基于挠度分析的等截面连续梁合理边中跨跨径比

杨 毅

（中铁二十三局集团第三工程有限公司 四川成都 611130）

1 引言

在房屋建筑和桥梁工程中，常遇到多跨连续梁的情况。与简支梁相比，连续梁在中间支座处承受负弯矩，跨中正弯矩和挠度显著减小，因此，相同跨径下，采用连续梁可减小跨中梁截面尺寸[1- 2]。连续梁的跨径布置有等跨和不等跨两种形式[3]。虽然等跨连续梁施工较为方便，但由于其边跨缺少转动约束，边跨支座的负弯矩（指边跨内支座处）大于中间跨支座[4]。以满跨均布荷载作用下的四跨等截面连续梁为例，边跨支座的负弯矩约为中间跨支座的1.5倍，边跨的最大正弯矩为中间跨的2.1倍，边跨的向下挠度极值为中间跨的3.4倍[5]。

采用不等跨布置时，边中跨跨径比一般为0.6～0.8[6-7]，主要是为减小第1跨跨中弯矩和支座负弯矩。近年来，对连续梁桥的研究主要偏向于受力方面，而对挠度的研究较少，一般认为在满足受力前提下，跨中最大挠度满足相关规范要求的挠度限值即可。通过设置预拱度的方法可以抵消恒载的短期挠度，但考虑长期作用，恒载的长期挠度还会继续增大，公路相关规范规定长期挠度为短期挠度的1.35～2.0倍[8]，而大跨径预应力混凝土梁桥的病害之一为主梁跨中的长期挠度过大[9-11]。若能在设计之初，最大限度地减小主梁跨中最大挠度值，则长期挠度也会相应减小。从行车平顺性考虑，连续梁的挠曲线越小越平缓，车辆行驶则更为舒适。

由文献[12]可知，当边中跨跨径比接近0.8时，各支座负弯矩、各跨中最大正弯矩和各支反力值整体最小。本文以等截面连续梁在荷载作用下的挠曲变形值为研究对象，用奇异函数法推导出连续梁在均布荷载和集中荷载作用下的挠曲线方程，得出在不同总跨数和边中跨跨径比条件下，连续梁的挠曲变形随跨数和边中跨跨径比的变化关系；以结构在均布荷载和集中荷载作用下各跨向上挠度极值和向下挠度极值整体最小为目标，综合得出不等跨连续梁的合理边中跨跨径比，为连续梁的变形设计提供参考。

2 连续梁挠度求解

连续梁在荷载作用下的挠曲变形可采用初参数法、拉普拉斯变换、奇异函数法等方法求解。其中初参数法适用于一般情况，但对于有突变荷载情况，挠度计算公式在荷载突变处要分段表达而显得较为繁琐。奇异函数法可以得出任意荷载作用下挠曲线的统一表达式。将拉普拉斯变换与奇异函数相结合，使复杂加载条件下连续梁的变形求解更为简单，本文采用奇异函数法求解连续梁的变形。

连续梁上作用有一段均布荷载和集中荷载（见图1），其中q为均布荷载，Pj为作用在第j跨内的集中荷载，连续梁第i跨跨径为li，坐标系统以梁的受力方向向上为正，以梁的变形（y）向上为正，用奇异函数表达距第1支座为x的点的连续梁跨内荷载分布 q（x）表达式：

图1 连续梁计算模型

式中：a0和a1分别为均布荷载的起点和终点至第1支座的距离；di为第i＋1支座至第1支座的距离；Ri为第i支座的支反力；bj为第j跨内集中荷载至第1支座的距离。对（1）式进行两次积分，可得到连续梁的弯矩表达式：

小变形情况下，梁的挠曲线近似微分方程为：

式中：EI为连续梁截面的抗弯刚度。对式（3）进行两次积分，可得连续梁挠曲线方程：

本文研究满跨均布荷载和单个集中荷载作用下连续梁的受力情况，有a0＝0，a1＝dn，在第j跨上作用有集中荷载Pj，则式（4）变为：

令连续梁的两边跨跨径相等，则l1＝ln，其余中间跨的跨径相等，其值为l，则边中跨跨径比为：α＝l1／l。根据其余n－1个支承处竖向位移等于0的条件，可得出如下n－1个方程：

式中：k＝2，3，…，n－1，n－1＋α；s＝α＋k－1；βj＝bj／lj。

再补充力的平衡条件和力矩的平衡条件，可得矩阵方程：

求解矩阵方程可得各支座支反力，代入式（5）就可得到连续梁在荷载作用下的挠曲线方程表达式，从而求出每跨连续梁的向上挠度极值（各跨最大值）和向下挠度极值（各跨最小值）。

3 均布荷载下不同边中跨跨径比连续梁挠度

3．1 均布荷载下连续梁挠度特征

选取4～5跨连续梁在均布荷载作用时不同边中跨跨径比情况下的变形特征为对象，梁的挠曲变形采用无量纲化处理，表示为yEI／ql4，如图2所示。当边中跨跨径比小于1时，为方便比较图中边跨按跨长为1绘制。

图2 连续梁挠度特征曲线

由图2可知，边中跨跨径比对第1～3跨挠度有明显影响，当边中跨跨径小于0．8时，边跨会出现向上的挠度，当边中跨跨径比大于等于0．8时，第2跨靠近支座处出现向上挠度，究其原因由于连续梁在支座处左右两侧剪力值不等所造成。较为合理的边中跨跨径比可使梁在均布荷载作用下各跨向下挠度极值趋于一致。对3～7跨连续梁在均布荷载作用下的分析表明，第3跨以后的挠度基本不随边中跨跨径比的变化而变化。

