小学数学教师怎样打好数学功底

张良朋

【摘 要】认为小学数学知识很简单的说法是片面的，小学数学教师需要专门研习小学数学知识才能达到深入理解的程度。小学数学教师的数学功底是一个由底层、中层、高层构成的三层次结构。小学数学教师打好数学功底的基本路径有四条：成为一名“做题”高手，善于探问“为什么”，加强针对“理解数学”的研讨活动，加强对“小学数学”著作的专题研习。

【关键词】小学数学 数学功底 数学功底结构 理解数学

一、小学数学不简单

请看几则案例。

1.为什么把2月份定为平月

一位教师在教学“年、月、日”一课时，有学生提问：“为什么要把2月份定为平月呢？如果把1月份定为平月不是更好记吗？”这一问题难住了教师和其他同学，过了一会儿，教师回应说：“你提的问题很有价值！也很难！现在老师也不知道问题的答案。同学们，这个问题留待你们课后去研究，看谁先找到答案告诉老师。”

尽管这位教师做出了比较“巧妙”的处理，引发了学生的课外探究活动，但作为一名数学教师，这样的数学常识上课前就应该十分清楚。问题在于，教师过往的学习经历并没有给他提供这样的知识储备。“为什么要把2月份定为平月呢？”这涉及天文历法中月份的划分及其历史演变，如果教师课前没有做过专门的研习，那课堂上要做到从容应对真的挺难。

2.除数不能为0是种规定，记住就行

有学生问老师，为什么除数不能为0？教师回答，这是一个规定，我们只要记住就行了！课后，教研员和这位教师交流，谈到除数为什么不能为0时，教师仍旧说：“这只是数学家的一种规定，小学生不需要知道原因。”教研员追问：“那为什么要做这种规定呢？”教师说：“那我真不清楚，应该只是数学家做的规定而已。”

规定？规定就只能记住了事？规定肯定是有原因的，探究这个原因很可能是件很有意思的事情。虽然不是每个规定背后的原因都有必要探究一番，但作为教师，如果能看到规定背后的数学意蕴和教育价值，就很有可能将之转化为培育学生数学思维的良好机会。更值得警醒的是，拿着规定作为借口，轻易地掐灭学生追根究底的思维火花，这是多么荒谬的、没有远见的教学行为！追根究底不正是数学一直不断向前发展的重要推动力吗？

3.稳定性≠拉不动

“三角形的稳定性”在小学阶段属于“认识三角形”中的一个内容。在很多教师的课堂上，这一内容的教学通常是通过“拉一拉”的活动，引导学生得到“三角形拉不动，具有稳定性;四边形可以拉动，不具有稳定性”的结论。

然而，这样的教学其实并没有反映出“稳定性”的数学意义。“三角形的稳定性”是三角形的一种数学性质，它是指当三角形三条边的长度均确定时，三角形的形状、大小就完全被确定，即不再改变。到了初中，可以用全等三角形判定定理“边边边”来解释三角形的稳定性。这说明，把教学的关注点主要集中在“三角形稳定性”所表现出的物理效果上（拉不动、受力后不变形），并没有抓住“三角形稳定性”的真正数学内涵。

以上仅是从对数学知识的理解层面举了3个例子，类似的例子能还能举出不少。如果进一步聚焦于数学知识发生发展的过程、数学思想方法的运用、数学文化特质的表现，类似的争议或错误会变得更多。由此可见，小学数学并不简单，达成对小学数学的深刻理解很不容易，小学数学教师有必要对小学数学进行专门的研习。

二、数学教师需要打好数学功底

有研究指出：“有效的教学依赖于教师对所教内容的深层含义是否有坚实的理解。”相关的国际比较研究也证实，中国数学教育之所以能够取得好的成绩，关键之一是“教师对数学知识的深刻理解”。这表明，对数学知识的专业化理解水平高，本是我国小学数学教师所具有的一大优势。但最近不少研究表明，小学数学教师的知识水平、专业水平确实不容乐观，亟待提高，这在刚参加工作的青年教师身上表现得尤为明显。虽然现在小学教师的“准入”门槛提高了，但这主要表现在学历要求上。由于师范院校里教师教育课程设置和培养的局限性，刚参加工作的青年教师对小学数学知识的理解水平并不高。因此，有学者建议：“我认为培养青年教师的根本也在于提高他们的专业知识。这是练内功，內功不行，各种招数使出来都是花拳绣腿。”小学数学知识并不简单，甚至可以说，真正展现小学数学知识的内在意蕴是件十分困难的事情。“我们教对了没有？”——经常这样自问不是很有必要吗？

道理其实很简单，如果一位数学教师在还没有弄清“教什么”之前，就把全部精力放在活动过程的设计或者教法、学法的选择上，这种过程只能炮制出一种“课堂秀”。缺失了对数学知识的专业化理解，无论我们的数学课堂教学看上去多么丰富多彩，在提升学生的数学素养上都是苍白乏力的。正如英国学者贺斯所说：“对学科本质的认识是一切教学法的基础。”所以数学教学的首要问题，不在于教学的更好方式是什么，而在于所教内容的数学本质是什么！

