局部完全环的同调刻画

林诗雨， 王芳贵， 陈 丹

（四川师范大学 数学科学学院，四川 成都610066）

本文恒设R是有单位元的交换环.pdRM和fdRM分别表示M的投射维数和平坦维数，gl.dim（R）和w.gl.dim（R）分别表示环R的整体维数和弱整体维数，FPD（R）表示环R的finitistic投射维数.

设M是R-模.称M是Max模，是指M的每个非零子模都有一个极大子模.称环R是Max环，是指所有非零R-模都是Max模.文献［1］对半素环进行同调刻画时，证明左完全环是左Max环.文献［2-5］进一步证明环R是Max环当且仅当它是一个局部完全环，当且仅当对任何p∈Max（R）有Rp是Max环.文献［6-7］从范畴的角度对Max环进行了等价刻画.文献［8］证明了R是一个局部完全环，当且仅当对任意R-模C有（F，C）＝0，其中F是一个循环平坦模.文献［9］用“投射下降法”对局部完全环进行了刻画.文献［10］用几乎投射模对局部完全环进行了刻画.M是一个几乎投射模.是指对任意的Rm-模N有（M，N）＝0，其中m∈Max（R）.环R是局部完全环当且仅当平坦模是几乎投射模.这时有FPD（Rm）＝0，其中m∈Max（R）.

文献［10］定义了模M的几乎投射维数和环R的几乎整体维数，分别用ApdRM和a.gl.dim（R）表示.若a.gl.dim（R）＝0，则R是von Neumann正则环.若a.gl.dim（R）＝1，则R是almost Dedekind整环.对R-模M，有

对环R，有

本文在文献［10］的研究基础上，对几乎投射模及几乎投射维数做了进一步的刻画.建立了商环上的几乎投射维数和满射情况下几乎整体维数的换环定理.在定义了环R的几乎finitistic投射维数AFPD（R）的基础上，证明

AFPD（R）≤Sup｛FPD（Rm）｜m∈Max（R）｝.指出了若环R是局部完全环，则AFPD（R）＝0.最后，证明了整环R是局部几乎完全整环当且仅当对R的任何极大理想m，有Rm是几乎完全整环.

1 几乎投射模与几乎投射维数

以下总用A P表示几乎投射模类.

命题1.1对模P，以下各条等价：

1）P是几乎投射模；

2）设0→A→B→P→0是正合列，m∈Max（R），则对任意的Rm-模N，有正合列

3）设A是B的子模，m∈Max（R）.对任意的Rm-模N，若B／A≅P，则任何同态 ψ：A→N都可以扩张到B；

4）设m∈Max（R），N是Rm-模，则任意正合列0→N→B→P→0都是分裂的.

证明1）⇒2） 由正合列

即证.

2）⇒3） 设0→A→B→B／A→0是正合列.已知B／A≅P，由2）可以得到

即任何同态ψ：A→N都可以扩张到B.

3）⇒4） 设0→N→B→P→0是正合列，且B／N≅P.由3）知 ψ：N→N可以扩张到B，所以正合列0→N→B→P→0是分裂的.

4）⇒1） 由题设，N到P的扩张是分裂的.再由文献［11］的定理7.20，有（P，N）＝0，故P是几乎投射模.

命题1.2设I是R的一个理想，＝R／I.若P是几乎投射R-模，则P／IP是几乎投射-模.

证明设P是一个几乎投射R-模.I是R的一个理想，＝R／I.若N是R／I的极大理想，则存在R的一个极大理想M，使得I⊆M，且N＝M／I.由易知

由同构（P／IP）N≅（P／IP）M≅P M／IPM和文献［10］的定理2.3，有P M是自由的RM-模，故P M／IPM是自由N-模，即P／IP是几乎投射-模.

命题1.3设S是R的乘法封闭集.若P是几乎投射R-模，则P S是几乎投射RS-模.

证明设M是RS的极大理想，则存在R的素理想m，使得M＝m S.由条件，Pm是自由Rm-模.设T是形如的元素的集合，其中s∈S，t∈R，t∉m.则T是RS的乘法集，且有（P S）M＝（P m）T.故（PS）M是自由（RS）M模.因此，MS是几乎投射RS-模.

定义1.4设M是R-模.若M有如下形式的几乎投射分解

则称M有有限的几乎投射维数，其中M最短的几乎投射分解的长度称为M的几乎投射维数，用ApdRM表示.若M没有有限长度的几乎投射分解，则记ApdRM＝∞.

