起承转合，知“书”达“理”

吴璐云

计算教学离不开算理和算法，算理简单说是算的一种道理，主要解决“为什么这么算”的问题;算法是实施四则运算的基本程序与方法，主要解决“怎样计算”的问题。提到“算理”和“算法”的关系，我们认为“法理”需要平衡，在实际教学中，学生只有理解算理，明确了具体的计算方法，才能合理、简洁地进行计算，从而解决实际问题。

而现在的学生在学习新知识之前并不是一张白纸，他们已经学会了一些所谓的计算方法，但是对于方法背后的道理却是知之甚少。三年级学生学习的“前状态”到底如何呢？为此，笔者对本校三年级的50名学生进行了两位数乘两位数的学习前测。

通过上表可知，目前学生的“前状态”表现为：1.能理解乘法的意义;2.基于《口算乘法》的经验，能对乘法算式“先分后合”;3.提前预习或家长教学促使学生能正确利用“竖式”解决问题;4.学生已经具备了算法多样化的基础。那么，教学重点就在于梳理这些算法背后的算理了。于是，笔者利用教材提供的直观模型“点子图”，再次进行调查。

由此可见，大部分学生的计算方法完全与点子图脱节，有些甚至无从下手。这说明放手让学生自主使用“点子图”来研究两位数乘两位数的算理，是不符合学生当前的认知水平，他们只是因为“老师要我在上面圈一圈、画一画，我才去圈画”，而不是学生内在的需求。这样的“潜状态”给教学带来的无尽的困惑：

1.怎样引起学生对算理的关注和探究呢？

2.怎样加让点子图成为学生学习中的辅助工具呢？

3.怎样让学生突破从一位数的“一层积”到两位数的“两层积”的思维？

4.怎样加强点子图、横式及竖式计算每步之间的沟通，从具象到抽象，再从抽象到具象，加深算法和算理之间的联结性理解呢？

通过梳理对比，我们解读到三种版本教材编排的共性：1.各版本都注重三年级学生的心理特点，创设“购书”、“列队表演”、“彩笔”这些熟悉的生活情境。2.教材编排都在小学中段。3.各版本都让学生经历“先分后合”，从而让学生理解算理。

同時，这三个版本的教材又有差异：1.课时安排上的差异：人教版和冀教版都为一个课时，而北师大版为两个课时。2.人教版和北师大版都借助“点子图”直观感悟计算的道理，而冀教版则是通过分步笔算和完整笔算相结合。

二、对“症”出决策

基于各版本的共性，应该予以坚持，熟悉情境便于学生更好的融入和理解，“先分后合”是学生理解《两位数乘两位数的笔算（不进位）》算理的重点。基于各版本的差异，应该优化融合。本课借助“点子图”，让学生自主探究多种算法，实现算法多样化。竖式计算，明确算理，每一步与情境中的具体意义联系，让学生明确每一步所表示的含义。帮助学生建构两位数乘两位数笔算竖式的模型，不仅能够帮助学生理解算理，还能够较好地掌握算法，并感悟和体验算法的多样化和解决问题的策略，同时也让学生体会竖式的简洁有效，渗透数学思想方法。

承——纸上得来终觉浅

一、表征架构算理

【片段一】

师：王老师去书店买书，一共买了12套，每套书有14本，一共买了多少本？

生1：14×12，算出来

师：还有别的方法吗？

生：一本一本数出来。

在学生们的嘲笑声中，我肯定了他的想法，师：真是个好方法，只是我们现在没有书怎么办？

生：用小棒或者一个图形表示一本书。

师：是的，我们也可以用一个点表示一本书，那么一行画14个点就是1套书，画12行就是12套书。然后我们可以一本一本数出来。

有学生马上举手叫停，生：老师，太麻烦了，可以一套一套加起来。

在其他学生纷纷点头认可时，又有学生举手，生：我同意他的方法，但是一套一套加起来要加12个14，也很麻烦，可以把书分成3部分，4套为一部分，14×4=56（套）56×3=168（套）。

