基于能量法的斜坡中楔形基桩屈曲稳定性分析

张 锐， 李传勋， 金丹丹

(江苏大学 土木工程与力学学院， 江苏 镇江 212013)

我国山地(包括丘陵和山原)约占全国土地总面积的三分之二.随着国家基础建设的不断推进，将会有越来越多的民用建筑、路桥的基桩建在斜坡之上.斜坡中基桩将受到非对称桩土作用、坡体下滑力等因素的影响，其屈曲稳定性问题将与平原地区呈现明显差异.同时，20世纪70年代出现的楔形桩与传统的等截面桩相比，在相同工况下楔形桩单位体积承载力会提高0.5～2.5倍，造价降低40%～60%[1].

关于等截面基桩的屈曲稳定性分析方面的研究已经有不少的报道.文献[2]采用能量法对部分入土桩的屈曲稳定性进行了理论分析.文献[3]利用无量纲解析法对完全和部分埋置入土桩进行了稳定性分析.文献[4]利用有限元方法对含有缺陷的细长桩进行了非线性稳定性研究.文献[5]提出了高承台嵌岩灌注桩屈曲稳定性分析的能量法统一解.文献[6]基于能量法得出了超长桩屈曲荷载表达式.文献[7-8]基于能量法进行了山区陡坡段基桩屈曲稳定性研究，获得了陡坡段桥梁基桩屈曲临界荷载和稳定计算长度，并进行了陡坡段桥梁基桩屈曲稳定性影响因素分析.文献[9]根据相似理论，进行了斜坡基桩竖向承载室内模型试验，获得了基桩屈曲临界荷载理论计算公式及拟合公式.文献[10]采用能量法对超长桩屈曲稳定性影响因素进行了系统分析.

但是，有关斜坡中楔形桩的工程设计目前并无设计规范可参考，故深入探讨斜坡楔形桩的屈曲稳定性具有重要的理论和实际意义.目前关于楔形桩的屈曲稳定性已有专家开始探究.文献[11]采用极限平衡理论进行了楔形桩承载能力的研究.文献[12]对扩底楔形桩抗压承载力进行了理论与试验研究，该理论方法同样适用于普通楔形桩.文献[13]采用尖点理论进行了楔形桩屈曲稳定性分析，结果表明桩身自重、楔形锥角对楔形桩屈曲稳定性有一定的影响.文献[14]利用模型试验将楔形桩与等直径桩的竖向承载力特性进行了对比.文献[15]对3种工况下的扩底楔形桩承载特性进行了模型试验研究.

以上对楔形桩的屈曲稳定性分析均未考虑斜坡地基对楔形基桩的影响，目前鲜见对斜坡中的楔形基桩屈曲稳定性问题的研究报道.为此，笔者基于Rayleigh-Ritz法和最小势能原理，同时考虑桩侧土体摩阻力势能和桩后土体滑坡推力的荷载势能，建立完整的桩土体系的总势能方程，对斜坡楔形基桩进行屈曲稳定性分析.最后进一步讨论坡角、桩后土体滑坡推力分布、桩身埋置率、桩侧摩阻力和桩身嵌固率对斜坡楔形基桩屈曲稳定性的影响.

1 计算模型及基本假定

假设楔形桩的桩身总长为L.根据斜坡基桩受力特性，将桩身的总长L分成嵌固段l1、斜坡效应影响段l2以及自由段l，则L=l1+l2+l.桩顶竖向荷载为p.桩的入土深度为h，h=l1+l2.坐标原点O为楔形桩桩底中心.斜坡楔形桩屈曲稳定性分析的简化计算模型如图1所示，图中α为斜坡坡角，θ为楔形桩的楔形锥角，d0为桩底端直径，Q(x)为桩后滑坡推力，其分布和取值与桩后土体滑坡推力分布性质有关[16]，τ为桩土间极限摩阻力.