3．2 边中跨跨径比对挠度极值的影响

选取4～5跨连续梁在均布荷载作用下各跨向上挠度极值和向下挠度极值为例，说明随边中跨跨径比的变化情况，如图3、图4所示。

图3中，当α小于等于0．81时，第1跨向上挠度极值随α的增加呈先增加后减小趋势，在α值为0．4时向上挠度极值最大。第2跨的向上挠度极值在α小于0．83时为零；当α大于0．83时，随α的增加而增加。第3跨的向上挠度极值变化趋势与第1跨相似，只是向上挠度极值远小于第1跨，其余跨向上挠度极值基本趋于零。综合各跨挠度情况，当α值在0．81～0．83时，连续梁向上挠度极值接近于零。

图3 向上挠度极值随边中跨跨径比变化曲线

图4中，当α小于等于0．5时，第1跨向下挠度极值为零，当α大于0．5时，向下挠度极值随着α的增加而增加。第2跨的向下挠度极值随α的变化趋势呈先增加后减小趋势，在α值为0．4时，向下挠度极值最大。第3跨的向下挠度极值随α的变化趋势呈先减小后增加趋势，在α值为0．4时，向下挠度极值最小。要各跨向下挠度极值均取较小值，应取图4曲线交点处位置，此时α值为0．82。

图4 向下挠度极值随边中跨跨径比变化曲线

3．3 跨数对连续梁挠度的影响

选取3～7跨连续梁向上挠度最大值和向下挠度最大值在不同边中跨跨径比下的计算结果，如图5所示。

图5 挠度随跨数变化曲线

连续梁向上挠度最大值和向下挠度最大值随跨数的增加呈波动变化关系，跨数越小波动幅度越大。当跨数大于5跨时，向上挠度最大值和向下挠度最大值基本趋于稳定值，只有边中跨跨径比α接近0．82时，向上挠度最大值和向下挠度最大值波动幅度最小，基本不随跨数的增加而变化。

4 集中荷载下不同边中跨跨径比连续梁挠度

当有移动集中荷载（P＝1）作用在连续梁上时，位移也采用无量纲化表示，则集中荷载作用下的位移表示为yEI／Pl3，可用位移影响线表示移动荷载作用下连续梁某位置的变形[19]，将所有位置绘制的位移影响线曲线叠加，得到一个填充区域，这个区域的上、下边界线就是结构的位移影响线包络图。位移影响线包络图反映了移动荷载在连续梁上作用时，所产生的最大和最小挠度。

4．1 集中荷载下连续梁挠度影响线包络图特征

以4～5跨连续梁为例，在集中荷载作用下不同边中跨跨径比的位移影响线包络图特征如图6所示。当边中跨跨径比小于1时，为方便比较图中边跨按跨长为1绘制。边中跨跨径比的变化对第1跨和第2跨的挠度包络图极值影响最为明显，第3跨及以后的影响可忽略不计。对3～7跨连续梁在集中荷载作用的分析结果表明，第3跨以后的挠度包络图极值基本不随边中跨跨径比的变化而变化。

图6 连续梁挠度影响线包络图

4．2 边中跨跨径比对挠度影响线极值的影响

分别将4～5跨连续梁前3跨的挠度影响线包络图极值在不同边中跨跨径比下的变化情况用图7表示。可见无论向上挠度极值还是向下挠度极值都随着边中跨跨径比的增加而增加，第1跨随边中跨跨径比的增加变化幅度最为明显，其他跨增幅逐渐趋于平缓。

图7 连续梁各跨挠度影响线包络图极值特征曲线

将3～7跨连续梁在集中荷载作用下位移影响线包络图的向上和向下最大值随边中跨跨径比的变化情况用图8表示。可见向上挠度影响线包络图和向下挠度影响线包络图的最大值随α的增加而增加，向上挠度影响线包络图的最大值当α大于0．88后增幅更为明显，而向下挠度影响线包络图的最大值当α大于0．9后增幅明显。考虑到在集中荷载下连续梁挠度增幅不要过大，则应使边中跨跨径比小于等于0．88。

图8 挠度影响线包络图最大值

4．3 跨数对连续梁挠度影响线极值的影响

选取3～7跨连续梁向上挠度影响线包络图最大值和向下挠度影响线包络图最大值在不同边中跨跨径比下的计算结果进行分析。

连续梁向上位移影响线包络图最大值和向下位移影响线包络图最大值随跨数的增加基本呈逐渐增加的趋势，当跨数大于7时位移影响线包络图最大值基本趋于恒定。当边中跨跨径比大于等于0.88时，向上位移影响线包络图最大值不随跨数的增加而变化；当边中跨跨径比大于等于0.90时，向下位移影响线包络图最大值也不随跨数的增加而变化。

5 结论

通过对不同跨数和不同边中跨跨径比情况下等截面连续梁的挠度分析，得出以下结论：

（1）均布荷载作用下，当边中跨跨径比接近0.82时，各跨向下挠度极值取较小值，各跨向上挠度值为零。

（2）均布荷载作用下，当边中跨跨径比接近0.82时，各跨挠度最大值基本不随连续梁跨数的增加而变化。

（3）集中荷载作用下，当边中跨跨径比小于等于0.88时，各跨向上、向下挠度影响线包络图的最大值取值较为合理。

（4）综合考虑均布荷载和集中荷载两种作用情况，当边中跨跨径比为0.82时，连续梁挠度整体较小，挠度最大值基本不随连续梁跨数的增加而变化。

虽然确定等截面连续梁桥的跨径布置受地形地貌、跨越障碍等因素的限制，但对多跨布置的连续梁桥，当桥下净空无要求时可采用边跨和中跨不等跨布置。此时，为了使连续梁在荷载作用下挠曲变形总体最小，边中跨跨径比建议取值为0.82。