湿热条件下碳纳米管的后屈曲分析*

侯子豪，杨 红，毕仁贵

(吉首大学 物理与机电工程学院，湖南 吉首 416000)

0 引言

1991年，日本科学家Lijima发现了碳纳米管[1]，碳纳米管由此以一种新的重要碳形态进入科学研究的殿堂.碳纳米管因具备独特而优异的力学性能而获得广泛的应用.Treacy等[2]、Poncharal等[3-4]采用实验方法对碳纳米管的力学性能进行研究，并得出碳纳米管管径尺寸越小则其杨氏模量越大的结论；Yakobso等[5-6]基于分子动力学，利用Brenner势对碳纳米管在轴向荷载作用下的屈曲行为进行了模拟；Ru等[7-9]基于连续介质力学，研究了单层和多层碳纳米管受轴向荷载时的屈曲行为；Jiang等[10]研究了温度对碳纳米管力学性能的影响，发现了碳纳米管在低温时热收缩而高温时热膨胀的现象；Yan等[11]研究了温度场中的碳纳米管压缩屈曲现象，分析了热效应对碳纳米管屈曲的影响；Mohamed等[12]建立了能量等效模型，研究了尺度效应、边界条件等因素对碳纳米管屈曲和后屈曲的影响.

纳米材料的力学行为往往不可忽视范德华力的作用.Autumn等[13-16]研究了壁虎脚底刚毛的黏附力并提出其黏附力来自壁虎脚部刚毛与墙壁间的范德华力；Stark等[17]、Huber等[18]研究了相对湿度对壁虎刚毛表面黏附的影响，研究表明基底的湿润性对刚毛的黏附力有显著影响；Peng等[19-22]建立了仿生纳米薄膜的剥离模型，研究了基底湿润性对纳米薄膜黏附力的影响，推导出相对湿度与基底水膜的关系式，研究表明基底水膜覆盖率越大，薄膜的黏附力越大.大量实验表明[23-25]，高分子柱的黏附力是壁虎刚毛的3～15倍，而碳纳米管达到了200倍.

本文考虑温度、相对湿度和范德华力等因素，采用连续介质力学和结构稳定性理论，研究了碳纳米管在湿热条件下的屈曲与后屈曲行为，探讨了温度和相对湿度对碳纳米管后屈曲路径的影响.

1 基本方程

如图1所示，将长度为L的碳纳米管置于光滑无杂质的刚性基底上建立梁模型，u(x)是碳纳米管沿X轴方向的位移坐标，w(x)是沿Z轴方向的位移坐标.

图1 碳纳米管力学模型Fig.1 Mechanical model of carbon nanotubes

根据Euler-Bernoulli梁理论，在轴向压力P和横向荷载q(x)的作用下，碳纳米管的线性平衡方程为

(1)

式(1)中:E为碳纳米管的杨氏模量；I为碳纳米管横截面的惯性矩.

在湿热环境下，水分子吸附在基底表面，在基底与碳纳米管之间产生一层水膜.Huber等[18]通过实验证实，当湿度小于90%时，固体表面所吸附的水膜厚度相当于一个单分子的厚度.碳纳米管通过水膜与基底接触时，水膜削弱了碳纳米管与基底间的范德华力，但水膜与固体间的分离压力弥补了削弱的范德华力，甚至使基底与碳纳米管之间的黏附力变得更大，水膜覆盖率Λ与相对湿度RH的关系可表示为[19-20]

Λ≈1.22RH.

(2)

碳纳米管在基底上的黏附力来自基底与碳纳米管之间的范德华力[26]，运用Lennard-Jones势可得相距为D的两个碳原子间的范德华势为

V(D)=4∈[(υ/D)12-(υ/D)6].

(3)

式(3)中：∈为势垒深度；υ=0.34 nm为平衡距离参数.将式(3)在基底体积域内进行积分，则碳纳米管中距离基底为w的单位体积原子受到基底的范德华势为

(4)

(5)

设碳纳米管与基底之间的初始距离为g，将式(5)在碳纳米管的横截面A上进行积分，则碳纳米管的横向荷载表示为

(6)

对式(6)进行泰勒展开，只保留其线性项

(7)

q(x)=kw.

(8)

在温度场中，温度产生的热应变ε为

ε=α·ΔT.

(9)

式(9)中，碳纳米管的热膨胀系数α在低温时取值为α=-1.6×10-6K-1，在高温时为α=1.1×10-6K-1，ΔT为温度的变化值[11,27].根据式(9)可得热应力σ为

σ=Eα·ΔT.

(10)

将式(10)在碳纳米管横截面上进行积分，可得温度变化产生的内力NT为

(11)

碳纳米管的内力N为

N=NT+P.

(12)

忽略梁的横向剪切变形和截面转动惯量的影响，梁的非线性近似平衡方程为

(13)

将式(8)、式(12)代入式(13)中，则碳纳米管在湿热条件下的非线性压曲平衡方程为

(14)

引入无量纲参量如下

(15)

将式(15)代入式(14)中，则碳纳米管在湿热条件下的无量纲非线性压曲平衡方程为

(16)

式(16)中,下标，为坐标变量求导，若碳纳米管的两边为简单支承，则其边界条件为

W(0)=W(1)=0,W,ξξ(0)=W,ξξ(1)=0.

(17)

2 求解方法

根据式(7)、式(16)可知，当初始间隙g<υ时，此时碳纳米管受基底斥力大于引力，碳纳米管受到基底作用的横向荷载为q(x)=-|k|w，则湿热条件下碳纳米管的无量纲屈曲方程为

(18)

W(ξ)=A1cos(κ1ξ)+A2sin(κ1ξ)+A3cos(κ2ξ)+A4sin(κ2ξ).