同学们思路打开，纷纷举手，师：同学们，赶快把你们方法试着用“点子图”表示出来。并用式子表示出你的算法。

【反思】

1.为避免出现前测时“老师让我圈点子图，我才圈”的尴尬，特意强调了“问题情境中的书与点子图的对应”，让学生经历符号化的过程，为学生算法多样化打开了思路，这是借助直观模型的价值。

2.以师生互动的形式先反馈部分优等生的解题思路，再让全体学生深入思考，独立解决并用点子图表示。优等生的示范作用打开了学生的思路，也节省了学生探究的时间，为后面教学竖式、理解算理留出足够的时间。

二、对比优化算法

【片段二】

师：这些分法里哪种分法简单呢，为什么？

生1：14×10+14×2最简单。

生2：我不同意你的观点，把12平均分成2个6也很简单啊。

生3：如果不是买12套书，是买13套书呢？就不能用连乘了。

师：到底哪种方法最优呢？我们带着这个问题开始接下来的探究，相信你会有新的发现。

【反思】学生的计算方法不完全相同，但都是用“先分后合”的思路，这点恰恰就是乘法竖式的基本思路。从这么多方法中，优化出“分十法”体现了直观与抽象的关系，让学生进一步理解计算的道理。

很多老师质疑，在教学时，学生利用点子图进行圈、分、算要耗费较多的时间，压缩了对竖式计算的教学，造成学生对竖式计算的理解及巩固练习不到位，那整节课的教学效果就会打折扣。而人教版新教材中增加了“点子图”， 这样的编排符合三年级学生的认知规律：学生需要有较多的动手操作和直观表象作为支撑，引导他们理解算理，掌握算法，有助于培养他们的推理能力。

转——向思想更深处漫溯

【片段三】

师：有同学用竖式计算，我们一起来看一看。

师：赶快来介绍一下吧！

生：先算个位“2”×14：2×4=8，8写在个位，2×10=20，2写在十位。（板书：2×4=8，2×10=20）

师：算完个位，再算什么？

生：再用十位 “1”去乘14：十位的“1”表示10，10×4=40。写在十位上，0起占位作用，为了简便可以省略不写。（板书：10×4=40）

师：然后再用十位“1”去乘十位“1”，也就是多少乘多少？

生：10×10=100。1写在百位上。（板书：10×10=100）

生：最后把两次乘得的积加起来。

师：根据购书来解释，28是几套数书的本数？140是几套数的本数？

生：28是2套的本数，140是10套书的本数。

師：你的想法很独特。这种方法真棒！

师：哪幅电子图能恰当的体现竖式的计算过程？

生：14×2+14×10

师：观察点子图、横式和竖式计算，它们之间有什么关系？

根据学生的回答，图示出三者之间的沟通。

师：两位数乘两位数横式计算和竖式计算有什么相同的地方？

生：它们都是把12分成10和2，分别与14相乘，再相加。

师：这就是为什么“分十法”最优的原因了。

【反思】形象地说，竖式就是站起来的“横式”，但这样的站应该建立在学生理解的基础上。教学中，联结点子图、横式及竖式计算每步之间的沟通，从具象到抽象，再从抽象到具象，加深算法和算理之间的理解，让学生清楚“法中见理，理中得法”。

合——他山之石可以攻玉

【片段四】

师：在竖式计算时，将过程分成了这些算式。我们借助点子图来演示一下过程。

【反思】此过程整合“北师大版”教材，借助点子图寻找竖式中每一部的计算结果在图中相应的位置，让学生进一步把抽象的算理和外显的算法进行勾连。用表格来说明“第二层积由于整十数与整十数相加，出现错位的现象”，从而突破“乘数是一位数的一层积到乘数是两位数的二层积”的思维障碍。

多尔教授说：“学习成为意义创造过程之中的探险”。在某种意义上，“起”“承”“转”“合”正是对数学学习“过程”的一种丰富和具体化，经历这样的具体化，课堂将变得更加饱满充实，更加曲折多变，更加智慧灵动。