基于此，笔者认为小学数学教师夯实数学功底必须引起足够重视。参照杨华老师对中学数学教师数学功底的研究成果，笔者给出小学数学教师数学功底的层次结构：

（1）底层是对小学数学知识的理解与把握。主要包括：①明了小学数学的背景、地位与作用;②精通小学数学的基础知识、基本技能、基本思想方法;③熟悉小学数学内部的系统结构，知识与知识之间、知识与日常生活间的联系;等等。

（2）中层是对整个数学学科以及相关学科的了解与把握。主要包括：①了解数学发展动态及最新研究成果;②掌握数学的一般方法和有关数学思维理论;③把握数学与相关学科在知识上、方法上、思维上的相互渗透、相通相融;等等。

（3）高层是数学素养。主要包括：①崇尚数学理性;②对数学所蕴含的文化价值、辩证规律、美学内蕴等有深刻的体会;③不满足已知、有不断求索新知的能力;等等。

对照这个数学功底的层次结构，不难发现：成为一名拥有良好数学功底的小学数学教师，不仅需要职前阶段的认真学习，还需要在职阶段继续付出持久的努力。尤其是在数学功底的中层、高层上，由于师范院校职前培养阶段所设课程中一直缺少真正面向小学数学本体知识的内容，而当前真正适用于小学数学教师的此类学习资料也相当缺乏，可能有很多教师想要有针对性地补强一下还是一件不容易完成的事。

三、怎样才能打好数学功底

1.数学教师应该成为一名“做题”高手

同一般的“刷题”不同，教师中的“做题”高手有些特殊要求：（1）要把小学数学全套教材里的题目都认真做一遍，不论难易，都要踏踏实实过一遍，“不写不知道”，自己经历过了，才能更好地体会题目的来龙去脉，达成对数学知识的深度体会和整体把握。（2）除了把题目做对，还要想想为什么这样做，即明了背后的道理，还要想想有没有其他的思路和做法，还要琢磨一下学生可能会怎样想，有哪些典型的错误，有没有超乎常规的新思路和新做法。（3）要站在整体的视角审视每一道题，把握知识技能层面、思想方法层面，乃至理性修养层面的数学本质，这即是说要努力把知识“联”起来、把方法“明”起来、让思想“显”出来，让不同层次的数学“通”起来。这样看似在下“笨”功夫，其实是深有益处的长久修炼。（4）适当做做初中的数学题目。据笔者调研，有相当多的小学数学教师，初中的数学知识都忘得差不多了，题目也基本都不会做了。这种现状既不利于小学和初中的数学教学衔接，也不利于教师高屋建瓴地审视和把握小学数学知识及其蕴含的培养价值。

2.数学教师要善于探问“为什么”

受已有学习和教学经验的影响，教师很容易“固化”自己的思维，以为自己的想法和做法就是标准答案，潜意识认定“只能这样想（做）”，把所谓的数学规定视为“想当然”“本就如此”。这将导致教师对数学的理解停留在表层，停留在操作层，停留在“知其然，不知其所以然”的肤浅层，很可能碰到学生有些“另类”的或错误的想法时，就下意识地认为“不可思议”“不可理喻”。于是，武断地阻断学生的思路和表达，因而也就不能将其作为可贵的学习资源有效地引发学生的认知共振、思维共鸣和情感共通。

比如，在“万以内退位减法”公开课中，有一个学生突然举手问：“老师，退位减法一定要从个位算起吗？从高位减起不行吗？”

教师先请学生猜一猜，“从高位减起”可以吗？学生意见不一，教师随手在黑板上写了三个算式作为新的探索材料。

师：从高位减起，有没有遇到什么麻烦？

生1：后面计算时要退位比较麻烦。

生2：计算时，我对三个结果都进行了修改。

师：修改什么？

生2：那个计算结果，我修改了。

师：怎么改的？

生2：后面的计算向前一位退一以后，前面的差还要改下。

师：那你们有没有办法，让差不做改动？

生3：我只要计算时，一心两用，一下子看两个数位，不退位好办，要退位，写差时少写1。

师：你真厉害！看来这个方法是可行的，那课本上强调的“从个位算起”好像是多余的。

生1：我还是觉得从个位算起好，这样简单。

生2：我也觉得从个位算起好，不容易出错。

师：就是这个道理，我们学习数学当然要选择既简单又不容易出错的方法。

学生的这个问题，把原本专注探索退位减法计算法则的学生的兴趣给转移过来了，大家都很想知道结果，这时教师可以当场回答“不可以，因为那样容易出错”，然后继续自己的教学，但这位教师的数学功底很好，他立刻意识到这个问题在学生心目中的地位，也了解“从高位算起”不是一种错误的方法，只是“从个位算起”更具优越性，解决这个问题可以解开学生的疑虑，也可以引导学生如何选择更优方法，这个时间“浪费”得很值，这样的教学偏离使得课堂绽放了深度的精彩。

