基于遗传算法的可燃毒物设计优化方法研究

肖 鹏，王 健，刘仕倡,*，李满仓，周冰燕，王连杰，陈义学

(1.中国核动力研究设计院 核反应堆系统设计技术重点实验室，四川 成都 610213； 2.华北电力大学 核科学与工程学院，北京 102206)

核反应堆燃料组件设计是提高反应堆燃料利用率、堆芯功率展平及反应性控制的关键。其中，可燃毒物用于降低初始堆芯剩余反应性和冷却剂的硼浓度，保证反应堆具有负的慢化剂温度系数。可燃毒物组件与控制棒组件不同，为堆芯不动部件。可燃毒物组件是按物理设计分散布置于堆芯适当位置的燃料组件中，有利于展平堆芯中子注量率的分布，可提高功率密度[1-2]。通过可燃毒物材料、含量、毒物棒数量等参数，在满足燃料和冷却剂等反应性系数在寿期内为负、功率峰因子低于限值等约束条件下，实现降低初始反应性、反应性变化较平缓、堆芯寿期尽量长、毒物在寿期内消耗速率平缓、寿期末毒物残留少、反应性惩罚较小等优化目标[3]。对于核反应堆燃料优化设计，由于是燃料棒、燃料组件、堆芯的多尺度问题，同时包含燃料棒、毒物棒、控制棒等多个对象，而且涉及到不同温度、密度等各种工况，甚至还是随堆芯燃耗深度不断变化的动态问题，因此核反应堆燃料优化设计具有很大的挑战性。

目前，常规的反应堆燃料设计过程通常是设计者根据经验给出一个初步方案，再针对此方案进行堆芯物理计算分析以验证其设计的性能，如不满足设计目标，则调整设计参数给出新方案并再次进行计算，如此反复[4-5]。该方法能否得到优化方案，很大程度上取决于设计者的经验，对于设计经验缺乏人员往往耗时巨大且很难得到满意解，即使是经验丰富的设计者，进行优化迭代设计也非常耗时耗力。

核反应堆燃料优化设计是一多输入多目标问题。遗传算法作为一种有效的随机搜索算法，具有智能性、并行性、通用性等特点[6]。它在许多领域得到了应用，取得了良好的效果。本文将遗传算法和蒙特卡罗粒子输运方法相结合，研究遗传算法在压水堆燃料组件可燃毒物多目标优化设计中的理论模型和实现方法。

1 压水堆燃料组件中的可燃毒物设计

本文研究的可燃毒物类型为可燃毒物及燃料混合在一起的整体型可燃毒物。优化对象为13×13的压水堆组件，其中包含3种棒：燃料棒、毒物棒和中心导管。组件结构如图1所示。

图1 压水堆组件结构模型 Fig.1 PWR assembly model

1.1 可燃毒物优化变量

优化变量包括：1) 毒物材料类型，包括6种氧化物，即Gd2O3、Er2O3、Sm2O3、Eu2O3、Dy2O3、HfO2(表1)；2) 毒物含量，采用的范围是毒物质量占含可燃毒物燃料棒整体质量(毒物+UO2)的1%～20%共20种质量百分比情况；3) 排布类型(图2)；4) 轴向分层，在三维燃耗计算中将轴向分为5层，排列方式1表示整根棒全为可燃毒物，2表示两端各有1层Zr层，中间3层为可燃毒物，3表示两端4层为Zr层，只有中间1层为可燃毒物(图3)。

图2 含可燃毒物燃料组件布置Fig.2 Fuel assembly layouts with burnable poison

图3 轴向分区布置Fig.3 Axial division

表1 候选可燃毒物的密度和宏观吸收截面Table 1 Theoretical density and macroscopic neutron absorption cross section of candidate burnable poison

1.2 可燃毒物设计目标

从中子学角度，可燃毒物设计应遵循3个原则：1) 寿期初，可燃毒物引入足够大的负反应性；2) 寿期内，可燃毒物缓慢释放反应性，控制功率分布，降低功率峰因子；3) 寿期末，可燃毒物的反应性惩罚尽可能小。

