圆周上的小Hankel算子

李永宁，梁焕超，丁宣浩

1.重庆工商大学 数学与统计学院，重庆 400067；2.经济社会应用统计重庆市重点实验室，重庆 400067

1 预备知识

本节我们主要回顾经典的Hardy空间上Hankel算子的基本性质，例如有界性，有限秩性质等，这与我们下节中所要探讨的uH2上的小Hankel算子的一些基本性质密切相关．

引理1[7]若φ∈L2(∂D)，则Hφ是有界的当且仅当存在g∈L∞(∂D)使得Hφ=Hg．

引理2[6]若φ∈L∞(∂D)，则Hφ是有限秩的当且仅当存在一个非零的解析多项式a(z)使得aφ∈H∞(∂D)．

2 小Hankel算子的基本性质

本节我们主要讨论uH2上小Hankel算子的一些基本性质，例如有界性，有限秩性质等．显然地，根据小Hankel算子的定义，通过标准的计算，我们可得：

命题2若φ∈H∞(∂D)，则bφ=0．

从经典的Hardy空间上的Toeplitz算子乘积与Hankel算子乘积的关系出发，我们得到了uH2上的小Toeplitz算子乘积与小Hankel算子乘积之间的关系式．该关系式在后面研究小Hankel算子的有限秩性质时发挥了重要作用．

命题3设u为非常数值的内函数，且φ，ψ∈L∞(∂D)，则

证根据Hardy空间上Toeplitz算子与Hankel算子之间的关系

(1)

则对任意的x∈H2，ux∈uH2，将ux代入(1)式，可得

Pφψux-PφPψux=PφP-ψux

(2)

(3)

注意到

(4)

运用相同的技巧，可得

(5)

(6)

将等式(4)-(6)代入等式(3)中，则等式(3)可变形为

(7)

现在将算子Mu作用在(7)式的两端，则可得

这意味着

因此，我们就得到了uH2上的小Toeplitz算子与小Hankel算子之间的关系

(8)

证毕．

由MφMψ=Mφψ=MψMφ以及乘法算子在L2上的表示可知Hφψ=HφTψ+SφHψ，从而当φ∈H∞(∂D)时，Hφψ=HψTφ=SφHψ．虽然DφDψ=DψDφ和DφDψ=Dφψ在一般情况下并不成立，但通过直接计算，关于小Toeplitz算子和小Hankel算子，我们得到了类似的结果．

命题4若φ∈H∞(∂D)，则bφψ=bψtφ=Sφbψ．

证 对任意的x∈H2，ux∈uH2，由于bφψux=P-(φψux)，而且

又因为x∈H2，φ∈H∞(∂D)，故φx∈H2，从而P-φx=0，因此bψtφux=P-(ψuφx)，故bψtφ=bφψ．

类似地，因为

Sφbψux=P-(φP-(ψux))=P-(φ(I-P)(ψux))=P-(φψux)-P-(φP(ψux))

而且由φ∈H∞(∂D)知φP(ψux)∈H2，故P-(φP(ψux))=0．从而Sφbψux=P-(φψux)=bφψux，因此Sφbψ=bφψ．则有bφψ=bψtφ=Sφbψ．

故命题4得证．

算子的有界性是算子理论中非常基本且重要的问题，所以关于小Hankel算子在什么条件下是有界算子的问题是我们需要最先解决的问题．下述定理给出了小Hankel算子的有界性的完全刻画：

定理1若φ∈L2(∂D)，则bφ是有界的当且仅当存在g∈L∞(∂D)使得Hφu=Hg．

证由于

所以bφ是有界的当且仅当Hφu是有界的，则由引理1知，bφ是有界算子充要条件为：存在g∈L∞(∂D)使得Hφu=Hg．

对于任意的φ，ψ∈L∞(∂D)，关于小Hankel算子，我们主要考虑以下两个问题：

问题1在什么条件下，bφ是有限秩算子？

对于上述两个问题，根据Hardy空间上有限秩的Hankel算子的刻画以及Hankel算子与小Hankel算子之间的关系，我们得到如下结果：

定理2若φ∈L∞(∂D)，则bφ是有限秩算子当且仅当存在解析多项式a(z)，使得a(z)φ(z)u(z)∈H∞(∂D)．

证对任意的x∈H2，有ux∈uH2，则

bφux=P-φux=Hφux

从而，bφ为有限秩算子当且仅当Hφu为有限秩算子．因此，根据引理2，bφ为有限秩算子当且仅当存在解析多项式a(z)，使得a(z)φ(z)u(z)∈H∞(∂D)．

下述例1表明：存在φ∈L∞(∂D)，使得小Hankel算子bφ是有限秩算子，但Hankel算子Hφ却不是有限秩的．

3 展 望