例1.5设P是几乎投射模，则0→P→P→0是P的几乎投射分解，从而ApdR P＝0.反之，若ApdRP＝0，则P是几乎投射模.

命题1.6设n≥0.对模M，以下各条等价：

1）ApdRM≤n；

2）设m∈Max（R），对任意Rm-模N，与任何k≥1，有（M，N）＝0；

3）设m∈Max（R），对任意Rm-模N，有

4）若0→Pn→Pn－1→Pn－2→…→P1→P0→M→0是正合列，其中P0，P1…Pn－1是几乎投射模，则Pn也是几乎投射模.

证明1）⇒2） 由于ApdRM≤n，故M有几乎投射分解

由文献［12］的定理3.3.2，有

又由文献［10］的命题2.4，可以得到

3）⇒4） 由文献［12］的定理3.3.2，有

又由题设有m∈Max（R），N是Rm-模，由此可得Pn是一个几乎投射模.

4）⇒1） 设…→Pn→Pn－1→Pn－2→…→P1→P0→M→0是M的任意几乎投射分解.令An－1＝Ker（Pn－1→Pn－2），则0→An－1→Pn－1→P n－2→…→P1→P0→M→0是正合列.由假设，An－1是几乎投射模，故ApdRM≤n.

推论1.7设ApdRM＝n≥0，m∈Max（R），则存在自由Rm-模F，使得（M，F）≠0.

证明设m∈Max（R）.根据命题1.6，对任意的Rm-模X，有（M，X）＝0，且有Rm-模N，使得（M，N）≠0.取自由Rm-模F及正合列0→A→F→N→0，则有

推论1.8设0→A→P→M→0是正合列，P是几乎投射R模.若ApdRM＝n＞0，则ApdRA＝n－1.

证明设0→P n→P n－1→P n－2→…→P1→A→0是正合列，其中Pn－1，…，P1是几乎投射模.因此，有正合列

由命题1.6，Pn是几乎投射模，故ApdRA≤n－1.若n＝1，则A是一个几乎投射模，则有ApdRA＝0＝n－1.现设n＞1，由于ApdRM＝n，故存在Rm-模N，使得（M，N）≠0，其中m∈Max（R）.由正合列（A，N）→（M，N）→（P，N）＝0知（A，N）≠0，故ApdRA≥n－1，由此得到

定理1.9设0→A→B→C→0是正合列.

1）ApdRC≤1＋Max｛ApdRA，ApdRB｝；

2）若ApdRA≤ApdRC，则

证明1）不妨设上式右端是有限值.设ApdRA≤n，ApdRB≤n，m∈Max（R）.对任何Rm-模N，有正合列

2）设ApdRB＝n，m∈Max（R）.当k＞n时，对任何Rm-模N，有正合列

设ApdRA＝s，ApdRC＝m，m∈Max（R）.对任何Rm-模N，有（A，N）≅（C，N）＝0，从而有m≤s＋1.另一方面，由于

故s≤m－1.因此，可以得到m＝s＋1.

定理1.10设A是R-模，则

证明设m∈Max（R），记＝A.对任何Rm-模N，由于

因此，结论成立.

定理1.111）A P关于直和与直和加项是封闭的.

2）A P关于满同态的核是封闭的.

证明1）设｛P i｝是一簇R-模，m∈Max（R），M是Rm-模.由自然同构

2）设0→A→B→C→0是正合列，其中C是几乎投射模.设m∈Max（R），M是Rm-模.由命题1.6，对任何k＞0，有正合列

因此，有A是几乎投射模当且仅当B是几乎投射模.故A P关于满同态的核是封闭的.

定义1.12对环R，令

称之为R的几乎整体维数.

推论1.13设R是环，则a.gl.dim（R）＝Sup｛ApdR（R／I）｜I是R的一个理想｝.

证明对任意模M，由命题1.6，有ApdRM≤n当且仅当对任意的Rm-模N，（M，N）＝0成立，其中m∈Max（R）.这时idRN≤n.由文献［12］的定理3.5.15有（R／I，N）＝0，其中I是R的理想，故有ApdR（R／I）≤n.

定理1.14设R是环，则

证明由文献［10］的定理2.5，有fdR M≤ApdRM≤pdRM，即证.

定理1.15设R是完全环，则w.gl.dim（R）＝a.gl.dim（R）＝gl.dim（R）.

证明在完全环上，对任何的R-模M，有fdRM＝pdRM.根据定理1.14，此时结论显然成立.

定理1.16设R是完全环.若a.gl.dim（R）＝0，则R是一个半单环.

