一种改进的基于水平集的主动轮廓模型图像分割算法

张琦

（四川大学计算机学院，成都610065）

0 引言

图像分割是图像处理到图像分析的关键步骤。它的主要作用是将图像分割成几个具有独特特征的特定区域，然后提取感兴趣的部分。由Kass 等人提出的主动轮廓模型[1]由于在图像分割中效率高，在图像分割中得到了广泛的应用。活动轮廓模型大致可分为两大类：基于边缘的模型[2-5]和基于区域的模型[6-9]。基于边缘的模型的主要思想是通过使用特定的边缘指标来吸引曲线向目标边界进化，如测地线活动轮廓（GAC）模型[4]。然而，由于基于边缘的模型利用了图像的梯度信息来停止目标边界上的变化曲线，因此，基于边缘的模型不能很好地用于边界较弱和有噪声的图像。基于区域的主动轮廓模型通常使用特定的区域描述符对图像进行区域划分，由于不依赖于图像的梯度信息，因此可以有效地进行区域划分。

Chan 和Vese 在2001 年提出了著名的Chan-Vese（CV）模型[6]，这是基于区域的经典模型之一。自从提出以来，CV 模型已成功应用于图像分割。但是，CV 模型可以成功分割图像的前提是假设图像的强度在统计上是均匀的。由于现实生活中的大多数图像都是强度不均匀的图像，因此CV 模型很难广泛使用。为了解决CV 模型难以分割强度不均匀的图像的问题。在2008年，Li 等人提出了一种由区域可缩放拟合（RSF）能量驱动的主动轮廓模型[7]。RSF 模型可以有效地分割强度不均匀的图像。但是，当设置了不合理的初始轮廓时，RSF 模型可能无法正确地分割图像，并且可能会因为能量函数不凸而容易演化到局部最小值区域中。另外，由于RSF 模型在每次迭代中需要执行四个卷积，因此，RSF 模型需要较长的分割时间，这导致较慢的分割速度。张等人在2010 年提出了一个由局部图像拟合（LIF）能量驱动的主动轮廓模型[8]。LIF 模型充分考虑了局部图像信息，因此，该模型也可以分割强度不均匀的图像。此外，LIF 模型在每次迭代中只需要两个卷积，因此，与RSF 模型相比，LIF 模型的分割速度更快，计算复杂度更低。但是，LIF 模型对初始轮廓也很敏感。Liu 和Peng[9]在2012 年提出了基于局部区域的Chan-Vese（LRCV）模型进行图像分割。LRCV 模型可以分割强度不均匀的图像，其计算复杂度也比RSF 模型低，但灵敏的初始化问题仍未解决。之后，又有学者在原有模型的基础上进一步的改进优化，提出了很多针对不同场景的模型，并且都取得了较为优异的检测结果。在本文中，我们提出了一个新的鲁棒的主动轮廓模型，相比传统的演化模型，进一步增强了目标区域检测的演化精度，同时改善了原有模型的一些缺点。

1 相关工作

1.1 Chan-Vese模型

Chan 和Vese 提出了著名的cv 主动轮廓模型。I为输入图像，C为闭合曲线，他们提出了以下能量函数：

其中λ1、λ2和ν为常数，outside（C）代表轮廓C外部的区域，inside（C）代表轮廓C内部的区域。c1和c2是两个常数，它们分别近似于外部区域outside（C）和内部区域inside（C）的强度平均值。等式中的前两个项为数据项，主要用于驱动曲线演化并停止在目标边界处。第三项是长度项，用于平滑和缩短曲线，减少不必要的演化曲线。由等式（1）可知，只有水平截面切线C位于目标边界时，能量Ecv才能达到最小值。

在水平集方法中，闭合曲线C被零水平集的李普希兹函数φ:Ω⊂R 表示，也叫做水平集函数。如等式（2）所示，当点x在曲线C的外部区域时，水平集函数φ是正数，当点x在曲线C的内部区域时，水平集函数φ是负数，否则水平集函数将等于0。

其中c1和c2分别为：

1.2 区域可放缩拟合（RSF）模型

李等提出了一种区域可缩放拟合（RSF）模型，用于分割强度不均匀的图像。他们定义了以下能量方程：

其中，x,y∈Ω，λ1、λ2、ν和μ为正常数。Kσ是具有标准偏差σ的高斯核函数。f1(x)和f2(x)是两个平滑函数，它们分别近似估计局部区域中轮廓C 外部和内部的图像强度。Hε(x)和δε(x)是正则化Heaviside和Dirac 函数，分别为：

