用图示法巧解贝叶斯公式

雷鸿

摘要：贝叶斯公式是概率论与数理统计的中的一个重要公式，本文用图示法帮助我们如何利用贝叶斯公式解决问题。

关键词：概率论与数理统计;贝叶斯公式;图示法

一、贝叶斯公式定义详解

贝叶斯公式是概率论与数理统计的中的一个重要公式，它建立在全概率公式基础之上。下面先看它的定义。

定义：设 的样本空间为 ， 为 的事件， 是 的一个划分，

且  ，则：

，

说明：

（1）分母是全概率公式;

（2）分子一定是分母的第 项;

（3）特例： 时，  ;

（4）作用：在復杂事件中求条件概率。

二、贝叶斯公式图示法举例

贝叶斯公式把握了它的内容、特点，如何图示法用其解决问题，是本文的中心。所谓图示法，就是把已知条件画成示意图，根据图形，便能轻松地解决问题了。

例1：发报台以0.6和0.4的概率分别发出信号“+”和“—”，由于电波受到干扰，发出信号“+”时收报台分别以0.8和0.2的概率收到信号“+”和“—”，而发出信号“—”时收报台分别以0.1和0.9的概率收到“+”和“—”.求当收报台收到信号“+”时，发报台确实发出信号“+”的概率.

先画示意图如下：

例2：试卷中有一道选择题，共有4个答案可供选择，其中只有1个答案是正确的.任一考生如果会解这道题，则一定能选出正确答案;若他不会解这道题，则不妨任选1个答案.设考生会解这道题的概率为0.8.已知某考生所选的答案是正确的，求他确实会解这道题的概率.

先画示意图如下：

例3：已知有三只笔盒，第一盒中有1支红笔，2支蓝笔，第二盒中有6支红笔，3支蓝笔，第三盒中有3支红笔，3支蓝笔.今从中任取一支笔，已知从各盒中取笔的可能性相同，求在取到的笔是红笔的条件下，笔是从第一盒中取到的概率.

先画示意图如下：

三、贝叶斯公式小结及练习

贝叶斯公式在应用的时候，通常是 的情形，如例1，例2。当 的情形出现，如例3：我们要知道举一反三。上述例子中示意图中用 表示事件，不同事件就用多个点来示意。最后附上一个练习，起巩固作用。

练习：两台车床加工同样的零件，第一台出现次品的概率为0.03，第二台出现次品的概率为0.06，加工出来的零件放在一起，且已知第一台车床加工的零件数是第二台车床加工的零件数的2倍.如果任取的一件零件是次品，求它是第二台车床加工的概率. （答案：0.5）

参考文献

[1] 欧贵兵.概率统计及其应用[M].北京：科学出版社，2012.

[2] 盛骤.概率论与数理统计[M].北京：高等教育出版，2013.