证明由定理1.15，有

由题设a.gl.dim（R）＝0，有gl.dim（R）＝0，故R是半单环.

命题1.17对环R，以下各条等价：

1）a.gl.dim（R）＝0；

2）R是von Neumann正则环；

3）每个模都是几乎投射模；

4）∀m∈Max（R），Rm是域.

证明1）⇒2） a.gl.dim（R）＝0时，由定理1.14有w.gl.dim（R）＝0，故R是von Neumann正则环.

1）⇔3） 显然.

2）⇔4） 由文献［12］的定理3.6.16易知.

4）⇒3） 由题设，对任意R-模M，有Mm是自由Rm-模.根据文献［10］的定理2.3，可以得到M是几乎投射模.

命题1.18对整环R，以下各条等价：

1）a.gl.dim（R）≤1；

2）几乎投射模的子模是几乎投射模；

3）R的每个理想是几乎投射模；

4）∀m∈Max（R），Rm是一个离散赋值环；

5）∀p∈Max（R），Rp是一个离散赋值环.

证明1）⇒2） 设M是一个几乎投射模，L是M的子模.由正合列0→L→M→M／L→0，对任意的Rm-模N，其中m∈Max（R），有

2）⇒3） 显然.

3）⇒1） 设I是R的理想，由题设有ApdRR／I≤1.又由推论1.13，a.gl.dim（R）≤1.

1）⇒4） 若a.gl.dim（R）≤1，根据定理1.14，有w.gl.dim（R）≤1.由文献［12］的定理3.7.21，可知Rm是赋值环，其中m∈Max（R）.又由文献［10］的定理3.6，有a.gl.dim（R）＝Sup｛gl.dim（Rm｜m∈Max（R）｝，有gl.dim（Rm）≤1，故Rm为Dedekind整环.由文献［12］的定理3.7.20，易知Rm是一个局部整环.又由文献［12］的定理5.2.14，有Rm是离散赋值环.

4）⇒1） 由题设有gl.dim（Rm）≤1，由文献［10］的定理3.6，有

易知a.gl.dim（R）≤1.

4）⇔5） 显然.

定理1.19设R是整环.若a.gl.dim（R）≤1，则R是一个凝聚环.

证明a.gl.dim（R）≤1时，由定理1.14有w.gl.dim（R）≤1，故R是一个Prüfer整环，即证R是一个凝聚环.

2 换环定理

引理2.1设φ：R→T是满同态，对任何T-模M，有

证明设 φ：R→T是满射，I＝Ker（φ）.不难得到T≅R／I.设ApdTM＝ApdR／IM＝n＜∞.

由文献［10］的定理3.3，有

现证明

对∀m∈Max（R）成立即可.

当n＝0时，若I⊆m，设

易知Mm≅M.同理，（R／I）m≅（R／I）.根据文献［10］的定理 2.3，对∀m∈Max（R／I），Mm是一个自由的（R／I）m-模，由此可得Mm≅⊕（R／I）m.故Mm和（R／I）m作为Rm-模有Mm≅⊕（R／I）m.由定理1.10，有

若Im，由（R／I）m＝0，有pdRm（R／I）m＝0.对

即证.

当n≥1时，取T-模正合列0→A→F→M→0，其中F是自由T-模.于是ApdTA＝n－1，故可归纳设ApdRA≤n－1＋ApdRT，又ApdRF＝ApdRT.因此，由定理1.9，有

综上所述，

定理2.2设S是R的乘法集，L是RS-模，则

证明为证明ApdRSL≤ApdRL，不妨设ApdRL＝n＜∞，则有R-的几乎投射分解

由命题1.3，每一个（Pi）S都是几乎投射RS-模，从而

是L的RS-几乎投射分解，故有ApdRSL≤n.

定理2.3设A是R-模，x∈R不是零因子，＝R／xR，则

证明若ApdRA＝∞，则无需证明.不妨设

若A是几乎投射R-模，由命题1.2有A／xA是几乎投射-模，于是ApdRA＝Apd（A／xA）＝0，此时结论显然成立.

若n≥1，设0→K→F→A→0是正合列，其中F是自由模.由定理1.8，有ApdRK＝n－1，故可归纳设Apd（K／xK）≤n－1.由题设，有正合列

因为x是非零因子，故（A，R／xR）＝0.由定理1.9，可知

定理2.4设M是R-模，x∈R既不是零因子也不是单位，＝R／xR，Mx＝｛z∈M：xz＝0｝.

2）若ApdR M≤ ＋ ∞，则Apd（M／xM）和ApdMx同时有限.

