积累基本活动经验 提升数学核心素养

王艳 唐永

[摘  要] 解题后的回顾反思和对比分析是提高教学效益的有效途径.对一道解析几何题的解答过程，反思其运算是否合理、细节处理是否到位、逻辑推理是否严谨;对比分析其不同方法的优劣，优化解题思路，促进学生积累数学活动经验，提升数学核心素养.

[关键词] 反思;对比;基本活动经验;核心素养

数学教学离不开解题，但数学习题“题海无边”，若就题讲题，则永远也讲不完，唯有“回头是岸”. 罗增儒教授指出：“包括解题反思在内的数学解题，是数学学习中不可或缺的核心内容”.因此，只有加强解题后的回顾反思和对比分析，才能跳出题海，提高解题教学的效益.通过反思运算是否合理、细节处理是否到位、逻辑推理是否严谨;通过比较不同方法的优劣，优化解题思路，促进学生积累数学活动经验，提升数学核心素养.下面对一道解析几何题的解答过程进行反思和对比，谈一些体会和做法，仅供大家参考.

案例呈现

（2019届苏州市高三数学期初测试题）已知椭圆C： + =1（a>b>0）的左、右顶点分别为A，B，离心率为 ，点 P1， 为椭圆上一点.

（1）求椭圆C的标准方程;

（2）如图1，过点C（0，1）且斜率大于1的直线l与椭圆交于M，N两点，记直线AM的斜率为k ，直线BN的斜率为k ，若k =2k ，求直线l斜率的值.

我校高二期末考了这道题，学生得分率较低，普遍反映运算量大、难算.但此题又是不可多得的好题，区分度较高，蕴含丰富的数学思想和方法，如方程思想、转化思想、整体思想、数形结合思想等，是落实数学核心素养难得的知识载体.

学生思路展示及反思

思路1：（1） + =1（过程略）. 对于第（2）问，由于点A、点B已知，学生的基本思路是：先设出直线AM的方程，与椭圆的方程联立，由韦达定理求出M的坐标，同理求出N的坐标，根据M，C，N三点共线可得出关于k 或k 的一个等式，进而求出直线MN的斜率.下面是部分学生的解答过程.

解法1：设M（x ，y ），N（x ，y ）.设直线AM的方程为：y=k （x+2），联立方程组y=k （x+2）， + =1，消去y得，（4k +3）x2+16k x+16k -12=0，由韦达定理得（-2）·x = ，x = ，y =k （x +2）= ，所以M ， .

设直线BN的方程为：y= （x-2），联立方程组y= （x-2）， + =1，消去y得（k +3）x2-4k x+4k -12=0，由韦达定理得2·x = ，x = ，y = （x -2）= ，所以N ， .

由M，C，N三點共线，得k =k ， = ，化简得，4k +6k +9k -9=0，学生就做不下去了.

反思1：解法1的思路比较自然，但其中化简得出等式4k +6k +9k -9=0的过程运算量非常大，很少有学生能正确化出.即使化出来了，对这个等式4k +6k +9k -9=0又如何处理呢？一些学生想到因式分解：（4k -9）+（6k +9k ）=0，（2k +3）（2k -3）+3k （2k +3）=0，（2k +3）（2k +3k -3）=0，所以2k +3k -3=0，解得k = ，再代入k = 算，而代入这一步计算量很大，甚至无结果. 能否不求出k 呢？由2k +3k -3=0得，2k =3-3k ，代入k = = = = . 再进一步思考，由于是求值问题，要求的k = 表达式中“36k +54k ”与“36-16k ”一定存在倍数关系，所以根本不需要因式分解，由4k +6k +9k -9=0得6k +9k =9-4k ，所以k = = = = . 教学过程中，展示对等式4k +6k +9k -9=0的不同细节处理，渗透整体代入思想，在对比中碰撞思维，优化解题过程，提升学生数学运算核心素养.