用梯度下降法去最小化能量函数（8）。可以得到如下表达式：

2 本文算法模型

在这部分，我们将提出一个新的主动轮廓演化模型。通过上述部分的介绍，cv 模型的演化受到全局灰度信息的约束，因此该模型对演化的初始区域有很强的适应性，但演化公式中通过计算水平集函数内外的全局信息的灰度均值，则使得演化有些粗糙，对灰度不均匀的图像无法达到准确的检测结果。不同于cv 模型的是RSF 模型利用高斯核的属性，将水平集每一点的演化区域局限到核半径大小的局部区域，在局部区域中可以近似图像灰度均匀，从而达到目标图像的演化效果。但由于其缺乏全局性的约束，某一帧像素点的误差在重复多次迭代后，会形成较大的演化错误，同时一些非目标物体的边界也会被检测出来，降低演化的精度。本通过结合上述两个模型的演化优势，构建了新的演化能量方程：

其中α∈(0,1)，Efitting为cv 模型中的能量适应部分，Eregion为RSF 模型中的能量适应部分。此外，整合能量方程中的长度项和惩罚项，其中长度项可以减少不必要的演化曲线，惩罚项可以避免迭代后曲线的初始化问题，我们最终的能量方程如式（14）所示，其中c1、c2、f1、f2分别在上面部分已列出。

进一步用梯度下降法最小化能量函数，可以得到水平集函数关于时间的迭代方程如式（15）所示，其中e1和e2为式（11）。

3 算法实现与实验结果

3.1 算法实现

在本节中，我们的模型将通过分割一些合成的和真实的图像，同时将结果与目前已经提出的经典模型进行对比。我们模型的实现介绍如下：

步骤1：设置各种参数，包括初始水平集函数设置φ。

步骤2：根据上节的方程式分别计算c1、c2、f1、f2。

步骤3：进行水平集的更新φk+1=φk+ Δφ，其中Δφ为将变量带入式（15）后所得。

步骤4：迭代次数完成后，结合图像groundtruth，计算Dice 系数，进行最终的结果分析。

实验共列举三组灰度不均匀图片，主要是一些人工合成的图片和医学图像，包括人为合成梯形物体、医学应用中手关节和腿骨的图像。分别在chan-vese 模型、RSF 模型和本文提出的模型进行对比。各模型中的参数设置如下：在 chan- vese 模型中，ν=0.0002×2552，λ1=λ2=1，Δt=0.1，ε=1；在RSF模型中，ν=0.001×2552，λ1=λ2=1，Δt=0.1，ε=1，σ=3；在我们的模型中，ν=0.0008×2552，λ1=λ2=1，Δt=0.1，ε=1，σ=3，α=0.7。对比实验过程中我们设置的迭代系数统一为200 次。

程序实现运行在个人笔记本电脑MATLAB 2017a软件上。电脑配置为Intel Core i5-10210U CPU 和16GB RAM。

3.2 实验结果分析

通过图1 中的实验结果可以看出，对相同初始区域的水平集函数，CV 模型的演化结果受到全局灰度的影响，在某些背景灰度与物体相似的区域无法准确的检测出结果，存在较大的检测误差。RSF 模型由于高斯核半径的约束，在某些不属于物体边界的灰度区域中，水平集函数会达到局部最优值，从而检测出一些多余的边界，同时多次迭代也会增加结果的偏移，造成更大的演化误差。我们的模型可以在上述场景中可以准确的检测出目标物体边界。

图1 CV模型、RSF模型和本文算法在三个不同图像下的分割结果对比

进一步通过计算骰子相似系数（DSC）的值对比三个模型的演化结果，其中DSC 系数定义如下：

S1代表目标物体的实际区域，S2代表模型检测出来的区域，实际区域是通过人为手动标注完成。DSC系数越大，则表示检测的结果越接近真实目标物体，相反，则表示检测存在较大误差。表1 展示了不同模型的相似系数。可以看出我们的模型相比之下有着较大的优势。

表1 CV 模型、RSF 模型和本文算法在三个不同图像下DSC系数

4 结语

本文提出了一种新的目标物体图像检测算法。基于cv 模型与RSF 模型各自不同的原理与优缺点，可以在较为复杂的灰度不均匀背景图像下，达到较为优异的检测结果。同时该算法可以用于解决实际工作中的一些相关问题，例如医学图像中目标区域的精确检测，具有一定的实际意义。