证明不妨设ApdRM＝n＜∞.若ApdRM＝0，由命题1.2有ApdRM＝Apd（M／xM）＝0，易知此时还有Mx＝0，结论显然成立.

考察正合列0→A→P→M→0，其中P是几乎投射模，A是P的一个子模.由定理2.3有

由题设，有正合列0→Mx→A／xA→P／xP→M／xM→0.令H＝Im（A／xA→P／xP），则有以下的正合列

由（*），对任意的j≥0和任意的模B来说，有正合列

有

由（**）和定理1.9，有

于是

即证1）.

定理2.5设a∈R既不是零因子也不是单位，＝R／aR.

1）设A是非零的-模，若ApdA＜ ∞，则

证明1）令ApdA＝n，由于a既不是零因子也不是单位，故＝1.由引理2.1，有ApdRA≤ApdA＋1＝n＋1.若n＝0，则ApdRA≤1.由于a不是零因子，故A不是几乎投射模.现设n＞0.由文献［14］的定理2.1和推论1.7，存在自由Rm-模F，使得

因此，有ApdRA≥n＋1，故ApdRA＝ApdA＋1.

3 局部完全环

定义3.1设R是环.令

称为R的几乎finitistic投射维数.

命题3.2设R是环.

1）AFPD（R）≤a.gl.dim（R）；

2）若a.gl.dim（R）＜∞，则

证明由定义1.12和定义3.1易证.

推论3.3设R是环，则AFPD（R）≤FPD（R）.

证明由文献［10］的定理2.5，对任意R-模M，有ApdRM≤pdRM.于是

故AFPD（R）≤FPD（R）.

引理3.4设m∈Max（R），M和N是模，则（M，N）≅（M，N）.

证明对任意的R-模P和Rm-模N，由文献［13］的命题1.9，有

设0→A→F→M→0是正合列，其中F是自由R-模.考虑以下正合列构成的交换图.

易知 θ1和 θ2是同构，于是

因为M是Rm-模，所以Mm＝M，故（M，N）≅（M，N）.由维数提升可得

命题3.5设R是环，则

证明设Sup｛FPD（Rm）｜m∈Max（R）｝≤n，其中m∈Max（R）.对任意的Rm-模N有pdRm N≤n.由引理3.4，可知ApdRN≤n.由此可得

定理3.6设R是局部完全环，则AFPD（R）＝0.

证明设m∈Max（R），于是Rm是完全环.由文献［2］的定理3.10.25，有FPD（Rm）＝0.又由命题3.5，有

命题3.7设I是R的一个理想，＝R／I.若R是局部完全环，则R／I是局部完全环.

证明M是R／I的极大理想，则存在R的极大理想m，使得I⊆m，M＝m／I.由条件有Rm是完全环，根据同构（R／I）M≅（R／I）m≅Rm／Im和文献［12］的定理3.10.23，有（R／I）M是完全环，故R／I是局部完全环.

设R是整环.若R的任何非平凡商环都是完全环，则R称之为几乎完全整环.文献［15-16］对几乎完全整环进行了系统刻画.文献［12］证明了整环R是几乎完全整环当且仅当R有有限特征（即任何非零元素u只包含在有限个极大理想中，且对R的任何极大理想m，Rm是几乎完全整环.）

定义3.8整环R被称为局部几乎完全整环，是指对R的任何非平凡商环是局部完全环.

定义3.9设R是局部几乎完全整环.对任何非零元素u∈R，有AFPD（R／（u））＝0.

证明设R是局部几乎完全整环，由定义3.8可知结论显然成立.

定义3.10设AFPD（R）≤1，则对任何非零元素u∈R，AFPD（R／（u））＝0.

证明设A是任何非零＝R／（u）-模，ApdA＜ ∞.由定理2.5，ApdRA＝ApdA＋1≤1，故ApdA＝0.于是AFPD（）＝0.

定义3.11环R是局部几乎完全整环当且仅当对R的任何极大理想m，有Rm是几乎完全整环.

证明设R是局部几乎完全整环，I是R的非零理想，M是R／I的极大理想，则存在R的极大理想m，使得I⊆m，M＝m／I.由（R／I）M≅（R／I）m≅Rm／Im，可知Rm／Im是一个完全环，故Rm是几乎完全整环.

设Rm是几乎完全整环，I是R的非零理想.M是R／I的极大理想，则存在R的极大理想m，使得I⊆m，M＝m／I.由（R／I）M≅（R／I）m≅Rm／Im，可知（R／I）M是一个完全环，故有R／I是局部完全环，即证R是局部几乎完全整环.