思路2：解法1由于要求出M，N点坐标，运算量大、易出错，故想到采用“设而不求”的方法，直接设直线MN的方程，与椭圆的方程联立，由韦达定理得到x +x 和x x 两个关系式. 将条件k =2k 化简成关于x +x 和x x 的等式，把x +x 和x x 代入求出直线MN的斜率k.下面是部分学生的解答过程：

解法2：设M（x ，y ），N（x ，y ）.设直线MN的方程为：y=kx+1，联立方程组y=kx+1， + =1，消去y得（3+4k2）x2+8kx-8=0，所以x +x =- ，x ·x =- . 因为k =  ，k = ，所以由k =2k ，得 = ，即 = ，（kx +1）（x -2）=2（kx +1）（x +2），化简得kx x +（2+2k）x +（4k-1）x +6=0，即kx x +（2+2k）（x +x ）+（2k-3）x +6=0，将x +x = - 和x ·x =- 代入上式化简得， +（2k-3）x =0， +（2k-3）x =0，即（2k-3） +x =0. 所以2k-3=0，k= ，直线l斜率的值为 .

反思2：解法2的困难之处在于：化简到kx x +（2+2k）x +（4k-1）x +6=0这一步，式子中虽有x x ，但没有出现x +x ，不能使用韦达定理，下一步该如何处理呢？不少学生做到这一步就放弃了.解法2就是采用配凑法，局部使用韦达定理得出结果.事实上，解法2有需要完善的地方，最后一步由（2k-3） +x =0得出2k-3=0存在逻辑漏洞，因为可能会出现 +x =0但2k-3≠0这种情况，所以要验证 +x ≠0. 若 +x =0，即x =- 时，因为k>1，此时（3+4k2）x +8kx -8=（3+4k2）-  +8k- -8= ≠0，则x 不是方程（3+4k2）x +8kx -8=0的解，不满足题意，所以 +x ≠0. 在解题教学中，有时需要“检验”“验证”等，不少教师仅仅强调甚至不强调“验证”，至于为什么要“验证”却“避而不谈”，学生对此环节不理解，有困惑. 为此，教师要放慢教学节奏，剖析学生的思维漏洞，提高学生的“逻辑推理”核心素养. 不妨再举一例，体会其中要“验证”的环节.

例1：如图2，在平面直角坐标系xOy中，椭圆 + =1（a>b>0）的右顶点和上顶点分别为点A，B，M为线段AB的中点，且 · =- b2.

（1）求椭圆的离心率;

（2）若a=2，四边形ABCD内接于椭圆，AB∥DC，记直线BC，AD的斜率分别为k ，k ，求证：k k 为定值.

解：（1）e= （过程略）.

（2）直线BC的方程为y=k x+1，联立y=k x+1， +y2=1，消去y，得（4k +1）x2+8k x=0，解得x = ，所以C ， ，同理求得D ， . 由AB∥DC得，k =k ， = - ，化简得（4k k -1）[2（k -k ）-（4k k +1）]=0. 若2（k -k ）-（4k k +1）=0，即4k k =2（k -k ）-1，则 - = =2× =2× =0，此时直线DC的斜率不存在，不符合题意，故2（k -k ）-（4k k +1）≠0. 所以4k k -1=0，即k k = .

反思3：解法2中由k =2k  ，得 = ，即 = ，这一步是根据点M（x ，y ）和N（x ，y ）在直线MN：y=kx+1上得到的.这也是学生的一种惯性思维，而点M和N又在椭圆 + =1上，那么能否利用点在椭圆上求解呢？由于椭圆的方程是二元二次方程，将其变形为y2=31- 或x2=41- ，所以要对等式 = 两边平方，这样就有了解法3.

解法3：设M（x ，y ），N（x ，y ）. 设直线MN的方程为：y=kx+1，联立y=kx+1， + =1，消去y得，（3+4k2）x2+8kx-8=0，所以x +x =- ，x ·x =- .

因为k = ，k = ，所以由k =2k ，得 = ，则 = . 因为M（x ，y ），N（x ，y ）在椭圆上，所以y =31- ，y =31- . 所以 =  ，化简得 = ，即3x x +10（x +x ）+12=0，3- +10- +12=0，整理得12k2-20k+3=0，解得k= 或k= . 因为k>1，所以k= .

与解法2比较，解法3运算量较小，具有明显的优势. 解题过程中要充分重视方程的思想，不仅要利用“点在直线上”，更要利用“点在曲线上”. 不妨再举一例，体会“点在曲线上”的妙用.

例2：已知斜率为k的直线l经过点（-1，0）与抛物线C：y2=2px（p>0，p为常数）交于不同的两点M，N，当k= 时，弦MN的长为4 .

（1）求抛物线C的标准方程.

