“做数学”对初中生提出问题能力影响的实验研究①

李天擎 杨明远 王晓峰

摘要：数学实验是“做数学”的一个重要内容。在江苏省苏州市某初级中学七年级和八年级选取被试，以教学方法为自变量，提出问题为因变量，实验组在教学中穿插数学实验，对照组采用常规教学。在经过6周的教学后进行提出问题的后测，结果显示，实验组与对照组的后测成绩存在显著差异。研究表明，数学实验是促进初中生提出问题能力发展的一条有效途径。

关键词：“做数学”;数学实验;提出问题

一、问题提出

《义务教育数学课程标准（2011 年版）》的总目标中提出，“通过义务教育阶段的数学学习，学生能：…… 增强发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力”。因此，提出数学问题是义务教育阶段学生应具备的基本能力。

国内许多学者对学生提出数学问题做了较多研究。冒建生提出，运用不同的思维方法培养学生提出问题的能力：（1）运用整合条件与结论的方法，让学生发现和提出问题;（2）运用归纳、类比、联想的方法，让学生发现和提出问题; （3）将问题一般化或特殊化，让学生发现和提出问题。② 王嵘和蔡金法在对国内外教科书中提出问题内容分析的基础上，提出三点建议：（1）教师作为课程的再设计者，以简单的方式重塑现有的教科书，为学生提出问题创造更多的学习机会;（2）以带有示例性问题的问题提出活动为支撑， 为学生提出问题积累丰富的经验;（3）鼓励学生提出不同难度的问题，逐步发展学生的问题提出能力。③ 张丹与吴正宪对提出问题做了实证研究， 通过后测发现：在经历了两个学习活动后，二年级学生就已经初步具备发现和提出问题的能力;二到五年级，提出发展性问题的比例越来越大，说明随着年级的增高学生不断地积累提出发展性问题的经验;到了六年级，多数学生已经能够提出发展性问题，一半以上的学生则能较为系统地提出发展性问题。① 夏小刚等针对学生普遍缺乏提出数学问题的学习经验和问题意识较为低下的现状， 开展了对“创设情境—提出问题—解决问题—应用数学”的数学教学模式（简称SPBI 模式）的实验研究。结果表明，SPBI 模式对学生的数学兴趣、提出问题能力和数学学习能力具有显著的促进作用。② 吴华与卢小男认为，多媒体环境对学生提出数学问题有极其重要的作用与意义，把多媒体技术恰当有效地整合到学生提出数学问题和问题解决中是发挥技术价值的一个很好的切入点。多媒体技术使学生能用具体的方法对其数学思维进行表征，有助于学生发现数学问题的本质。③

可以看出，这些研究从教学方式改进或学生参与活动方式变化的角度，来提高学生提出问题的能力。我们则从“做数学”角度切入，用实验方法探讨“做数学”对学生提出问题的影响。

“做数学”是以“做”为支架的一种数学学习活动。包括：（1）数学体验。是学生动手操作， 作中体验数学的一种学习方式。（2）数学实验。是学生在教师指导下，利用一定的工具（实物或软件）， 通過动手操作、用眼观察、归纳抽象等过程建构数学概念、验证数学结论、探索数学规律、解决数学问题的一种学习方式。（3）综合实践。是以学生的经验与生活为核心，强调实践性的一种学习方式。本次研究的“做数学”，主要指其中的“数学实验”。

二、研究方法

本次研究是在喻平教授关于“做数学”实证研究总体设计框架下开展的一项研究。

（一）被试选择

本次研究，被试来自江苏省苏州市某初级中学，我们以2020—2021 年第一学期期末数学调研成绩为参考，运用SPSS 软件进行t检验，考察七、八年级各个班级之间的差异情况，以此来选择实验组和对照组。最后，我们选取了七年级1、2、3、4班与八年级15 、16 、17 、20 班共8个学习水平相当（t检验后，检验结果不存在显著差异）的班级参与实验。其中，七年级1、3班和八年级15 、17 班作为实验组;七年级2、4班和八年级16 、20 班作为对照组。这8个班级中，每组实验班和对照班都是由同一位数学教师任教的，从而消除了不同教师的教学水平可能造成的无关变量因素。

（二）研究工具

本次研究主要是评估初中生在提出问题方面的表现，是一种能力的评价性研究，但是从许多相关研究来看，目前没有比较标准和统一的测量工具。

许多研究者广泛认同和采用的一种评价思路和手段是：为被试提供或设计一些提出问题的任务，而这些提出问题的任务都是以一定的生活或数学情境为背景的;让被试针对提供的情境，提出正确的数学问题;对被试提出的问题进行某个维度或视角的分析和评价。

为了实验的可对比性与严谨性，研究工具采用了数学实验核心组统一编制后交由各校统一使用的测试卷。该测试卷的编制遵从两个原则： （1）围绕所学的知识设计题目;（2）主要考查学生提出问题的能力。