3.加强针对“理解数学”的研讨活动

在教学研讨活动中，在进入“教法学法”层面的研讨之前，最好先在“理解数学”上达成较有深度的共识，也就是说要自觉超越数学功底的底层，向中层、高层迈进。

（1）整体把握知识结构。不要做“只比学生领先一课时”的教师，要将数学的视角自觉向前、向后、向深处、向结构化延伸。比如，教学“三角形面积的计算”一课时，除了要想想三角形面积的计算与刚学过的平行四边形面积的计算有何联系、有何不同、关键何在、难点在哪，这样对确定教学的起点至关重要，还要想想与将要学习的梯形面积的计算、组合图形面积的计算有何关联、如何孕伏、如何发展，还要想想这一系列的面积计算课共性在哪、各自的着力点在哪、如何实现数学思想方法层面的“通”与“进”。

（2）把准知识发展节点。比如，教学“用字母表示数”就不能只是简单地教用字母“替换”数，而是要把握“用数字表示数”到“用字母表示数”认识链发展的节点在于“数”发生了变化，“以前的数都是确定的，所以用数字表示”到“现在的数是不确定的，无法表示为唯一的数字，于是选择用字母表示”，进而为从算术思维到代数思维的飞跃奠定基础。

（3）体现数学思维特质。特级教师张齐华十分推崇“教什么比怎么教更重要”的理念，他发表过这样的观点：“事实上， 数学教学并不是教师‘外在于数学， 以数学为纯粹‘客体‘对象而从事的搬运工作。教师与数学， 二者理应相互交融、合二为一。一个优秀的数学教师站在讲台上， 他就是数学！ 教学活动中， 他的身上应该自然散发着一种独特的数学光华与气息， 一种源自理性、智慧、思辨的内在气质。”

（4）重视“教材过关”考核。二十世纪八九十年代，我国数学教育界高度重视“教材过关”考核工作，要求每位数学教师都必须通过“教材过关”考核，这对夯实我国小学数学教师的数学功底起到了很好的助推作用。以史为鉴，笔者认为，有必要重提钻研数学教材的教师基本功，每位数学教师都应参加并通过“教材过关”考核。

4.加强对“小学数学”著作的专题研习

通过书本自学是个简便易行的好途径。除了特级教师朱乐平领衔的团队编撰的“一课研究”丛书，再推荐几本较为系统的研究小学数学本体性知识的著作：（1）《小学数学教学基本概念解读》（吴正宪，等），这是一本高观点下的小学数学教学专著——书中梳理了小学数学中出现的几乎所有基本概念，是一本广度与深度兼具的工具书。（2）《小学数学教材中的大道理——核心概念的理解与呈现》（张奠宙，等），这本书直面教学中的两个基本问题——“教什么”和“如何教”，以现代数学观点与批判性视角对现行教材内容编排进行评述，不仅对一线教师理解教材具有启发作用，更对推进小学数学教材建设做出了深入的思考。（3）《小学数学研究》（张奠宙，等），这本书以小学数学内容为研究对象，从数学上居高临下地进行分析、拓宽和提高，旨在帮助小学教师加深对小学数学教学内容的理解。（4）《小学数学研究与教学指引》（章飞，等），这本书立足新课程改革的要求和变化，从数学科学发展、数学思想、数学史、学生数学认知现状等视角对学科知识进行深度解读，深入浅出，视角新颖，进而给出具体的教学方法和指导。（5）《小学数学研究》（曾小平、曹一鸣），该书对小学数学的基础知识与思想方法，连同相关的背景知识进行了系統整理和科学严谨的阐述;对一些深奥的内容和疑难问题，结合实例进行了深入浅出的阐述;并在“教学链接”栏目中进行了通俗的解释，给出了相关教学建议，以期提升读者的数学学科素养，增强对小学数学课程与教学的认识。（6）《基本概念与运算法则——小学数学教学中的核心问题》（史宁中），这本书主要讲述小学数学教学内容中的一些核心问题，在理解内容的基础上，探讨实现“四基”课程目标、适合小学生认知规律的教学方法。（7）《小学教师之友系列：基础数学》（人民教育出版社小学数学室编著），这本书是以新课标为依据，在原中师教材《小学数学教材教法》第一册的基础上修订而成，符合数学课程改革的基本理念，为教师打下数学课程标准规定内容的数学背景理论知识的专业基础，能够开阔教师视野，全面提高教师的数学素养。

【参考文献】

翟琬平，郜舒竹.“三角形稳定性”的本质及其变教为学的方法[J].教学月刊，2015（7）.

注1：本文系淄博师专2020年校级课题“基于诊断的小学数学校本研究”的研究成果，2019年淄博市教育科学规划课题“小学数学问诊式校本教研实践研究”（2019ZJY039）的研究成果。

注2：本文系国家社会科学基金“十三五”规划2019年度教育学一般课题“新中国成立70年小学数学教育发展史研究”（BOA190223）阶段研究成果。