布尔代数的I-V犹豫模糊子代数

姜 曼, 彭家寅

(1.西安交通工程学院 数学教研室， 西安 710000, 2.内江师范学院 数学与信息科学学院， 内江 641100 )

0 引 言

布尔代数作为一个重要的逻辑代数，研究它的滤子具有重要意义。在模糊集的基础上，已经出现了很多结论。文献[1]在布尔代数中定义了布尔代数的Fuzzy子代数、Fuzzy理想以及Fuzzy商布尔代数，讨论它们的基本性质，得到了有意义的结论。文献[2]在布尔代数中引入Fuzzy子代数的直积和Fuzzy商布尔代数，讨论了直积布尔代数的Fuzzy子代数分解为两个Fuzzy商布尔代数的条件。文献[3]把布尔代数与直觉模糊集相结合，研究布尔代数的直觉T-S模糊子代数及理想,讨论它的相关性质。文献[4]把布尔代数与模糊软集相结合，研究模糊软布尔代数、模糊软布尔理想以及在模糊软布尔代数中的模糊软同态，并讨论它们的相关性质。文献[5]定义了布尔代数上的犹豫模糊理想，研究犹豫模糊直积、投影与犹豫模糊理想的关系。有关布尔代数的模糊理想以及双极值模糊子代数的研究，更多结论可见文献[6-8]。

在上述研究基础上，本文把布尔代数与I-V模糊集、犹豫模糊集相结合，给出了布尔代数上的I-V犹豫模糊子代数的概念。研究了布尔代数的I-V犹豫模糊集是I-V犹豫模糊子代数的充要条件，讨论了I-V犹豫模糊子代数的性质，相关结果丰富了布尔代数和犹豫模糊集理论。

1 预备知识

定义1.1[9]具有两个二元代数运算+，·的代数系统〈R;+,·,0,1〉称为布尔代数，如果R至少含有两个不同元，且∀a,b，c∈R，下面公理成立：

(1) 交换律a+b=b+a,ab=ba，其中ab为a·b；

(2) 结合律(a+b)+c=a+(b+c)，(ab)c=a(bc)；

(3) 分配律a(b+c)=ab+ac，a+(bc)=(a+b)(a+c)；

(4) 0-1律a+0=a，a1=a；

布尔代数〈R;+,·,0,1〉也记为〈R;+,·,-,0,1〉。

若无特殊说明，布尔代数〈R;+,·,-,0,1〉简记为R，布尔代数〈R′;+,·,-,0′,1′〉简记为R′。

定义1.2[9]设〈R;+,·,0,1〉为布尔代数，∀a,b∈R，如果a+b=b，则称a不大于b，记为a≤b。

定理1.1[9]设〈R;+,·,0,1〉为布尔代数，∀a,b∈R，有：

(1)a0=0，a+1=1，aa=a，a+a=a；

设a∈[0,1]，令a=[a,a]，则a∈D[0,1]。

定义1.7[11]设X是一个非空集合，一个X上的犹豫模糊集F的定义如下：

F:{(x,hF(x))|x∈X}

其中hF(x)是由区间[0，1]上若干个不同值构成的集合，表示X中的元素x属于集合F的若干种可能隶属度。X上的全体犹豫模糊集记为HF(X)。

设F为X中的犹豫模糊集P([0,1])为区间[0，1]的幂集。称集合X(F,γ):{x∈X|γ⊆hF(x)}为F的犹豫水平集，其中γ∈P([0,1])。称集合X⊂(F,γ):{x∈X|γ⊂hF(x)}为F的犹豫强水平集，其中γ∈P([0,1])。

定义1.8[11]设X是一个非空集合，F和G是X上的犹豫模糊集，且具有如下形式：

F:{(x,hF(x))|x∈X}

G:{(x,hG(x))|x∈X}

规定如下运算：

(1) 补：对于F，它的补元Fc定义为：

补运算满足对合律，即(Fc)c=F。

(2) 并：F和G的并F∪G定义为：

hF∪G(x)=hF(x)∪hG(x)={h∈hF(x)∪hG(x)|h≥max(hF(x),hG(x))}

hF∩G(x)=hF(x)∩hG(x)={h∈hF(x)∩hG(x)|h≥min(hF(x),hG(x))}

定义1.9[12]设X,Y是两个非空集合，f：X→Y是一个映射,且有A∈HF[X]和B∈HF[Y]。x∈X,∀y∈Y，定义Y的犹豫模糊子集f(A)如下：

且hf-1(B)(x)=hB(f(x))。则f(A)、f-1(B)分别是X,Y的犹豫模糊集，称f(A)为X的像，f-1(B)为Y的原像。

2 I-V犹豫模糊子代数

定义2.2设A是R的犹豫模糊集，如果对任意的a,b∈R，下面条件成立：

(1)hA(a+b)⊇hA(a)∩hA(b)；

(2)hA(ab)⊇hA(a)∩hA(b)；

则称A是R的犹豫模糊子代数。R上的全体犹豫模糊子代数记为HFS[R]。

对∀a∈R，若hA-(a)⊇hA+(a)成立，如果A∈HFIS[R],那么A∈HFS[R]。所以，在布尔代数中，本文定义的I-V犹豫模糊子代数是犹豫模糊子代数的一种扩展。

证明 必要性显然可证。

对∀a,b∈R，可得

证明 必要性易证。

充分性已知定义2.3中的条件(2)和条件(3)成立，现在只需证明条件(1)成立即可。由∀a,b∈R，可得

因此，有定义2.3中的条件(1)成立。

证明对任意的a,b∈R，有

证明同定理2.7，故省略。

证明 必要性对任意的a,b∈R，则

于是，hA-(a+b)⊇hA-(a)∩hA-(b)，hA+(a+b)⊇hA+(a)∩hA+(b)。

充分性任意的a,b∈R，则

证明由于f是R1到R2的同态满射，因此∀a′,b′∈R2，∃a,b∈R1，使得f(a)=a′,f(b)=b′。

于是

3 I-V犹豫模糊子代数的直积

证明∀(a,b)，(a′,b′)∈R1×R2，则