2 多目标优化遗传算法

遗传算法是一种基于自然选择的搜索算法[7]，它通过繁殖将最适合的个体组合起来，从而找到一个多元问题的近似最优解[8]，并将潜在的新思想和变异性引入突变群体中。该算法具有很强的并行性，因此本文将遗传算法应用于毒物选型优化这种搜索空间非常复杂的多目标优化问题[9]。

针对多目标优化问题[10]，目前采用最多的是帕累托最优解方法。帕累托前沿是以设计目标为轴的优化图，由在图上创建的线或平面显示有冲突设计目标之间的优化权衡。在帕累托前沿，对于1个或多个目标，每个单独的最优值可能较任何其他最优值都好，但不是所有的目标都是最优的。帕累托最优的成员也被称为“非占优”[11]。

本文的多目标优化采用NSGA-Ⅲ算法。NSGA-Ⅲ随机生成含有N个个体的初始种群，算法进行迭代直至终止条件满足。在当前种群的基础上，通过随机选择产生子代种群。为从种群中选择最好的N个解进入下一代，首先利用基于帕累托前沿的非支配排序将其分为若干不同的非支配层。然后算法构建1个新的种群，构建方法是逐次将各非支配层的解加入到新种群中，直至新种群大小等于N，或首次大于N，丢弃第N层之后的解。对于最后一层非支配层解的选取，NSGA-Ⅱ用的是基于拥挤距离的方法，而NSGA-Ⅲ用的是基于参考点的方法。拥挤距离度量并不适合求解3个及更多目标的多目标优化问题。因此NSGA-Ⅲ采用了新的选择机制，该机制会通过所提供的参考点，对新种群中的个体进行更加系统的分析，以选择最后的非支配层中部分解进入新种群。因此本文选择NSGA-Ⅲ作为多目标优化算法[12]。

同时，为提高计算效率，本文采用并行遗传算法，将种群内的个体分配到不同的计算核心。常规遗传算法和并行遗传算法的基本流程示于图4。图4中，COREn表示第n个计算核心。不同的计算核心处理不同的单个子种群，种群间互相独立进行进化，种群间进行个体迁移和种群竞争。因此并行遗传算法可显著提高计算效率。

图4 并行遗传算法基本流程图Fig.4 Flow chart of parallel genetic algorithm

3 可燃毒物优化数学模型

3.1 决策变量与目标函数

二维组件燃耗计算的输入参数共3个，故定义决策变量维数为3。第1个输入变量为可燃毒物组件的排列方式(共7种)，表示含可燃毒物燃料组件布置，具体排布见1.1节；第2个输入变量为毒物类型，包括6种不同材料；第3个输入变量是可燃毒物的含量，为1%～20%共20种质量占比。三维燃耗计算增加了1个决策变量，第4个决策变量是毒物棒的轴向分层，具体装载情况见1.1节。4个变量以随机数的形式拼接在1条染色体基因链上。由于各自的范围不同，4个变量在基因链上的长度亦不同。因为基因链是由二进制编码的，所以4个输入变量在染色体基因链上的长度分别为3、3、7、2字节，基因链总长为15字节。

燃耗计算目标函数共5个，分别表示为F1、F2、F3、F4、F5。F1为初始有效增殖因数(keff)，F2为各燃耗步最大功率峰因子(ppf)，F3为可燃毒物在燃耗中期的含量，F4为可燃毒物在燃耗末期的含量，F5为各燃耗步中有效增殖因数的最小值(表2)。其中，毒物含量为毒物氧化物中吸收截面最大的同位素剩余百分比。总燃耗时长为1 000 d，燃耗中期含量设为第500 d的毒物含量与初始毒物含量的比值；末期含量为第1 000 d毒物含量与初始毒物含量的比值。为降低初始反应性，展平径向功率分布，减少寿期末毒物残留，分别设置优化目标为F1、F2和F4最小化。为使可燃毒物缓慢释放反应性，达到最大的循环长度，分别设置优化目标为F3和F5最大化。

表2 燃耗计算决策变量和目标函数Table 2 Decision variable and objective function of burnup calculation