（2）过点M的直线交抛物线于另一点Q，且直线MQ经过点B（1，-1），判断直线NQ是否过定点？若过定点，求出该点坐标;若不过定点，请说明理由.

解：（1）抛物线C：y2=4x（过程略）.

（2）设M（t2，2t），N（t ，2t ），Q（t ，2t ），k = = ，所以直线MN的方程为y-2t= （x-t2），即2x-（t+t ）y+2tt =0. 同理可求得，直线MQ的方程为2x-（t+t ）y+2tt =0;直线NQ的方程为2x-（t +t ）y+2t t =0.

由点（-1，0）在直线MN上，得tt =1，即t= ①.

由点（1，-1）在直线MQ上，得2+（t+t ）+2tt =0，将①式代入得2+ +t + =0，即t t =-2（t +t ）-1②.

将②式代入直线NQ的方程，得2x-（t +t ）（4+y）-2=0.当y=-4时，x=1，所以直线NQ过定点（1，-4）.

思路3：从图形中发现，直线AM，BN与椭圆的交点也是直线MN，x轴与椭圆的交点，将两条直线AM和BN的方程写成一个二元二次方程，将此方程与椭圆方程联立得到直线MN的方程，求出直线MN的斜率，于是得到解法4.

解法4：由题意得，直线AM的方程为y=k （x+2），即k （x+2）-y=0①，直线BN的方程为y=k （x-2），即k （x-2）-y=0②，①×②得，k k （x2-4）-y[（k +k ）x+2（k -k ）]+y2=0③，将x2=41- 及k =2k 代入③，化简得y[（3-8k ）y-9k x-6k ]=0. 所以y=0为直线AB（x轴）的方程，（3-8k ）y-9k x-6k =0即为直线MN的方程. 因为直线MN过点C（0，1），则有3-8k -6k =0，即3-8k =6k . 此时直线MN的斜率k= = = .

反思4：联想双曲线 - =1的两条渐近线方程 ± =0，可以表示为 +  - =0，即 - =0. 我们将两条直线的一般式方程相乘得到关于x，y的二次方程，可以看成是一个曲线的方程，这样就转化成两个曲线相交问题，再将椭圆标准方程变形x2=a21- 或y2=b21- 后代入上述曲线的方程，消去x2或y2项，并进行因式分解得到所要求的直线方程，达到简化运算的目标.

几点思考

1. 反思关键点，突破难点，积累基本活动经验.对于学生而言，数学基本活动经验通常是指在教学目标的指引下，经历了实际操作、直观想象、抽象概况、逻辑推理等数学活动之后，所获得的对于数学的体验和认知. 它可以是使人受益终生的深深铭刻在头脑中的数学的精神，数学的思维方法、研究方法、推理方法，甚至经历的挫折等;也可以是从整体意义上对数学活动的领悟……解題经历是学生积累基本活动经验的主要途径，通过对“4k +6k +9k -9=0”“（2k-3） +x =0”“ = ”等关键点、困惑点的处理，帮助学生按照自己的想法走下去，而不是遇到困难“另起炉灶”，在反思顿悟中积累成功的解题经验，有助于学生碰到类似的问题，顺利突破难点.

2. 比较思路，优化解法，提升数学核心素养. 解析几何是高考重点考查内容之一，对学生来说是成绩好坏的“分水岭”，对教师来说，是要使出浑身解数的地方. 尽管师生高度重视，但实际效果并不理想，其中一个重要原因是学生拿到题就迫不及待地开始算，“只顾埋头拉车”的结果往往是“出师未捷身先死”.有了初步方案，最好慢一点，要有“思在算前”的意识，对方案进行预判，预估可能的困难，再对方案及时修正、优化.思路1是常规思路，要联立两次，M，N的表达式已经够复杂了，再做下去会更繁，风险太大，首先不考虑. 思路2是典型的设而不求，解法2中代数结构不对称，采用配凑法、局部使用韦达定理，解法3对解法2进行优化，先利用椭圆方程化简处理，简化了运算. 思路3是联想双曲线的渐近线而产生的奇思妙想，是一种创新思维，对培养学生的创造性思维具有重要意义.在实际教学中，教师要充分展示学生的各种解题思路，引领指导学生对不同思路进行差异分析，在对比中明晰每种思路的优点和不足，优化解题思路，提炼一类问题的最优解法，使数学运算、逻辑推理、直观想象等核心素养在习题教学中落地生根.