(19)

(20)

式(20)的系数矩阵为

(21)

要使式(20)有非零解，必须使式(20)的系数矩阵[aij]的行列式为零，即|aij|=0，则

(22)

由式(22)可得

(23)

根据式(23)可得碳纳米管的屈曲临界载荷为

(24)

不考虑湿热条件的影响，碳纳米管的临界屈曲荷载为

(25)

根据式(25)可知，不考虑湿热条件下的无量纲屈曲临界荷载与两端简支的弹性梁的无量纲Euler经典解相同.根据式(17)可设碳纳米管的分离变量形式为

W(ξ)=fsinnπξ.

(26)

式(26)中，f为碳纳米管横向位移的幅值，即碳纳米管中间截面的横向位移.将式(26)代入式(16)中并对其进行伽辽金积分

(27)

对式(27)进行化简可得

(28)

当初始间隙g>υ时，基底对碳纳米管的引力大于斥力，则湿热条件下碳纳米管的无量纲屈曲平衡方程为

(29)

在g>υ时，通过以上方法对碳纳米管的平衡方程进行求解，可得碳纳米管的临界屈曲荷载为

(30)

碳纳米管的无量纲轴向荷载的表达式为

(31)

3 数值算例

忽略高阶屈曲模态的影响，令n=1，在数值计算中，碳纳米管内径与外径的取值分别为0.86 nm、1.19 nm,杨氏模量E=1 TPa，长度L=40 nm，径长比为λ=0.018，Hamaker常数分别为Hdry=2.9×10-19J、Hwet=1.0×10-19J、Hsl=2.8×10-19J，碳纳米管与基底之间的初始间隙取值为g=0.339 nm，此时，初始距离的取值小于平衡距离υ=0.34 nm，基底对碳纳米管的范德华力以斥力为主.

图2 碳纳米管后屈曲路径: (a) 范德华力对碳纳米管后屈曲路径的影响，(b) 相对湿度对碳纳米管后屈曲路径的影响Fig.2 The post buckling route of nanotubes:(a) The influence of van der waals force on post buckling route of nanotubes, (b) The influence of relative humidity on post buckling route of nanotubes

当碳纳米管与基底间的初始距离g>υ时，此时碳纳米管所受基底的范德华力以引力为主，取初始距离的值g=2 nm.如图3所示为相对湿度对碳纳米管后屈曲路径的影响，随着相对湿度的增大，碳纳米管的横向位移变大，屈曲临界荷载减小，碳纳米管的稳定性降低.

图3 相对湿度对碳纳米管后屈曲路径的影响Fig.3 The influence of relative humidity on post buckling route of nanotubes

碳纳米管在低温时热收缩而在高温时热膨胀，这导致了碳纳米管在低温与高温两种不同的温度环境中，其后屈曲路径呈现两种不同的变化.图4给出了低温环境中碳纳米管的后屈曲路径.当温度升高时，碳纳米管横向位移变小，其后屈曲路径变得平缓，屈曲临界荷载变大.这说明，温度升高等效于给碳纳米管附加了一个轴向的拉力，使碳纳米管不容易发生屈曲，从而有效地提高了碳纳米管的稳定性.

图4 低温环境中温度对碳纳米管后屈曲路径的影响Fig.4 The influence of temperature on post buckling route of nanotubes in low temperature environment

图5所示为碳纳米管在高温环境中的后屈曲路径.在高温环境中，温度升高，碳纳米管的后屈曲路径大致相同，横向位移变大，其屈曲临界荷载变小.这说明，碳纳米管在高温时热膨胀的现象等效于给碳纳米管附加了一个轴向的压力，使其屈曲临界荷载变小，从而导致碳管的稳定性降低.

图5 高温环境中温度对碳纳米管后屈曲路径的影响Fig.5 The influence of temperature on post buckling route of nanotubes in high temperature environment

忽略湿热条件对碳纳米管后屈曲的影响.如图6所示为不同径长比碳纳米管的后屈曲路径，径长比越大，碳纳米管的后屈曲路径越平缓，横向位移越小；径长比越小，碳纳米管的后屈曲路径变形越明显.然而，在一阶屈曲模态中，径长比的大小并不影响碳纳米管的屈曲临界荷载的大小.

图6 径长比对碳纳米管后屈曲路径的影响Fig.6 The influence of aspect ratio on post buckling route of nanotubes

4 结论

本文基于连续力学和结构稳定性理论，研究了湿热条件下碳纳米管的屈曲与后屈曲行为，具体讨论了温度、相对湿度以及径长比对碳纳米管后屈曲的影响.在湿热环境中，碳纳米管与基底间的范德华力随着相对湿度的增加而变大；当基底与碳纳米管之间的初始距离大于碳纳米管的平衡距离，此时范德华力以引力为主，相对湿度的增加使碳纳米管横向位移增大，屈曲临界载荷变小，碳纳米管的稳定性降低；当基底与碳纳米管之间的初始距离小于碳纳米管的平衡距离，此时范德华力以斥力为主，其横向位移减小，临界屈曲荷载变大，稳定性提升；不同的温度环境对碳纳米管后屈曲路径的影响不同，在高温环境中，温度升高，碳纳米管横向位移变大，屈曲临界荷载变小，而在低温环境中，温度升高，碳纳米管横向位移变小，屈曲临界荷载变大；径长比对于后屈曲路径的影响显著，碳纳米管的后屈曲路径随着径长比增大而变得平缓.