图1 斜坡楔形桩屈曲稳定性简化分析模型

楔形桩底部为固定约束端，桩顶为自由端，桩身入土段桩截面尺寸沿轴向呈线性变化.取影响段长度l2=4d′tanα[9]，d′为与楔形桩相等体积的等截面桩直径，其表达式见文献[13].

在计算过程中，有如下基本假定：

1) 桩土间极限摩阻力τ为常量，且由于楔形桩的锥角θ较小(约5°)，因此忽略桩土间水平摩阻力分量.

2) 桩身埋置深度h范围内桩侧土水平弹性抗力q(x,y)呈非线性分布，根据文献[9]的研究成果，其表达式为

(1)

式中：m为桩侧水平土抗力比例系数；b0为桩身计算宽度.对圆形桩，b0=0.9(1.5d+0.5)时，d<1.0 m；b0=0.9(d+1)时，d≥1.0 m.d为桩身直径，表达式为

(2)

式中：a0为桩径变化率，a0=2tanθ.

3) 桩后土体滑坡推力Q(x)采用文献[16]建议的分布函数表示式，其广义表达式为

Q(x)=a1x2+b1x+c1，

(3)

式中：a1、b1和c1为与滑坡推力Q(x)有关的待定参数.桩后土体滑坡推力的分布形态与土体性质等因素有关.

2 屈曲临界荷载求解

2.1 桩身挠屈位移函数的建立

根据图1所示的边界条件，建立桩顶自由段，那么桩底端嵌固楔形桩挠曲位移函数公式[8,13]为

3.1在总调查人数中调查数据表明:有献血经历的人数仅占总调查人数的4.7%;其中从年龄段显示,≥18岁~30岁的2.2%、31~40岁占1.8%、41~50岁占0.7%、50以上的为0。从文化程度显示,小学及以下文化程度的占1.9%、初中及以上的占2.8%;对无偿献血知识知晓率为25.3%;知道定期献血可以促进新陈代谢、降低血脂、对健康有利的等好处的占8.5%;认为献血对身体无影响为14.1%;了解血液知识的为8.8%;对无偿献血相关政策有初步了解的为7.7%。

(4)

式中：n为挠曲位移函数的半波数；Cn为待定常数项.在桩土体系小变形假设下，取n=1，此时桩身挠曲位移函数公式[13]可写成：

(5)

由式(5)可得桩身挠曲位移函数的一阶、二阶导数分别为

(6)

(7)

2.2 Rayleigh-Ritz法求解

建立桩土体系的总势能方程，即

Π=UP+US+VQ+Vp+VG+Wf，

(8)

式中：Π是桩土体系的总势能；UP为桩身弯曲应变能；US为桩侧土体弹性变形能；VQ为桩后土体滑坡推力荷载势能；Vp为桩顶荷载势能；VG为桩身自重荷载势能；Wf为桩身埋入土体段桩侧摩阻力荷载势能.代入式(5)-(7)，得到各势能分项公式.将各势能分项公式代入式(8)，则桩土体系的总势能方程可写成如下形式：

(9)

式中：E为楔形基桩桩身材料的弹性模量；γ为桩身材料重度；AP、BS、CQ、DG和Ef为积分表达式的简化形式.

根据势能驻值原理有∂Π/∂C=0.将式(9)代入，可得楔形桩屈曲临界荷载pcr为

(10)

3 解的退化验证

(11)

令桩径变化率a0和斜坡坡角α都等于0，桩侧土水平弹性抗力q(x,y)采用经典m法的公式进行计算，即q(x,y)=mb0(h-x)y，其中m为桩侧水平土抗力比例系数.同时忽略桩土间极限摩阻力τ的影响，可得到平地楔形桩屈曲临界荷载pcr的表达式如下：

(12)

式(12)与文献[13]推导得出的等截面楔形桩临界屈曲荷载的表达式相同.

