基于重新参数化技术的新Cusa-Huygens不等式

陈小雕，姜霓裳

(1.杭州电子科技大学计算机学院，浙江 杭州 310018；2.杭州电子科技大学理学院，浙江 杭州 310018)

0 引 言

不等式的估算及其证明在通信等领域有着较为广泛的应用。对Cusa-Huygens不等式的研究引起学者们广泛的兴趣，包括逼近函数采用由cos(x)和sin(x)组成的有理形式的函数[1-5]，或采用由sin(x)和tan(x)组成的非有理形式的函数[6-12]。逼近函数形式越简单、逼近误差越小，对应不等式得到的应用更好更广泛。Cusa-Huygens不等式研究方面，大部分集中在逼近误差或逼近阶的改进[13-16]。相当条件下，对应不等式的误差越小，越有可能得到更好更广泛的应用。为了进一步改善逼近误差或提高逼近效率，本文讨论了结合Padé逼近和重新参数化技术的方法，在相当条件下可以获取比已有方法更小的逼近误差。

1 Cusa-Huygens不等式及改进

2018年，Zhu[15]提出更正后的Frame不等式：

(1)

2019年，Zhu[16]发表了具有上下边界条件的不等式，即对于∀0

(2)

(3)

式中，常数m1≈92.964,m2≈899.040。

本文结合Padé逼近与重参数化方法的思路，采用Padé逼近技术，将式(1)—式(3)中的边界函数一般化，得到以下的函数形式：

令

可得δ(0)=δ″(0)=0。求解下列2个约束方程

δ′(0)=δ(3)(0)=0

(4)

可以得到a=3,b=2，即式(1)中的f1(x)。

令

易得δ1(0)=δ1″(0)=0，通过解约束式(4)，得到a=6,b=2，即

通过求解

(5)

2 主要结论

记函数R1(x),Ri(x),α1(t),α2(t)，

(6)

α1(t)=7cos3(t)+294cos(t)+644

(7)

α2(t)=2cos4(t)+4cos3(t)+81cos2(t)+448cos(t)+410

(8)

为方便说明，令

其中s0是方程s3+2s2+92s-32=0在[0,1]上的实根。

由式(6)—式(8)，可得：

(9)

同时可以验证得到

(10)

将文献[16]的引理2和引理3综合成如下引理。

引理1[16]对于t∈(0,π]，函数

引理2下列不等式成立

(11)

从式(11)可得，R4(t)在区间(0,t1]单调递增，即∀0R4(0)=0。同理，R4(t)在区间(t1,π/2]单调递减，且有R4(π/2)<0,R4(t1)>0。因此引理2得证。

引理3在区间(0,π/2]内存在唯一解t1，使得

(12)

另一方面，由于α2(t)>0,(0

于是，得到本文的主要结论。

定理1对于x∈(0,π]，存在下列不等式

(13)

证明令x=2t，易得

(14)

将引理1和式(14)联立，可以得到

(15)

由式(14)和式(15)，可以直接得到定理1中的不等式(13)，定理1得证。

定理2对于x∈(0,π]，存在下列不等式

(16)

证明结合引理2和引理3，通过数值计算可以得到

式(2)和式(3)中，f1(x)和F1(x)为研究人员得到的逼近结果，式(13)和式(16)中f2(x)和F2(x)为基于本文结合Padé逼近与重参数化方法的思路得到的逼近结果。理论上，Padé逼近更方便确定逼近函数的表达式；而重新参数化技术可进一步提高对应的逼近阶，得到更好的逼近效果。根据式(2)和式(3)、式(13)和式(16)分别绘制x-fi(x)和x-Fi(x)的误差曲线如图1所示，其中i=1,2。从图1可以看出，图1(b)取得了更好的逼近效果。

图1 采用不同方法得到的误差曲线

图2 x-φ(x,k)不同的k对应的误差曲线

3 结束语

本文讨论了Cusa-Huygens不等式，并对其进行了改进。重新参数化技术可以调整函数的导数，使得逼近函数满足预定的导数，从而提高相应的逼近阶，获取更好的逼近效果。后续将使用其他单调递增函数作为新的重新参数化函数。本文思路可望被应用到更多类型的三角函数不等式中，以获取更多包围盒更为紧凑的新不等式。