复对称Toeplitz算子与向量值函数空间上的Toeplitz算子

李 媛，夏 锦

（广州大学数学与信息科学学院，广州510006）

引言

令H是一个复可分Hilbert空间，若C：H→H是反线性算子，满足C2＝I，且［C f，C g］＝［g，f］，其中f，g∈H，则称C是H上的一个复共轭。若存在共轭C使得CT＝T*C，则称H上的有界线性算子T是相对于C的复对称算子。

复对称算子的研究由Garcia和Putinar在文献［1］中开始，他们证明了对于H上的任意共轭C存在标准正交基使得C en＝en，n≥0。实际上，一个算子在某组基上具有对称矩阵表示时，它就是复对称的。同时，复对称算子的种类也非常多，包括所有正规算子，某些Hankel算子，压缩Toeplitz算子，以及Volterra积分算子。在过去的十年中，许多算子论专家［2-9］对复对称算子的研究做出了重大贡献。

文献［2］中首次研究了经典Hardy空间H2（D）上Toeplitz算子复对称的问题。文献［10］给出了H2（D）上相对于复共轭的复对称Toeplitz算子的完全刻画。文献［11］研究了单位球与多圆盘上Bergman空间和多重复调和Bergman空间上的复对称Toeplitz算子，发现Toeplitz算子在这两个空间上共轭复对称性的充要条件是相同的。文献［12］研究了单位圆盘的Dirichlet空间上Toeplitz算子相对于一类共轭的复对称性。然而，目前尚缺乏n维复数域Cn上Fock空间和调和Fock空间的复共轭性方面的研究。基于此，本文将从Toeplitz算子复对称有关的一些重要命题出发，开展n维复数域Cn上Fock空间和调和Fock空间的复共轭性方面的研究，以弥补复对称Toeplitz算子与向量值函数空间上的Toeplitz算子方面研究的不足。

对任意的t＞0，考虑Cn上Gaussian概率测度

本文第二部分研究了单位圆盘的向量值指数权Bergman空间上正算子值函数符号Teoplitz算子。

1 Fock空间和调和Fock空间上的复对称Toeplitz算子

1.1 Fock空间与调和Fock空间上Toeplitz算子复对称的等价性

1.2 主要结果

从定理1的条件（c）中，F2上关于共轭Cμ，ζ的复对称Toeplitz算子符号的极分解有对称形式。一个自然的问题出现了：对于Cμ，ζ上的任意复对称Toeplitz算子Tφ，条件φk（r）＝0是否意味着对任意k∈Zn有φ-k＝0在某些情况下，结果是肯定的。

2 向量值指数权Bergman空间上正算子值符号Toeplitz算子

2.1 Carleson条件

2.2 Toeplitz算子的有界性与紧性

3 结束语

第一部分研究了Toeplitz算子关于共轭Cμ，ζ在F2或F2h上是复对称算子的充要条件，发现Toeplitz算子关于共轭上成为复对称算子的条件是相同的。第二部分研究了单位圆盘的向量值指数权Bergman空间）上正算子值函数符号Teoplitz算子。利用Carleson条件与均值函数得到了Toeplitz算子有界，紧的充要条件。