一种均匀激励稀布圆平面阵列的方向图综合算法

王新宽, 姚彬彬

(陕西理工大学 物理与电信工程学院, 陕西 汉中 723000)

稀布阵列天线(Sparse antenna array,SAA)是指天线单元在阵列的口径范围内随机分布的一类阵列结构。与单元紧密排列的阵列天线相比，SAA能够在不明显降低天线的波束宽度、增益等指标情况下，大幅改善天线的旁瓣性能，降低阵列的硬件成本，减轻天线单元之间的互耦效应和T/R组件间的散热问题[1]，故具有很好的工程应用前景。与之相应，SAA的设计及其方向图综合算法一直是阵列天线研究中的热点问题[2]。然而，由于单元数目、阵列口径、最小单元间隔等的限制，针对SAA的综合通常是一个强烈的非线性、多约束问题。为此，以遗传算法(Genetic algorithm,GA)[3-4]、粒子群算法(Particle swarm optimization,PSO)[5]、差分进化算法(Differential evolution,DE)[6-8]等为代表的启发式优化算法被广泛采用。

尽管如此，上述算法更多地被应用于优化稀布直线阵列天线(Sparse linear antenna array,SLAA)，以及单元数较少的稀布平面阵列天线[3](Sparse planar antenna array,SPAA)。当SPAA含有较多单元时，采用此类算法通常会面临较大的计算负担，容易收敛到局部最优解。以文献[9]中采用GA优化一个185单元的圆口径阵列为例，所需耗时达23 h，才获得了较低副瓣的目标。

为了降低SPAA优化的复杂度，可以考虑把SPAA的单元分置在以口径中心为圆心的一系列同心圆环上，形成稀布圆平面阵列天线(Sparse circular planar array,SCPA)。这种阵列结构只需考虑同一个圆环上相邻单元落点位置的影响，是一个一维约束问题，因此受到了众多研究者的关注。典型工作如：文献[8]利用GA对一些圆口径稀布阵列，以及具有对称结构的SCPA进行了优化;文献[9]提出了基于修正GA的降维优化算法，通过把二维平面阵列的优化转化为虚拟的一维稀布直线阵，有效降低了算法的复杂度;文献[10]给出了一种优化SCPA的实数编码遗传算法，通过对相邻圆环间距的合理设置并引入旋转角变量，使得单元分布自动满足最小间隔约束条件且具有很好的随机性，实现了单元数多达201的SCPA的低副瓣综合;文献[11]把多目标粒子群(Multi-objective particles swarm optimization,MOPSO)与凸优化结合，利用前者优化单元位置，后者优化单元权值，所得SCPA的旁瓣和栅瓣电平值均得到了有效抑制;文献[12]根据第一类贝塞尔函数的特性，提出了降低SCPA旁瓣的确定性准则，并设计了一种具有低旁瓣、宽带特性和大角度扫描功能的SCPA来验证该准则的有效性。

本文采用DE算法对含有较多单元的SCPA进行方向图综合，针对启发式算法在优化此类问题时运算负担大的问题，提出部分密度锥削方案以产生更好的初始单元分布，并通过最小间距约束条件来大幅降低待优化单元的数目，从而加快算法的收敛速度，实现以较小的硬件负担，对含有较多单元的SCPA进行快速综合的目标。

1 稀布圆平面阵列天线模型

稀布圆平面阵列天线的模型如图1所示。

图1 稀布圆平面阵列结构图

若SCPA的中心存在一个单元，除此之外另含H个圆环，每个圆环的半径、单元数分别记作rh、Nh(h=1,2,…,H)，则其方向图可表示为

(1)

其中θ和φ分别表示俯仰角与方位角，k为波数，Ih,nexp(jψh,n)代表位于极坐标位置(rh,φh,n)的单元激励，rh和φh,n表示编号为h的圆环上，第n个单元的极径和极角。若单元均匀激励且相位为零，则Ih,n=1，ψh,n=0(h=1,2,…,H；n=1,2,…,Nh)。再令u=sinθcosφ，v=sinθsinφ，式(1)可转变为

(2)

上式表明，单元均匀激励时，SCPA的方向图仅取决于单元的落点位置[8]。若主瓣指向(θ0,φ0),相应在正弦坐标系下，有u0=sinθ0cosφ0，v0=sinθ0sinφ0。