4 算例及影响因素分析

某斜坡楔形桩的桩身混凝土强度等级为C25.假设边坡材料为软塑状黏性土，桩身埋置率h/L取为0.6，坡角α取为30°.桩底端直径d0取值1.0 m，桩身材料的弹性模量E取值2.38×104MPa，桩身材料重度γ取值25 kNm-3，桩侧水平土抗力比例系数m取值5.0 MNm-4，土体极限摩阻力τ取值20 kPa.桩后土体滑坡推力Q(x)假设为三角形分布，桩后土体滑坡推力Q取为80 kN·m-1.

4.1 楔形桩与等截面桩的屈曲临界荷载差异分析

图2显示了楔形桩在不同的桩径变化率a0条件下，基桩屈曲临界荷载随桩长变化的曲线，图中桩径变化率a0=0时表示等截面桩.

图2 不同桩径变化率下楔形桩pcr-L曲线

由图2可以看出：桩底端直径不变时，与等截面桩相比，在相同桩长条件下，不同桩径变化率下的斜坡楔形桩的临界屈曲荷载均有了不同程度的变化；桩径变化率越大，桩身屈曲临界荷载增加的幅度也随之增大；桩长不超过15 m时，由于嵌固段长度较低，桩身屈曲临界荷载增加的幅度较小；随着桩长的增加，桩身嵌固段长度有所增大，桩身屈曲临界荷载增加的幅度亦变大.

4.2 坡角的影响

分别取坡角α为0°、10°、20°、30°、40°、50°和60°，讨论了坡角变化对不同长度楔形桩屈曲临界荷载的影响.图3显示了楔形桩在不同坡角条件下屈曲临界荷载随桩长变化的曲线.由图3可以看出：与平地(α=0°)楔形桩相比，坐落于斜坡之上的楔形桩的屈曲临界荷载有所降低，降低的幅度与桩长呈非线性正比例关系；斜坡的坡角为10°～20°时，与平地(α=0°)楔形桩相比，楔形基桩屈曲临界荷载的降低幅度较小；对于坡角达到60°的陡坡，与平地(α=0°)楔形桩相比，基桩屈曲临界荷载降低的幅度较大；当桩长大于15 m时，与平地(α=0°)楔形桩相比，坐落于斜坡之上的楔形基桩的屈曲临界荷载降低50%以上.

图3 不同坡角下楔形桩pcr-L曲线

4.3 土体滑坡推力分布的影响

根据文献[16]列出的土体滑坡推力分布函数表，改变土体滑坡推力的分布形式，分别采用抛物线分布、线性分布、梯形分布、三角形分布以及不考虑桩后土体滑坡推力的情况，分析了土体滑坡推力大小和分布形式对基桩屈曲临界荷载的影响.表1列出了在改变土体滑坡推力大小的情况下的楔形桩屈曲临界荷载随桩长变化的情况，其中桩后土体滑坡推力形式采用抛物线分布形式.表2列出了桩后土体滑坡推力Q取值80 kN·m-1时，在不同土体滑坡推力分布形式下的楔形桩屈曲临界荷载随桩长变化的情况.

表1 不同土体滑坡推力下屈曲临界荷载变化情况 MN

由表1和表2可以看出：与无滑坡推力相比，考虑桩后土体滑坡推力分布形式以及增加桩后土体滑坡推力后，桩身的屈曲临界荷载有所降低，但是降低的幅度极小.桩后土体在不同滑坡推力作用及其分布形式下，楔形桩的屈曲临界荷载变化幅度也很小.因此，在斜坡楔形桩屈曲稳定性分析中，桩后土体滑坡推力大小和分布形式对基桩屈曲临界荷载影响很小，即桩后土体滑坡推力不是导致基桩屈曲失稳的主要原因，可以忽略不计.

表2 不同土体滑坡推力分布形式下屈曲临界荷载变化情况 MN

4.4 桩身埋置率的影响

分别取桩身埋置率h/L为0.15、0.30、0.40、0.50、0.60、0.70和0.80，讨论了不同的桩身埋置率对斜坡楔形桩屈曲临界荷载的影响.图4显示了在不同桩身埋置率条件下，楔形桩屈曲临界荷载随桩长变化的曲线.

