灰色关联法在地磁匹配导航中的应用

贺亚杰，范荣双，王 勇

（1.辽宁工程技术大学 测绘与地理科学学院，辽宁 阜新 123000；2.中国测绘科学研究院，北京 100039；3.山东科技大学 测绘科学与工程学院，山东 青岛 266590）

0 引言

地磁匹配导航具有无源、无辐射、全天时、全天候、高精度等特点[1]，正在激起国内外许多学者的研究热情，是现今导航领域的一个研究热点。地磁匹配导航与无线电导航和卫星导航系统不同，是一种完全自主的、主动的定位系统；与惯性导航系统相比，具有成本低、导航误差不随时间产生累积效应等特点[2]。因此，探索和研究新型高性能、全自主、全天候地磁匹配导航技术，是我国开发海洋、地下资源，提升公共安全和公共消防能力，提高我国医疗器械装备水平，实现可持续发展的迫切需求。近年来，地磁匹配导航技术已广泛应用到飞行器控制、地磁匹配制导、水下潜行器等众多领域，有巨大的军事价值。

地磁匹配导航的定位精度与所选择的地磁匹配算法有关，而且匹配区的适配性能也直接影响导航的精度[3]。地磁图适配性的分析，是地磁匹配导航的基础，在具有高精度地磁基准图的条件下，选择合适的匹配区，是进行航迹规划及地磁匹配的一项必不可少的任务，因而，对地磁适配性进行分析具有重大意义。国内外许多学者已经对地磁适配性进行了相关研究。文献[4]引入粗糙集理论，评估了地磁特征参数对地磁适配性的影响；文献[5]针对单地磁特征参数选择方法单方面评估的缺点，提出了一种将信息熵与项目追踪理论相结合的多特征参数融合选择方法；文献[6]对地磁适配区域的选择进行了相关研究，将基于磁场特征参数的适配区选择方法与基于地磁场特征参数信息熵的适配区选择方法进行了对比，并将结果进行航迹规划仿真，发现后者在适配区的选择方面更加有效；文献[7]提出，在适配性分析方面，尺寸大小是影响匹配区选取的一个重要因素，通过实验证明了合理的尺寸能够提高匹配精度；文献[8]使用加博尔（Gabor）滤波和灰度共生矩阵，解析其不同域的方向性特征，建立地磁辅助导航定向匹配适用性分析的分层决策方案；文献[9]针对单一的特征指标不能够合理评价地磁适配性的问题，提出用多指标融合进行评价的方法，并采用平均绝对值偏差（mean absolute deviation, MAD）等匹配算法进行实验，验证了该方法的正确性；文献[10]提出一种基于谱矩特征的地磁匹配辅助导航匹配区域适配性性评估方法；文献[11]提出一种基于韦格（Vague）集的评估方法，来描述地磁基准图的适配性，克服了模糊决策方法的缺点；文献[12]提出了一种结合主成分分析（principal component analysis, PCA）和层次分析法（analytic hierarchy process, AHP）的新型综合模型，以评估导航匹配区域的适用性。在前人研究的基础上，本文利用多特征参数进行综合评价分析候选匹配区的适配性能，引入灰色关联理论，采用层次分析法与熵值法相结合，组成组合权重，目的是解决由于主观或者是客观赋权所带来的权重系数灵敏度不高的问题，最后利用迭代最近轮廓点（iterative closest contour point, ICCP）匹配算法对选出的候选匹配区进行匹配，实验证明了该方法在地磁适配性分析中的有效性。

1 地磁特征参数

在地磁科学研究中，地磁场数据能够真实反映地磁场的变化[13]。地磁场数据来源不同，但无论以何种形式得到的地磁数据，最终所需要的都是以规则的网格形式存储的地磁图。设某个候选匹配区的大小为M·N（M为纬度跨度，N为经度跨度），f(i,j)为坐标(i,j)处的地磁场强度值，其中 (i,j)为经度和纬度坐标 (φ,λ)[9]。

1.1 地磁标准差σ

地磁标准差是反映地磁场数据离散程度的。一般来讲，对于某一候选匹配区，其地磁标准差越大，说明该候选匹配区的地磁特征变化比较明显，越有利于地磁适配性分析及特征匹配[14]。其定义如下

式中f为候选匹配区内的平均地磁场值，其计算方法为

1.2 地磁信息熵H

香农熵早先用于物理热力学[15]。但是自从信息论出现以来，熵的概念已广泛用到信号和图像处理中。地磁熵还可以反映匹配区域中的地磁信息量。熵越小，匹配结果越好[16]。此外，地磁熵还具有消除测量误差并消除奇异性的能力。可以根据香农熵的定义来计算地磁熵，即

