美国线性代数课程教学研究与启示

张 莉

（北京联合大学数理部，北京 100101）

线性代数课程是国内外高等院校中非常重要的一门基础课， 它也是大多数研究生入学考试的一门必考科目。本课程不仅能够培养学生的抽象思维能力，而且能够培养学生的逻辑思维能力。 在20 世纪后期，计算机技术的高速发展，推动了工程、技术、经济、管理等领域问题的解决。 其中大部分问题的解决需要广大的技术人员能够运用计算机解决代数问题。因此，学好这门课程能够让学生将理论应用于实践， 解决社会生产和日常生活中的问题。近年来，随着高等教育的发展以及科技的进步， 如何提高线性代数课程的教学水平与教学效率成为国内外学者非常关心的话题。

美国的数学教育一直处在改革之中。 1989 年，美国国家研究委员会发表了《休戚与共——关于数学教育失败向全国所作的报告》。 文中提出对数学课程必须做重大的改革。 报告指出，数学教学应强调数学问题解决，使学生达到能从日常生活中和数学内部找到数学问题， 能发展和应用各种策略去解决各种问题。1990 年，美国线性代数大纲研究组对线性代数的课程大纲与教学提出了五条改革建议。 其要点是：（1）首先要满足非数学专业面向应用的需要；（2）要强调以矩阵运算为基础；（3）要从学生的水平和需求出发；（4）要采用最新的软件工具。 这四条都是为了提高课程的实用性，降低其抽象性，以利于它的“大众化”。 为了适应少数人学高深代数理论的需求，加了第五条：（5）对想要数学学位的学生应另开一门高年级课程，以提高其抽象性。 这些建议在美国的线性代数学界得到了广泛的支持。 接下来，美国又开展了ATLAST 计划，对教师进行数学软件的培训。 近几十年来，美国学者对线性代数课程的教学过程进行了大量的研究。

2015 年秋，笔者前往美国亚利桑那州立大学做了为期一年的访问学习。 亚利桑那州立大学于1885 年成立，是美国著名的公立大学，被卡内基高等院校分类标准归类为“高研究活动研究型大学”。 该高校设有22 个学院， 其本科教育为普及教育，2016 年及2017年， 该校连续两年被U.S.News & World Report 评为美国最具创新力大学。 通过近距离接触美国线性代数课程的教学，并与授课教师进行交流探讨，笔者觉得其中有很多地方值得我们学习与借鉴。

1 美国线性代数课程的教学特点

亚利桑那州立大学一方面注重入职教师教学能力的提升，另一方面，也重视教师的培训工作。 培训内容涉及认知心理，高等教育等方面。 在上课之前，学校会对任课教师进行教学方法，教学内容，教学大纲，教学计划，有效的课堂管理等方面的培训。 这样，教师的教学能力能够得到很大的提升。 教师在上课前会把课件，作业等都上传到个人的网络平台，每位同学都可以登录任课教师的平台下载所需材料。 在亚利桑那州立大学，教授线性代数这门课程的教师师资力量比较雄厚， 而且部分教师的研究方向涉及线性代数的应用。 这样，在教学中，教师可以与自己的研究方向相结合，与同学们的专业，线性代数的应用相结合进行讲授，而不只是教授书本内容，既体现了线性代数的应用价值又增强了学生的学习兴趣。

在亚利桑那州立大学，通常情况下，三个学期（春季、夏季、秋季）都开设有线性代数课程。 线性代数作为入门级的课程，一般侧重于概念，计算和应用，证明不多。 具体开设的课程类型有：线性代数基础、线性代数、线性代数的应用、工程中的线性代数等以及一些实验课。 课程不同，学分不同，授课的侧重点也不同。在进行理论学习的同时，同学们也学习怎样运用数学软件解决实际问题。 由于开设课程多样化，时间也比较灵活，同学们有较大的自主选择的空间。