图4 不同桩身埋置率下屈曲临界荷载随桩长变化的曲线

由图4可以看出：当楔形桩桩身埋置率大小为0.15时，随着桩长的增加，桩身的屈曲临界荷载逐渐减小，此时，桩身屈曲临界点位于自由段；当楔形桩桩身埋置率大小从0.30增加到0.50时，桩身的屈曲临界荷载先减小后增大，存在一个最不利的桩长，桩身屈曲荷载临界点也从自由段逐渐过渡到影响段；当楔形桩桩身埋置率大小超过0.60时，桩身的屈曲临界荷载随着桩长的增加而增加.由此可见，对于斜坡楔形桩而言，楔形桩桩身的埋置率最佳值为0.60.

4.5 桩侧摩阻力的影响

分别取桩土间极限摩阻力τ为0、30和60 kPa，楔形桩桩身埋置率取值为0.80时，讨论了桩侧与土间的极限摩阻力对桩身的屈曲临界荷载的影响.表3显示了不同桩侧土极限摩阻力条件下楔形桩屈曲临界荷载的变化情况.

表3 不同极限摩阻力下屈曲临界荷载变化 MN

由表3可以看出，考虑了楔形桩的桩侧土极限摩阻力的影响后，基桩屈曲临界荷载均有所增加.这主要是由于楔形桩的特殊构造所致，楔形构造使得桩土的结构性能得到了更加充分的发挥和利用.但是桩侧土极限摩阻力对桩屈曲临界荷载提高的幅度有限.因此，桩侧土极限摩阻力对基桩屈曲临界荷载的影响亦可忽略.

4.6 桩身嵌固率的影响

对上述不同长度的楔形桩，通过提高桩身嵌固率l1/L，分析了桩身嵌固率对斜坡楔形桩屈曲临界荷载的影响.图5显示了在不同楔形桩桩身长度的条件下，斜坡楔形桩屈曲临界荷载随桩身嵌固率的变化曲线.

图5 不同桩身长度下屈曲临界荷载随嵌固率变化的曲线

由图5可以看出：坐落于斜坡之上的楔形基桩屈曲临界荷载随着桩身嵌固率的增加而增大，即适当增加桩身嵌固段长度，有助于提高斜坡楔形基桩屈曲临界荷载；坐落于斜坡之上的楔形基桩屈曲临界荷载增加的幅度随着嵌固率的增加而降低；当桩身嵌固率达到一定值后，斜坡楔形基桩的屈曲临界荷载的变化会逐渐趋于平缓，即存在一个临界嵌固深度[8]；短桩的屈曲临界荷载曲线更早趋于平缓.

5 结 论

1) 与等截面桩相比，桩端直径不变时，不同桩径变化率下的斜坡楔形桩的临界屈曲荷载均有了不同程度的增加.

2) 与平地楔形桩相比，斜坡楔形桩屈曲临界荷载有所降低，降低的幅度随桩长的增大呈非线性正比例变化.

3) 桩身埋置率低于0.30时，随着桩长的增加，斜坡楔形桩身的屈曲临界荷载逐渐减小.桩身埋置率介于0.30到0.50之间时，随着桩长的增加，斜坡楔形基桩的屈曲临界荷载先减小后增大，存在一个最不利的桩长.桩身埋置率超过0.60时，斜坡楔形桩身的屈曲临界荷载随着桩长的增加而增加.

4) 斜坡楔形基桩的屈曲临界荷载随着桩身嵌固率的增加而增大.但是，当桩身嵌固率达到一定值后，斜坡楔形基桩的屈曲临界荷载变化会逐渐趋于平缓.短桩的屈曲临界荷载曲线更早趋于平缓.桩侧土极限摩阻力、桩后土体滑坡推力的大小及其分布形式对斜坡楔形基桩的屈曲临界荷载影响很小，可以忽略不计.