基于重要性采样的纯方位定位算法

薛昌成，骆吉安，申屠晗

(杭州电子科技大学自动化学院，浙江 杭州 310018)

0 引 言

图1 纯方位角目标定位

纯方位角定位在目标跟踪、监视、导航及通信等领域应用广泛[1]。到达角度(Angle of Arrival，AOA)定位方法通过测量空间分散传感器相对于目标的方位角来获得目标位置的估计值，由于角度测量与待估计目标位置是反正切函数关系，真实角度与目标位置是非线性映射的函数[2]。在加性测量噪声假设条件下，需要用统计信号处理的方法进行位置参数估计。文献[3]采用伪线性估计(Pseudo-Linear Estimator, PLE)解决纯方位角定位问题，PLE算法易于实现，且复杂度较低，但随着测量次数的增加，偏差并不会消失。在高斯测量噪声假设条件下，极大似然估计(Maximum Likelihood Estimation, MLE)算法[4-5]实质是一个非凸的非线性最小二乘优化问题，需要采用梯度下降方法进行迭代求解。相比于PLE算法，在传感器个数增加或者测量次数增加时，MLE算法的估算性能越来越接近克拉美罗下界(Cramer-Rao Lower Bound, CRLB)。但该算法对初始条件敏感，且在观测数据数量不足或传感器与目标之间存在非视距等条件下容易发散，导致难以获得全局近似解[5]。本文使用蒙特卡洛重要性采样(Monte Carlo Importance Sampling, MCIS)算法来得到纯方位角定位问题的近似全局解。应用Pincus定理[6]得到全局解的多维积分形式，并使用蒙特卡洛重要性采样算法来对其进行近似计算[7]，在引入提议分布后，采用PLE作为初始值，有效计算出目标位置。

1 问题描述

1.1 系统模型

纯方位角目标定位问题如图1所示。假设N个方位角传感器位置静止且已知，rk=[rx,k,ry,k]T表示第k个传感器位置，θk表示第k个传感器与目标位置的真实方位角。纯方位角目标定位原理是在某一时刻中，从有噪声的方位角和传感器位置中确定真实的目标位置t=[tx,ty]T。图1中，方位角、传感器位置与目标位置之间的关系如下：

(1)

假设方位角测量值受到独立的零均值高斯噪声的影响，可以写为：

(2)

1.2 最大似然估计

方位角测量值的似然函数为：

(3)

(4)

1.3 伪线性估计

将方位角测量方程线性化[3]，第k个传感器测量方程如下：

akt=bk+ηk

(5)

At=b+η

(6)

(7)

2 基于蒙特卡洛重要性采样定位算法

最大似然估计不仅需要采用梯度下降方法进行迭代计算，而且对初始条件敏感，在观测数据数量不足或传感器与目标之间存在非视距等条件下容易发散，难以获得全局解。所以，本文采用蒙特卡洛重要性采样算法获得极大似然函数的近似全局解。

(8)

式中，λ是一个趋于无穷大的常数。根据Pincus定理，得到式(4)的全局解：

(9)

定义函数g(t)为：

(10)

g(t)作为概率密度函数，具有概率密度函数的所有性质，将目标位置t看作随机向量，将式(9)写为：

例文(16)中，‘(饼干)’和‘(饮料)’的受事宾语没有提及，因此对于句子意思而言就产生了歧义现象。如果改为‘’，这样的句子意思就是‘老师给了我两个饼干，和两瓶饮料。’本句话就不存在歧义现象。但文章若是‘’的话，受事宾语是‘我们’，这时本句话就可以解释为以下三种含义。

(11)

式(11)中的积分难以计算，但可以用蒙特卡洛重要性采样算法对其进行近似计算。蒙特卡洛重要性采样算法就是从一定的概率分布中获取大量样本，用于计算函数在样本概率分布上的期望。假设概率密度函数g(x)的随机向量为x，则x的期望为：

(12)

积分项xg(x)一般都比较复杂，难以用解析的方法求解，但可以从g(x)中采样得到近似解[8]，若xi(i=1,2,…,N)是从g(x)采样得到的样本，则x的期望可以用平均值近似表示为：

(13)

