者之间关系的问题，是学生难以理解和掌握的知识之一。然而，不论是在“小升初”考试，还是在数学竞赛中，行程问题往往是必考题。针对这一问题，本文提出使用运动轨迹图辅助解题策略，帮助学生理解题意，理顺速度、时间、路程三者的关系。从而帮助学生在较短的时间内解决较复杂的行程问题。

【关键词】小学数学;行程问题;图形;应用题

【中图分类号】G623.5  【文献标识码】A  【文章编号】1671-8437（2021）10-0198-02

行程问题涉及速度、时间、路程三个变量，三个变量又有多种变化[1]。对没有学过方程，抽象思维尚在形成中的学生来说，简单的行程问题可以理解，较复杂的行程问题往往无从下手。然而，在“小升初”考试、数学竞赛中，行程问题又是常见考题之一。如何帮助学生在较短的时间内寻找一种解决行程问题方法，提升学生思考问题、解决问题的能力？笔者在多年的教学中总结出了运动轨迹图辅助解题策略，把物体行程轨迹用图表示出来，让抽象问题形象化、运动轨迹可视化，也就是让学生先绘制运动轨迹图，再通过轨迹图去寻找速度、时间、路程三者之间的联系，最终通过运动体之间的相互关系，列出解决问题的表达式。

1  正确理解速度、时间、路程之间的关系，是解决问题的基础

在学生解决行程问题前，首先要让学生从物理角度理解速度、时间、路程的概念以及关系。从物理学上说，物体的速度，是物体在单位时间里移动的距离，因此速度也是一个具有方向的物理量，米/秒是速度的常用单位;时间，是指物体在移动过程中用的时间，秒是时间的常用单位;路程，是物体从起点到终点整个移动过程的距离，米是路程的常用单位，路程没有方向。速度、时间、路程这三者关系是：路程=速度×时间（S=vt）[2]。在学生学习行程问题时，教师要营造一种情境，让学生身临其境体会速度、时间、路程三者的相关关系，同时把物体的运动轨迹用简单的图来描述，协助学生理解路程、时间、路程的关系。

2   用图描述运动过程，是解决行程问题的有效途径

小学数学中，用文字来描述行程问题的习题通常较复杂，学生理解起来困难。考试中的行程问题比较复杂，考的知识点也多，学生难以解决。对于复杂的行程问题，可借助线段图来直观展示整个行程过程，把物体缩小成点，把路程简化成一条直线。在线段图上，简洁标注所求内容。教师要从简单的图入手，逐渐加深难度，在教学中启发学生，列出每个物体的速度、时间、路程之间的表达式，再引导学生寻找运动物体之间的关系，从而找到解决问题的方法[3]。

2.1  行程问题运动图的绘制方法

对于行程问题，由于有三个量在变化，如果单纯凭空想象，解题不仅很困难，也容易出错，尤其是解决那些多人相遇或追击、多次相遇的问题，更不可想象。对此，教师在行程问题的教学中，要给学生画出每道题的运动轨迹图，同时指导每个学生学会绘制运动轨迹图解题。用图表述行程问题中的运动物体的轨迹，有助于理解运动量之间的关系，快速找到解决问题的方法。

2.2  行程问题运动图的构成要素

行程问题的运动图涉及速度、时间、路程三个量，其中速度有方向（实际上速度是矢量），因此一幅完整的行程问题图应包含起始停点、运动物体、速度、时间、路程以及其他相关的数据、文字、注解、线段等。题中运动的物体，往往被浓缩成一个点代替;物体的运动速度用带有箭头的线段表示;路程和时间一般用标注的方法来描述。图1是一张描述速度、时间和路程的关系图。

2.3  行程问题图的绘制原则和技巧

行程问题图的绘制原则：先认真审题，审题是解答应用题的关键一步，从题干中的已知条件入手，一边读题，一边在草稿纸上绘制行程轨迹图，以“边读边画，兼顾协调”为原则，最后反复研究、修改和完善。一幅完整的行程运动轨迹图，既要直观反映整个运动过程，又要完整体现题中物体的速度、时间、路程之间的关系。

行程问题图的绘制技巧：一是将速度、时间、路程的数据直接标在对应线段上，速度的方向用带箭头的线段表示;二是用不同颜色、粗细的线条等描述不同的运动状态;三是用简洁的语言补充用图无法描述的东西[4]。

3   线段辅助解题应用案例

3.1  应用案例一

学生甲从M地出发半小时后，学生乙从M地出发，按照学生甲所行路线去追赶甲。3小时后，他们相距8km（甲在前，乙在后）。此時，甲到达N点，并在N点休整了20分钟后沿原路返回，学生乙继续前行。半小时后，甲、乙二人在C地相遇，求M、N两地间的路程。

解题思路：先根据题意，绘制如图2所示的甲、乙运动轨迹图（先让学生绘制，教师再给予纠正）。

让学生仔细观察图，以运动物体为分析对象，S=vt为理论依据，寻找速度、时间、路程之间的关系，最终列出表达式求解。从图2中得出：

对甲来说：S = 3.5v甲。

对乙来说：S = 3v乙+8。

因此存在：3.5v甲= 3v乙+8              （1）

从N到C的距离：SNC = 0.5v甲。

对甲、乙来说：8 = v乙×+0.5v甲   （2）

由（1）（2）就能计算出两人的速度。

3.2  应用案例二

在平行的轨道上，有两列火车相向行使，两车用时60秒完成从开始相遇到完全离开的过程。已知快车长180米，慢车长120米，若快车的速度是慢车的1.5倍，求两车的速度各是多少。

解题思路：把火车用方框表示，先绘制火车运动轨迹图（图3）。

从开始到结束，分别对快车和慢车的运动状况进行分析（在具体的分析中，以车尾这一点为分析对象）。

快车：S快=1.5v×60;慢车：S慢=v×60。

从图3中得出，快车和慢车从开始位置到结束所行程的路程正好是：180+120=300米。

因此：1.5v×60+v×60=300，

v=20米/秒，

快车的速度 V快=1.5v=30米/秒。

总之，解答行程问题，先用图的方式描述行程，再对图中的每个运动对象进行分析，列出相应的表达式，然后寻找运动对象之间的相互关系，最后列出解决问题的等式，这种方式十分有效。借助物体运动轨迹图来协助解决行程问题的方法形象且具体，经在学生中的对比实验证明，解题效果非常好。

【参考文献】

[1]包菊霞.微课在小学行程问题应用题中的应用[J].数学学习与研究，2020（5）.

[2]杨燕琴.小学数学行程问题教学方法探讨[J].新课程研究，2019（6）.

[3]浅谈小学数学应用题教学中的行程问题[J].数理化学习（教研版），2019（5）.

[4]殷丽娟.小学数学行程类应用题教学策略分析[J].中华少年，2020（5）.