式中P(i,j)为输出概率函数，其计算方法为

1.3 地磁粗糙度r

地磁粗糙度是反映某一区域平均光滑程度的指标，某一区域的粗糙度的值越大，说明该区域包含的信息越多，能够很好进行[17]拟合。地磁粗糙度r定义为

式中：rx、ry分别为经度和纬度方向的地磁粗糙度，rx和ry的计算方法为：

1.4 相关系数Q

地磁相关系数是用来判断其数据是否独立的一个依据[18]。在地磁适配性分析中，用相关系数来反映地磁场的相关程度，对某一区域来说，其相关系数越小，其匹配性能越好。相关系数的计算公式为

式中：Qx、Qy分别为经度方向和纬度方向的相关系数，Qx和Qy的计算方法为：

1.5 累积梯度G

累积梯度可以有效地表示地磁场的复杂性，也可以反映匹配区域中的信息量。累积梯度越大，信息内容越多，匹配效果越好[14]。地磁累积梯度定义为

式中：Gx、Gy分别为经度和纬度方向的累积梯度，Gx和Gy的计算方法为：

2 地磁图适配性分析方法

2.1 构造灰色关联决策矩阵

2.1.1 建立指标特征矩阵

假设某地磁基准图有m个决策方案xi，n个评价指标uj，设其方案集为X=(x1,x2,…,xn)，指标集为U=(u1,u2,…,un)。 根据灰色系统的基本原理，要想得出最适合的方案，就必须要考虑各方案与理想方案的关联度，所谓理想方案就是由各个指标的最优值选择出来所组成的[19]，理想方案可表示为A0j=(a01,a02,…,a0n)，又将它称之为参考序列。则可以建立m+1个方案的决策矩阵为

2.1.2 对矩阵进行归一化处理

指标的类型有多种，常见的有效益型、成本型、区间型、固定性，在本文所给出的五种特征指标中，已知地磁适配能力随着地磁标准差、地磁粗糙度及累计梯度的增大而增大，随着地磁信息熵、相关系数的减小而增大，因此将地磁标准差、地磁粗糙度及累计梯度看做是效益型指标，将地磁信息熵、相关系数看作是成本型指标。为了消除决策结果不同维度的影响，通常对决策矩阵进行标准化处理，对指标进行标准化的方法有线性比例变换法及极差变化法。

若评价指标为效益型，令

若评价指标为成本型，令

对指标矩阵A进行归一化处理，得到归一化矩阵R为

2.1.3 计算灰度关联系数

给出了理想方案，那么就可以按照相关的原则，确定某一个方案与理想方案关于某一个指标的关联系数，关联系数gij计算公式为

当Δmax＜3ω时，取 1.5ε＜ξ＜ 2ε；当Δmax≥3ω时，取ε＜ξ＜ 1.5ε[20]。

最后得出灰色关联系数矩阵G为

2.2 使用层次分析法及熵值法确定指标权重

权重的确定中，由于主观赋权法主要依赖于专家经验，其主观性比较强，主要是由决策者的偏好程度决定的；而客观赋权法依赖的是数据，没有考虑到专家知识及经验。因此仅仅单一的依靠主观赋权法或者是客观赋权法确立权重并不能够达到理想的效果，基于此，本文提出采用主客观结合赋权法来确定地磁候选匹配区指标权重，主要步骤如下。

2.2.1 利用层次分析法求得权重

1）建立层次结构模型并构造比较判断矩阵C为

3）求出权重αj，其计算步骤为：

①将C的每一列向量归一化，计算公式为

②对归一化后的列向量进行求和，其计算公式为

③然后对式（24）进行归一化，其计算公式为

④得出权向量αj=αT。

2.2.2 利用信息熵法得出权重

熵值法估计权重模型为：

1）计算第j项指标下第i个区域占该指标的比重Pij为

2）计算第j项指标的熵值ej为

3）计算信息熵冗余度dj为

4）计算各项指标的权值βj(j= 1 ,2,…,n)为

2.2.3 组合权重

将两种方法得到的权重进行线性组合，其组合公式为

式中：γ为主观偏好系数，1-γ为客观偏好系数；进而得到组合权重W= (w,w,…,w)T；其中

12n

2.3 灰色关联度求解

由于灰色关联系数不能够对某一方案进行综合评估，基于此，将评价指标权值与其关联系数相结合建立关联度Zi(w)为

其关联度的值越大，证明该方案最优，最终根据关联度的大小对待选方案进行排序，选出最优方案。

3 仿真分析

3.1 候选匹配区的各项值

为了便于验证，选用某一区域的地磁异常数据（注：该数据已经进行了偏移、拓密等保密处理），其地磁异常等值线图如图1所示。选出 5块区域A1、A2、A3、A4、A5作为候选匹配区。根据章节1中的特征参数公式计算各区域指标参数如表1所示。根据各个指标是效益型还是成本型对其排序，其排序结果如表2所示。

