一次惊喜的“教学意外”

裴炎钿

【摘要】数学课堂教学，可以有目的、有计划、适量地引导学生一题多解训练，有利于开拓学生的解题思路，培养和发展学生的数学思维能力，锻炼学生数学思维的灵活性，使学生把所学知识融会贯通，使知识系统化。同时，这样的课堂既能调动学生学习积极性，又能培养学生数学思维的广阔性、深刻性和创造性。当然，在学生的分享讨论中，有些奇思妙想会存在思维严谨性和思维方法上的欠缺，或是认识上的偏差，教师应给予鼓励性指导和点拨。

【关键词】一题多解;数学思维;思维教学

正值期末复习，数学课大多都是试卷讲评课，为了让笔者执教的数学课堂不枯燥、不乏味，笔者常常放手让学生“掌管”课堂，分配任务“承包到组”，班里的八个小组像“八仙过海，各显神通”，这让数学课堂呈现一片生机盎然。当然，笔者也常常收到惊喜的“教学意外”。

一、例题呈现

如图，四边形ABCD为矩形，C点在x轴上，A点在y轴上，D点坐标是（0，0），B点坐标是（3，4），矩形ABCD沿直线EF折叠，点A落在边上的G处，E、F分别在AD、AB上，且F点的坐标是（2，4）。

（1）求G点坐标;（2）求直线EF解析式

二、学情分析

学生已完成了对北师大版八年级上册的学习，能熟练掌握勾股定理的应用及全等三角形的证明，会用待定系数法求一次函数解析式，对中点坐标以及含有30°角的直角三角形性质有一定了解。这道题的出题意图在于复习直角坐标系中的折叠问题，让学生掌握勾股定理和一次函数的综合应用。

三、解题思路

（1）由题意可知，FG=AF=2， FB=1，因为四边形ABCD是矩形，所以∠B=90°，BG=，所以点G的坐标为（3，4-）。第一问的解法几乎是一致的，意外的是第2问，在第1小组分享完后，每个小组陆续提出自己的想法及优化解法，也有小组另辟蹊径，惊喜连连。

第一小组分享：利用股定理及方程思想

解法一：如图1，过点E作EH⊥BC，构造直角三角形EGH，设0E的长度为x，则AE=4-x，因为△AEF沿直线EF折叠，所以EG=AE=4-x，GH=4--x ，根据勾股定理可得EG2=EH2+GH2 ，（4-x）2=

32+（4--x）2，求得E（0，4-2），已知F（2，4），根据待定系数法，解得直线EF的解析式为y=x+4-2。

第二小组分享：利用含有30○ 角的直角三角形性质

解法二：上述方法计算量大，特别是解（4-x）2=32+（4--x）2，计算步骤繁琐，第二小组观察的到FB：FG=1：2，联想到“在直角三角形中，30○ 角所对的边是斜边的一半”的逆应用，因此，判断∠FGB=30○，则∠BFG=60○，因为折叠，所以∠AFE=∠EFG=60○，∠AEF=30○，由此得出AE=AF=2，E（0， 4-2）。已知F（2，4），根据待定系数法，解得直线EF的解析式为y=x+4-2。

第三小组分享：利用含有30°角的直角三角形性质优化解法一

思维敏捷的第三小组受解法二的启迪，若是在作辅助线EH后，结合含有30°角的直角三角形性质辅助，会大大减少计算量，让过程变得更简便。于是乎就有了改良版解法三：如图1，由FB：FG=1：2，∠FGB=30○，因为折叠，∠FGE=∠FAE=90○，所以∠EGH=60○，∠GEH=30○，根据GH：EH=1：，得GH=，HC=4-2，所以E（0， 4-2）。已知F（2，4），根据待定系数法，解得直线EF的解析式为y=x+4-2。