由式(13)计算得到的平均值是对式(12)计算得到的期望的无偏估计，根据大数定理，当N足够大时，两者结果非常接近，这样就把一个复杂的积分问题转化为一个简单的求平均值的问题。在实际应用中，实际概率分布g(t)比较复杂，不易直接从实际概率分布进行采样，可以引入与实际概率分布g(t)的定义域相同的概率分布q(t)，称为提议分布，使得：

(14)

(15)

(16)

(17)

不需要计算式(10)的分母，因为它是一个常数，并且在式(16)的计算过程中会约分消除。但是，g(t)的分子是指数的，可能产生很小的值，为了解决这一问题，使用ω′(tm)替换ω(tm)，写为：

(18)

计算权重时，如何选择λ的值是一个问题。通过式(8)可以得知，当λ→∞时，全局解达到最优，但在实际应用中，可以将λ设置为足够大的值[10]。

3 仿真结果及分析

图2 传感器与目标位置

3.1 噪声标准差对算法性能的影响

实验场景如图2所示，目标真实位置和20个方位角传感器位置随机分布，传感器的测量角度受到零均值独立同分布的高斯噪声影响，噪声标准差从π/180增加到8π/180，即1°～8°。

不同方位角噪声标准差的情况下，PLE，MLE，MCIS和CRLB的RMSE如图3所示。从图3可以看出，随着噪声标准差的增加，PLE算法的RMSE与CRLB之间的差距越来越大，而MLE和MCIS的RMSE曲线始终与CRLB几乎重合。PLE，MLE和MCIS的偏差如图4所示。从图4可以看出，MLE和MCIS的偏差几乎相同且很小，而PLE算法的偏差随着噪声标准差增加而增加。综上，MCIS算法和MLE算法在该场景中可以保证良好的性能，而PLE算法性能下降明显。该场景随机产生的目标位置及传感器也保证了MCIS算法具有良好的鲁棒性。

图3 不同噪声标准差下的RMSE

图4 不同噪声标准差下的偏差

3.2 传感器整体到目标距离对算法性能的影响

图5 传感器及不同目标位置

实验场景如图5所示，20个方位角传感器线性排列，传感器测量值受到的高斯噪声标准差为4°，在线性排列的传感器的右上方设置5个不同的目标位置，坐标分别为[50,50],[60,60],[70,70],[80,80],[90,90]。传感器到目标位置不同距离的情况下，PLE，MLE，MCIS和CRLB的RMSE如图6所示。从图6可以看出，当传感器到目标位置的距离不断增加时，MLE和MCIS的RMSE与CRLB非常接近，而PLE算法的RMSE越来越大。PLE，MLE和MCIS的偏差如图7所示，PLE算法偏差随着距离的增加而增加，而MLE和MCIS的偏差很小且几乎相同。综上，MCIS算法一直保持着和MLE算法相同的性能，达到预期结果，PLE算法性能依旧不理想。

图6 不同目标位置下的RMSE

图7 不同目标位置下的偏差

3.3 传感器数量对算法性能的影响

为了验证传感器数量对算法性能的影响，传感器位置如图2随机排列，数量从12个依次增加到28个，每次增加4个传感器，传感器测量值受到的高斯噪声标准差为4°，目标位置设定为[60,60]。在不同数量传感器的情况下，PLE，MLE，MCIS和CRLB的RMSE如图8所示，当传感器数量不断增加时，MLE和MCIS的RMSE不断减小，同样也很接近CRLB，PLE的RMSE并没有随着量测数据的增加而减小。PLE，MLE和MCIS的偏差如图9所示，PLE算法的偏差随着传感器数量不断增加并没有减小，而MLE和MCIS的偏差随着传感器数量增加而减小。综上，在增加传感器的情况下，MCIS和MLE的性能得到了明显改善，并且这两种算法性能几乎相同，而PLE算法改善不明显。

图8 不同传感器数量下的RMSE

图9 不同传感器数量下的偏差

4 结束语

本文提出一种基于蒙特卡洛重要性采样的纯方位定位算法。算法不需要使用迭代方法计算，其性能与MLE算法相同，进一步提高了定位算法的可靠性，具有适用性广，容易实现等优点。但是，算法仅适用于高斯噪声环境，下一步将在Alpha稳定分布噪声环境下展开进一步研究。