图1 地磁异常等值线图

表1 各个候选匹配区指标值

表2 各指标的适配性排序

由表2可以看出，单一考虑某一指标，对候选匹配区的适配性能力排序是没有规律的，所以单一考虑某一指标，并不能够得出哪个区域是适配区域，需要综合考虑各指标以合理地评价地磁候选匹配区适配性。

3.2 灰色关联分析

3.2.1 对指标进行赋权

1）首先利用层次分析法求得权重系数，构造判断矩阵为

根据式（22）进行一致性检验：取s=1.12，求得最大特征根λmax=5.2584，h=0.0646 ，l=0.0577，h和s全都小于0.1，通过一致性检验。此时根据式（23）求得权重为

2）根据式（24）至式（27），利用熵值法求出权重为

3.2.2 计算灰度关联系数

根据特征参数的值，构造决策矩阵为

对决策矩阵进行归一化处理得

计算灰度关联系数中最重要的是要先确定分辨系数，根据归一化矩阵可以得出：m=

由式（19）及式（20）得出ω=0.1417，ε= 0.2541。

因为3ω＜M，所以分辨系数范围为 0.2 54 1≤ξ≤0.3812，取ξ=0.3，根据式（18）计算得出灰色关联系数阵为

3.2.3 计算灰色关联度

根据式（29）求得灰色关联度为Z=(0.8 8 9 7,0.5 34 7,0.5 47 2,0.4 33 8,0.3 81 5)T，对候选匹配区进行排序，关联度越大其适配性越好，各候选匹配区关联度如表3所示。

表3 候选匹配区关联度

（续）

从表3以看出，区域1的关联度最大，区域5的关联度最小，其适配性排序为 A1＞A3＞A2＞A4＞A5，候选匹配区A1的适配性最好。

3.3 实验验证

分别在选出的5块候选匹配区中，利用ICCP算法进行地磁匹配仿真，以验证灰色关联分析的结论。ICCP算法实现实测数据与已有数据间的匹配是通过迭代最近等值线上的点来实现的，其迭代不是一次就能完成，而是经过多次迭代以寻求最优的轨迹并输出，能够较好地修正惯性导航系统（inertial navigation system, INS）误差[21]。仿真实验中参数的设置如表4示，迭代次数为15次，A1至A5的匹配仿真结果如图2所示。

表4 仿真参数设置

从图2可以看出：图2（a）为A1区域，其地磁等值线较为稠密，地磁特征变化较为明显，最适用于作为适配区，利用ICCP算法进行匹配，最终真实轨迹与匹配轨迹基本一致，证明匹配效果好，适用于作为匹配区。图2（b）为A2区域匹配结果，从图2（b）中可以看出，真实轨迹与匹配轨迹在刚开始进行匹配的时候轨迹偏离较为明显，后匹配轨迹与真实轨迹趋于重合，在目标点附近，其两条轨迹又出现偏离的现象，说明了候选匹配区 A2的匹配效果一般。图2（c）中，真实轨迹与匹配轨迹除了在起始点附近偏离较大之外，后面两条轨迹趋于重合，其匹配效果优于A2。图2（d）中，匹配轨迹接近真实轨迹，但偏差较为明显。图2（e）中，匹配轨迹与真实轨迹趋于平行状态，匹配误差较大。区域A1至A5的校正航迹位置误差如表5所示。

图2 A1至A5地磁匹配结果

从表5可以看出，利用ICCP算法进行匹配得到区域A1的匹配误差最小，A3次之，A5的匹配误差最大。在其他条件相同的情况下，单一分析适配性，匹配误差的结果能够代表候选匹配区适配性的好坏。由此可以得出候选匹配区适配性排序为 A1＞A3＞A2＞A4＞A5，这一结果与本文所提出的方法得出的适配性结果是一致的，证明了本文提出方法的有效性及可行性。

表5 候选匹配区匹配误差

4 结束语

随着技术的不断进步，高精度地磁匹配导航技术将广泛应用于民用和军用领域。地磁适配性分析是地磁匹配导航中一项必不可少的研究内容，在高精度地磁基准图的基础上，对适配性进行分析是后期进行地磁匹配的前提。由于单一依靠某一种地磁特征评判地磁候选匹配区适配性并不能够全面分析某一候选匹配区是否适用，基于此，本文提出了一种灰色关联分析法应用于地磁适配性分析的研究，该方法将几种地磁特征关联起来，对候选匹配区进行综合评判，其得出的结果与利用ICCP算法在各候选匹配区进行匹配得出的结果是一致的，证明了本文提出方法的有效性，此方法可以作为选择地磁适配区的依据。