3.2 约束条件

组件燃耗计算中选用约束条件的方法对目标结果加以限制。在燃耗计算中，设置了4个约束条件。首先使初始有效增殖因数大于1，即F1>1。二维燃耗计算采用最大功率峰因子F2<1.4的约束条件。而在三维燃耗计算中，因三维燃耗的加入使得功率不均匀程度增大，因此设置约束条件使各燃耗步最大功率峰因子F2<3.0。此外，燃耗中期要保证一定量的可燃毒物剩余，燃耗末期剩余的可燃毒物不能过多，故增加2个约束使燃耗中期剩余毒物的含量大于1%和燃耗末期剩余毒物的含量小于10%，即F3>0.01和F4<0.1。

4 计算结果

本文的遗传算法采用Python的Geatpy遗传算法库[13]。Geatpy是一个高性能实用型进化算法工具箱，提供许多已实现的进化算法中各项重要操作的库函数，并提供高度模块化、耦合度低的面向对象的进化算法框架，利用“定义问题类+调用算法模板”的模式进行进化优化，可用于求解单目标优化、多目标优化、复杂约束优化、组合优化、混合编码进化优化等。组件临界计算及燃耗计算采用清华大学REAL团队研发的堆用蒙特卡罗程序RMC[14]，RMC具备内耦合的燃耗计算功能[15-17]。

4.1 二维组件燃耗计算

遗传算法的种群数为50，迭代次数为50。RMC计算的源迭代采用的粒子数为2 000/代，非活跃代为5代，总代数为15，keff的统计标准差约为0.5%。比功率为30 W/gHM，燃料棒中235U的富集度为3%。不同棒数具体排列方式见1.1节。燃耗计算中采用的燃耗步数为6，步长分别为100、100、150、150、250、250 d，共1 000 d。最大平均燃耗深度为30 MW·d/kgHM。不考虑带轴向分层，毒物棒为整根全为燃料和毒物混合的单一材料。优化方案及结果列于表3，最终的优化方案中所用的材料均为Er2O3，因此Er2O3较其他材料更优。该结果与通过人工搜索优化得到的结论一致。二维优化方案的keff随燃耗时间的变化如图5所示。

图5 二维组件各燃耗步keff随燃耗时间的变化Fig.5 Change of keff with burnup time of two-dimensional assembly

表3 二维组件燃耗计算优化方案及结果Table 3 Optimization scheme and result of two-dimensional assembly burnup calculation

4.2 三维组件燃耗计算

考虑加入轴向分层后的燃耗计算，遗传算法的种群数和迭代次数、蒙特卡罗计算的粒子数和代数均与二维算例相同。keff的统计标准差约为0.4%。

优化后得到40个非支配解，其中Gd2O3有13个、Er2O3有21个、Sm2O3有2个、Eu2O3有4个(表4)。与二维燃耗的只有1种材料Er2O3相比，通过轴向分层使得候选材料种类增加。各材料的keff随燃耗时间的变化如图6所示。

图6 三维组件各燃耗步keff随时间的变化Fig.6 Change of keff with burnup time of three-dimensional assembly

表4 三维组件燃耗计算优化方案及结果Table 4 Optimization scheme and result of three-dimensional assembly burnup calculation

三维燃耗ppf随不同轴向分层的分布如图7所示。可看出，分层方式2(即两端各有1层Zr层、中间3层为可燃毒物)的燃耗ppf较分层方式1(即整根棒全为可燃毒物)的小。可见改变分层方式，以部分毒物代替整体全为可燃毒物的布置方式可减小ppf值。

图7 三维燃耗ppf随轴向分层分布的变化Fig.7 Distribution of ppf in three-dimensional burnup with axial division

5 结论

本文将多目标并行遗传算法应用于压水堆组件毒物选型优化，以反应性控制、功率分布和不同时期燃耗剩余等为目标，对可燃毒物材料类型、含可燃毒物燃料棒排列方式、毒物含量、轴向分层等决策变量进行了优化。针对二维和三维燃耗计算，分别筛选了13和40种优化方案。计算结果表明：Er2O3用作毒物的综合效果最好；Gd2O3、Eu2O3和Sm2O3的应用需结合堆芯方案开展进一步研究；HfO2和Dy2O3不适合用作可燃毒物。该结果与通过人工搜索优化得到的结论基本一致。同时，三维轴向分层可为优化提供更多可选的材料种类方案，以部分毒物的分层布置方式可减小ppf值。

通过本文计算，初步验证了智能优化算法在进行毒物选型优化时，具有一定的协助工程师进行优化设计方案筛选的潜力。