教学时，教师根据David C.Lay 主编的教材《线性代数及其应用》以及所教授学生的专业特点和学习特点来定自己的教学内容。 这本教材着重培养学生运用线性代数理论解决实际问题的能力，要求学生理解和掌握基本算法， 但不提倡将更多的精力花在计算上。包含丰富的应用案例，取材广泛，这有助于加强与专业课程的联系。

在教学的第一次课， 任课教师会进行自我介绍，内容包括联系方式、办公地点、个人网页。 有的教师也会介绍个人经历、家庭、爱好等。 然后再介绍这门课本学期会进行哪些方面的学习、作业、讲义的下载地址，对课堂的要求、考核要求、在课堂上对学生的要求等。

在课堂上，学生可以随时对知识点提问，或者提出自己的见解。 任课教师鼓励学生主动解决问题，学生在学习中具有很大的主动性。 由于线性代数课程在数值计算上具有很大的应用性，有的学生会主动搜集数据，利用课堂上所学习的知识进行建模，并探究其规律，并将解决问题的方法和所得到的结论介绍给大家。 在教学中，教师更加注重线性代数课程知识与方法的应用，大多数学生在以后的工作和生活中都能自如地运用线性代数知识。

2 美国线性代数课程的教学对国内教学的一点启示

通过亲身接触，笔者感觉到在线性代数这门比较抽象的学科教学上，美国教师的教学，有许多值得我们学习与借鉴的地方。

2.1 在教学中传统教学方法与多媒体计算机相结合

在线性代数的课堂中，在讲解逻辑性比较强的定理、推论时，采用传统的，严谨的教学方法，如通过板书一步一步地讲解， 能够让同学们体会到数学的魅力，也有利于理解。 然后利用现代软件工具帮助学生理解课堂知识点，熟悉其应用。 比如，利用计算机演示直观的线性代数问题与空间解析几何问题等。 这样，能够使学生的学习主动性与严谨的课堂讲解结合起来，使课堂教学达到良好的教学效果。

2.2 根据学生专业、需求不同，采用分层次教学

线性代数课程的教学目的一般有三个层次：（1）基础理论学习，通过基础理论学习，掌握线性代数这门课程的基本概念，基本理论知识；（2）将数学软件与此门课相结合，进行一些数学建模以及数值计算；（3）为进一步专业领域的知识学习打基础， 将线性代数与专业相结合。 在教学中，充分考虑不同专业，不同层次的学生的基础水平和专业需求，因材施教。整个线性代数课程的学习既重视理论知识的学习， 也要侧重于所学知识和方法的应用以及运用现代手段解决实际问题。

2.3 搭建并高效利用自主学习平台

随着网络教育的发展，很多高校对于课程的资源实行网络化。 一方面同学们可以在线进行课前预习，查阅资料，也可以进行模拟测试，课后复习，拓展知识等多项活动。 另一方面，教师可以在线答疑，跟踪同学们的学习情况，随时调整教学内容与进度，节省了很多课堂时间。 同时，将平台利用最佳化，为同学们更好、更充分地学习线性代数知识服务，在潜移默化中提高学生的自主学习能力。

2.4 课上精讲与课下应用相结合

钱学森曾经指出“数学课不是为了学生学会自己去求解， 而是为了学生学会让电子计算机去求解，学会理解电子计算机给出的答案，知其所以然”。 在课堂上，精讲，既要讲知识，也要讲思想与方法，介绍用什么样的方法解决问题。 在教学的过程中，加强知识的应用介绍，提高同学们的兴趣。 在课下，布置一些与专业知识，社会热点等相关的应用课题，以小组的形式进行研讨， 既增加同学们的学习热情与思考热情，激发自主学习的主动性与积极性，提高教学效果，也提高了同学们的团队合作能力。

3 结语

用线性代数方法解决实际问题已经渗透到各个学科领域，线性代数课程的重要性日渐显现。因此，在科技迅猛发展与经济全球化的今天， 吸取国外的先进经验，以培养高素质新世纪人才，应用型人才为目标对国内的线性代数课程进行课程建设与课程改革尤为重要。