我们采用蔡金法教授的分法，把“提出问题” 分为三级水平（将不能提出问题排除在水平之外）：水平1，能够提出一个简单问题;水平2，能够提出一个中等难度问题;水平3，能够提出一个较难问题。

两个年级的测试卷均为三道题目。测试时长40 分钟。

七年级的测试题如下：

如图1，在平面内，将一副三角尺摆放在一起， 其中顶点D在边AC上，设∠ADE=α，∠CDF=β。

请回答下面的问题：

①请你提出一个针对α、β的数学问题，并解答这个问题;

②将三角尺DEF绕点D旋转，请在图2中画出图形，再提出一个针对α、β的新的数学问题， 并解答这个问题;

③将三角尺DEF绕点D旋转，使EF⊥AB， 请在图3中画出图形，再提出一个针对α、β的新的数学问题，并解答这个问题。

八年级的测试题如下：

如图4，已知平行四边形纸片ABCD。

请回答下面的问题：

①折叠该纸片的1个角，使这个角的两边重合，画出折痕，然后提出一个数学问题，并解答这个问题;

②折叠该纸片的2个角，使这2个角的两边分别重合，画出折痕，然后提出一个与四边形有关的数学问题，并解答这个问题;

③折叠该纸片的几个角，使这几个角的两边分别重合，画出折痕，然后提出一个新的与四边形有关的数学问题，并解答这个问题。

（三）实验设计

实验方案如图5所示。两个“做数学”阶段， 每一个阶段至少安排3次“做数学”活动。

三、研究过程

（一）实验操作

2021 年2月，以上一学期期末考试成绩为参考，选取合适的班级参与本次实验研究，并确定实验组和对照组。

2021 年4月—5月，与正常教学同步開始进行数学实验教学（教学内容详见下页表1，皆源自苏科版初中数学实验手册）。

2021 年5月，利用测试卷对学生进行检测。

（二）数学实验教学案例

【案例1】七年级：拼图———探索一类多项式的因式分解

教学《整式乘法与因式分解》这一章时，我们选择《拼图——探索一类多项式的因式分解》这节实验课作为载体，在实验班中渗透数学实验的方法：通过拼图活动，探索拼图与整式的因式分解之间的内在关系，体会数形结合的思想方法，发展几何直观和推理能力（对照班则通过代数方法，利用多项式乘多项式的运算法则，推导得出乘法公式）。

课前，准备A型纸片（边长为a的正方形）、B 型纸片（边长为b的正方形）、C型纸片（边长为a和b的长方形）若干。实验过程设计如下：

（1）能否利用手上的纸片验证已经学过的乘法公式？

（2）利用1张A型纸片、4张B型纸片、4张C 型纸片可以拼成什么特殊的四边形？ 根据该四边形，你有何发现？

（3）将多项式a²+4ab+4b²分解因式，对比刚刚的拼图结果，你能提出什么问题？

（4）取1张A型纸片、2张B型纸片、若干C 型纸片，使其拼成一个长方形，你能提出怎样的问题？

（5）分别取适当数量的A型、B型、C型纸片， 使其拼成一个长为a+3b、宽为a+b的长方形，并将多项式a²+4ab+3b²分解因式，根据刚刚的实验过程，你有何发现？

（6）如果分别取A型、B型、C型纸片若干，能够拼成一个长方形，是否就能将一个多项式分解因式？ 如果能，那么你能提出关于这个多项式系数的何种猜想？

（7）分别取适当数量的A型、B型、C型纸片， 使其拼成一个长方形，能够将多项式2a²+5ab+3b²分解因式吗？

（8）刚刚所有的拼图都是在原有基础上增加出来的，你还能提出什么问题吗？（允许覆盖，能否拼成一个长方形从而将多项式a²+2ab-3b²分解因式？）

如此设计，有四个方面目的（作用）：（1）利用三种纸片的拼图，再现分解因式的公式，让学生感受数与形的联系;（2）通过给定数量的纸片能拼成一个正方形或长方形，引导学生大胆猜想和纸片面积一样的多项式就能分解因式，再寻找关于这个多项式系数的规律;（3）利用三种纸片拼出长方形或覆盖后拼出长方形，让学生懂得从增和减的角度思考问题;（4）适当穿插如“利用不同型号的纸片做出正方形”“利用‘L字形纸片进行裁切，拼成长方形”“利用四个长方形拼合‘回字形，探究公式”等活动，引导学生从纸片面积的不同表达方式入手自发猜想和验证，锻炼提出问题和说理表达的能力。

【案例2】八年级：糖水实验———探索分式的有关性质

教学《分式》这一章时，我们选择《糖水实验——探索分式的有关性质》这节实验课作为载体，在实验班进行教学：通过糖水实验，从生活经验中抽象出数学式子，探索并进一步理解分式的相关性质，感受模型思想（对照班则通过传统的代数方法，利用通分与约分的类比进行教学）。实验过程设计如下：