2 算法描述

为了在单元均匀激励情况下，降低SCPA的旁瓣电平，第一步，对其初始单元分布采取部分密度锥削策略，这种策略实质上是对密度锥削方案的改进。当单元分布满足密度锥削方案时，有利于降低阵列的旁瓣电平，而提升阵列中心点附近的单元数目，是进一步降低SCPA旁瓣电平的可行措施。但由于SCPA中心点附近的圆环半径很小，在满足最小间距(弧长间距Δs=λ/2，λ为波长)约束条件下，能够包含的单元数目很少，为此，对靠近SCPA中心的几个圆环，设置圆环间距均等于半波长，且每个圆环均为以Δs为周期的满阵结构。对处于SCPA外围的圆环，使圆环间距从内向外逐渐增大且均大于半波长，并以Δs为间隔将这些圆环分别划分为一系列栅格点，然后按照填充比(指圆环上实际填充的单元数目与该圆环包含的栅格总数的比值)依次递减的方式，把天线单元随机分配到这些栅格点上，从而满足密度锥削的要求，形成有利于低副瓣实现的单元分布形式，这就是部分密度锥削的思想。

第二步，针对初始SCPA的所有圆环，设置一组(0,2π)间的旋转角变量，利用DE对其进行优化以降低SCPA的旁瓣电平。

第三步，选取上一步所得SCPA中，同一圆环上间距大于Δs的单元作为优化对象，在满足最小间距约束条件下，采用DE对这些单元的角位置进行优化，以进一步降低SCPA的旁瓣电平。由于约束条件的限制，待优化的单元数目通常少于单元总数的一半，使得DE算法的寻优空间被大幅度压缩，促进了算法的加速收敛，减轻了算法的运算负担。

基于上述算法思想，以一个口径半径为R的SCPA综合为例，对算法的过程进行详细阐述如下。

2.1 阵列口径的栅格划分和单元分布初始化

2.1.1 阵列口径的栅格划分

以口径中心为圆心，把整个口径划分为H个同心圆环，口径半径R和H的关系需满足

δ=R-H·0.5λ， s.t. 0.5λ≤δ≤1.5λ,

其中δ称为口径余量，表示把R截去H段长度均为0.5λ的线段后的剩余量。以阵列中心为圆心，从内向外依次划分出H个圆环，前h0个圆环的半径依次取rh=h·0.5λ，h=1,2,…,h0，且h0=int(H/2)，int代表向下取整函数。剩余的(H-h0)个圆环，需满足相邻间距从内向外依次增大且均大于半波长的条件。为此，把δ随机划分成不等间隔的(H-h0)份，记作ε={ε1,ε2,…,εH-h0}，且有

接下来进行栅格点划分，对每个圆环，均从x轴正半轴(如图2所示)算起，以半波长的弧长间隔进行划分。因此，半径为rh的圆环上栅格点数目为

图2 SCPA中待优化单元的选取方式、移动范围示意图

2.1.2 单元分布初始化

ρh0+i=τi+randi·Δτ,i=1,2,…,H-h0。

到此，完成了对初始SCPA的构造。图2以一个口径半径为2.5λ、4圆环划分的SCPA为例，对前述步骤进行了说明。“+”代表空的栅格点，“∘”和“·”均代表所在栅格点存在填充单元，图中编号依次为1th～17th的单元(用符号“·”表示)被选中，作为待优化的对象，而符号“∘”代表未被选中的单元。可以看出，4个圆环的半径依次为0.5λ、1.0λ、1.72λ和2.5λ，内部两个圆环都被填满，外部两个圆环的填充比分别为0.476和0.387，满足对SCPA口径划分与单元初始化的要求。

2.2 不同圆环旋转角度的优化

从图2可以看出，不同圆环上的初始化栅格划分均以x轴正向为起点，若划分的起点不同，则可影响到SCPA中的单元分布及其方向图。因此针对每个圆环，设置一个(0,2π)间变化的旋转角变量，对包含H个圆环的SCPA来说，这些变量可记作ξ={ξ1,ξ2,…,ξH}。取适应度为阵列的旁瓣电平值，则目标函数为

minSLL=f(ξ1,ξ2,…,ξH)，

利用DE进行优化后，把得到的最佳个体记作ξ0。

2.3 待优化单元的选取及单元位置的优化

2.3.1 待优化单元的选取及单元移动范围的确定

针对上述得到的SCPA，从第h0+1个圆环算起，以x轴正向为起点，沿逆时针方向，依次选取圆环上弧长间距大于半波长的单元作为优化对象，选取结束后再进入第h0+2个圆环，直到第H个圆环为止。将所有被选中的单元按照选取顺序的先后依次排列并编号，得到待优化单元的集合。假定有L个单元被选中，这些单元的初始位置用向量d0={d1,d2,…,dL}表示。规定这些单元可以在其初始位置附近沿着圆环移动，但移动后仍需满足弧长间隔不小于0.5λ的约束条件。据此，重新定义这些单元的位置向量为χ={χ1,χ2,…,χL}，并把其绕圆环移动范围的上限(沿逆时针方向移动)记作dmax={d1,max,d2,max,…,dL,max}，下限(沿顺时针方向移动)记作dmin={d1,min,d2,min,…,dL,min}，从而有