第四小组分享：构造全等三角形

解法四：如图2，延长直线GB交直线EF于H点，因为FB：FG=1：2，∠FGB=30○，则∠BFG=60○，因为折叠，∠AFE=∠EFG=60○，∠AFE=∠HFB=60○，等量代换可得∠BFG=∠HFB=60○，∠FBH=∠FBG=90○，FB为公共邊，可证△HFB≌△GFB，求得H（3，4+）， 已知F（2，4），根据待定系数法，解得直线EF的解析式为y=x+4-2。

第五小组分享：利用互相垂直的两直线K值相乘为-1

解法五：已知F（2，4），G（3，4-），根据待定系数法，解得直线FG的解析式为y=-x+4+2。因为折叠，∠FGE=∠FAE=90°，FG⊥EG，根据互相垂直的两直线K值相乘为-1，设直线EG的解析式为y=x+b，已知G（3，4-），解得直线EG的解析式为y=x+4-2。因而得到E（0， 4-2），已知F（2，4），根据待定系数法，解得直线EF的解析式为y=x+4-2。

第六小组分享：作辅助线构造两直线互相垂直

解法六：如图3，连接AG，交EF于H，因为折叠AF=FG，∠AFH=∠GFH，FH为公共边，可证△AFH≌△GFH，所以∠AHF=∠GHF=90○，AG⊥EF 。由A（0， 4），G（3，4-），根据待定系数法，解得直线AG的解析式为y=-x+4。根据互相垂直的两直线K值相乘为-1，设直线EF的解析式为y=-x+b，已知F（2，4），代入求得直线EF的解析式为y=x+4-2。

第七小组分享：巧用对称的性质及中点坐标优化解法四

观察仔细的第七小组发现，由于△AEF沿直线EF折叠到△GEF，连接AG，直线EF其实是A点关于G点的对称轴，根据对称的性质，直线EF垂直且平分线段AG，两直线的交点O则是线段AG的中点。于是乎就有了改良版解法七：利用中点坐标公式求得O（，），已知F（2，4），根据待定系数法，解得直线EF的解析式为y=x+4-2。不得不说，改良后的解题过程简单方便，大大提高解题效率。

第八小组分享：相似三角形

听完前七个小组的精彩分享，第八小组跃跃欲试，一个学生犹豫地举起手说：“老师，我也想到一种方法，但不知对不对？”“没事，上台说说你的想法”，在笔者的鼓励下，这位学生讲起了自己曾自学过相似三角形，解法八：如图4，过点E作EH⊥BC，构造直角三角形EGH，因为折叠，∠FGE=∠FAE=90○，所以∠FGB+∠EGH=90○，又因为∠EGH+

∠GEH=90○，可得∠FGB=∠GEH，且∠FBG=∠EHG=90○，可证△FBG∽

△GEH， BG：EH=FB：GH，求得GH=，则OE=4-2，E（0， 4-2）。已知F（2，4），根据待定系数法，解得直线EF的解析式为y=x+4-2。

随着八个小组分享结束，下课铃声响起，这节课学生们的脸上写满了喜悦与收获，就连平日里对数学课提不起兴趣的学生也瞪大了好奇的双眼，连连为每个小组鼓掌，感叹同学们的发散思维，纷纷点赞这节“头脑风暴课堂”。

四、结语

这让笔者更加坚定，数学课堂教学可以有目的、有计划、适量地引导学生一题多解训练，有利于开拓学生的解题思路，培养和发展学生的数学思维能力，锻炼学生数学思维的灵活性，使学生把所学知识融会贯通，使知识系统化。同时，这样的课堂既能调动学生学习积极性，又能培养学生数学思维的广阔性、深刻性和创造性。当然，在学生的分享讨论中，有些奇思妙想会存在思维严谨性和思维方法上的欠缺，或是认识上的偏差，教师应给予鼓励性指导和点拨，保护思维的“火花”不被冷水浇灭，让数学课堂真正成为思维教学，激励学生创造性思维，敏锐地捕捉并利用生成，让学生的思维“满地开花”。

责任编辑  李  源