（1）在一杯水中加入糖后，水会变甜;再加入水后，又会变淡。你能用数学的语言描述这种现象吗？

（2）有两杯糖水， 请你提出一个值得研究的问题。（表示糖水的甜度）

（3）单独添加糖或水， 请你提出一个值得研究的问题。（利用式子描述）

（4）配置糖水：①一杯糖水分配出三小杯，提出一个关于甜度的问题;②一小杯糖水，倒入原来的杯子中，提出一个关于甜度的问题;③两杯不同甜度的糖水，你能提出怎样的问题？（尝试利用式子描述）

（5）加糖、加水都是添加，能否提出其他问题？ （通过某种手段提取溶液中的糖或水）

这样设计，有四个方面目的（作用）：（1）通过两杯糖水的对比，引导学生提出甜度的衡量标准;（2）通过单独添加糖或水，引导学生利用分数性质解释生活现象;（3）通过配置糖水，引导学生发现影响甜度的因素;（4）通过对问题的变式，体会相对思想，让学生懂得可以从增和减的角度提出问题，展开研究。

四、研究结果

将实验班和对照班的数据合并后，利用SPSS 软件进行t检验，结果如下：

（一）前测成绩分析

以七年级、八年级上一学期期末数学考试成绩作为前测数据，进行统计检验，结果如表2—下页表5所示。

表3显示，在方差Levene（齐性）检验中，Sig.=0.570>0.05，因此方差齐性，再看对应的Sig.（双侧）=0.883>0.05，因此，七年级实验组和对照组的前测成绩不存在显著差异。

下页表5显示，八年级实验组和对照组的前测成绩也不存在显著差异。

（二）后测成绩分析

对七、八年级的三道后测试题分别做检验，再对总成绩做检验，结果见下页表6—表9。

表7表明，七年级的实验组和对照组在第（1） 题和第（3）题的成绩上没有显著差异，但是在第（2）题的成绩和总分上都有显著差异。

表9显示，八年级的实验组和对照组在第（1） 题和第（2）题的成绩上没有显著差异，  但在第（3）题的成绩和总分上都存在显著性差异。

可见，通过數学实验教学，实验组和对照组学生在“问题提出”方面产生了显著差异，说明数学实验在某种程度上提升了学生提出问题的能力。

五、结论与讨论

从前测成绩看，七、八年级实验组和对照组均不存在显著差异，说明实验组与对照组的数学学业水平相当，从而为实验提供了前提性保障。

随着后续第一、第二阶段数学实验教学的开展，实验组学生接受了有别于对照组的教学，通过“做数学”，手脑并用，利用数学实验来探究问题。从后测成绩看，两个组之间出现了显著差异，说明数学实验对学生提出问题产生了影响，提升了学生提出问题的能力。

在后测成绩中，七年级在测试题第（1）、第（3） 两题上未体现出显著差异，但在第（2）题和总分上产生了显著差异。究其原因，是第（1）题相对容易，第（3） 题相对较难， 而学生解答的区分度不高， 第（2）题的问题提出和解决难度中等，学生在这个问题的回答上产生了一定的分层，从而在该题以及总分上产生了显著差异。八年级实验组与对照组在测试题第（1）、第（2）两题上没有显著差异，但在第（3） 题和总分上存在显著差异。原因可能是：前两题提出问题并解决相对容易，但第（3）题需要学生具有一定的观察、想象和推理能力，并提出一个合适的问题再加以解决，难度较高，因此在该题上体现出较大的差异性。

“做数学”与初中生提出问题之间具有内在联系，能对提出问题能力产生正向影响。“做数学” 通过动手动脑，调动了学生学习数学的兴趣，让一些原本畏惧数学、游离在课堂之外的学生也逐渐参与到学习中，拉近了他们与数学的距离。通过有趣的实验环节，让抽象的数学变得更加具体和生动。同时，通过独立思考和同伴讨论，学生也逐渐能找出蕴藏在数学现象中的一些规律，并对此提出自己的问题。而教师在教学环节中的适度引导，可以让问题变得更有深度，使不同层次的学生解决不同梯度的问题，让他们发展数学思维和解决问题的能力，获得成就感，进一步提升数学学习的热情。

参考文献：

[1]赵维坤，章建跃.初中数学实验的教学设计[J].课程·教材·教法， 2016（8）.

[2]董林伟.义务教育教科书·数学实验手册（七年级下册）[M].南京：江苏凤凰科学技术出版社，2014.

[3]董林伟.义务教育教科书·数学实验手册（八年级下册）[M]. 南京：江苏凤凰科学技术出版社，2014.

[4]喻平，赵静亚.数学核心素养中品格与价值观的评价指标体系建构[J]. 课程·教材·教法，2020（6）.

（李天擎，西安交通大学苏州附属初级中学。杨明远，西安交通大学苏州附属初级中学。王晓峰，江苏省苏州工业园区教师发展中心。）