dl,min≤χl≤dl,max,l=1,2,…,L。

根据栅格的填充情况及约束条件，可以确定dmax和dmin的值。以编号分别为(l-1)th、lth，初始位置为dl-1和dl的两个单元为例，若单元之间存在空的栅格，则这两个单元可以相向移动，且相向移动的最大距离(均指弧长距离，以下同)相等。即(l-1)th单元逆时针可移动到的最大位置点dl-1,max与其初始位置dl-1之间的差值，和lth单元的初始位置dl与其顺时针可移动到的最大位置点dl,min之间的差值相等。并且，为了满足最小间隔条件，dl,min与dl-1,max之间的差值为0.5λ。公式表示为

通过上述方法，依次确定出每个单元可移动范围的上、下限，为下一步的位置优化做好准备。图2用双箭头标出了所有被选中单元的可移动范围。

2.3.2 基于DE的单元位置优化

固定ξ0，以待优化单元的位置向量χ={χ1,χ2,…,χL}作为DE的个体向量，建立如下目标函数:

minSLL=f(ξ0，χ1,χ2,…,χL)。

采用DE算法对χ进行优化后，把得到的最佳结果保留，这样就结束了一次完整的数值试验。图3所示为算法流程图。

图3 算法流程图

3 数值试验与结果分析

在所有数值试验中，算法的运行次数均为50次，种群规模和进化代数均为30，缩放因子和交叉概率分别取0.8和0.9。

为了和已有结果进行对比，考虑SCPA的口径半径为5.0λ，单元总数(用N表示)等于201，圆环数目为9个，编号按照从内向外的顺序依次记为1th～9th。根据本文算法得到的结果，1th～4th圆环的间距为0.5λ，且圆环上所有的栅格均被填满，从而在0λ～2.0λ的口径范围内，形成一个单元数等于61的满阵结构。剩余5个圆环的半径，按照间距逐渐增大的要求，依次等于2.506λ、3.035λ、3.592λ、4.239λ和5.0λ，填充比分别为94.16%、81.03%、67.46%、49.19%和38.71%。图4(a)给出了所得阵列的单元分布图。该阵列的旁瓣电平为-24.78 dB，方向性系数等于28.49 dB。与文献[9]的结果相比，旁瓣降低1.84 dB，方向性系数提升1.11 dB。与文献[10,13]的结果相比，阵列的旁瓣电平分别降低约1.04 dB和0.57 dB。图4(b)给出了算法不同阶段得到的适应度收敛曲线，可以看出，执行完算法的第三步后，个体适应度有了明显降低。

(a) 单元分布 (b) 适应度收敛曲线图4 口径半径为5.0λ，201单元填充的SCPA的综合结果

类似地，若SCPA的口径半径等于4.5λ，填充单元数为185，利用本算法得到的阵列单元分布及其3D方向图如图5所示。该阵列的旁瓣电平等于-25.03 dB，方向性系数为28.27 dB。与文献[9]的结果相比，旁瓣电平降低2.59 dB，方向性系数增高1.1 dB；与文献[14]的结果相比，旁瓣电平降低约1.29 dB。表1给出了本算法和已有算法的对比结果，可以看出，本算法可以更有效地应用于含有较多单元的稀布圆平面阵列的低副瓣综合。上述所有数据均在硬件环境为I7-6700处理器、内存8 GB的PC上完成，这些算例的运行机时约在6.5～7.5 h之间。

表1 不同算法的对比结果

4 结束语

由于对初始单元分布采取部分密度锥削的策略，通过预设的约束条件，待优化的单元数目仅占单元总数的一小部分，使得算法兼顾了单元分布的多样性和快速收敛性，具备较好的全局寻优能力。数值试验结果表明，和已有算法相比，采用本算法得到的SCPA，旁瓣电平至少降低了1 dB以上，方向性系数提升约1.1 dB。类似地，若在初始栅格划分中，设定栅格间的弧长间距大于半波长，将进一步提高阵列的稀疏率和单元分布的多样性，有助于获得更为优异的结果。本算法的思路也可为矩形稀布平面阵列的设计提供参考。