让小学生在“做”中建立数学概念

周娴

【摘要】除法是小学数学的基本概念，有“等分除”和“包含除”两种情形。部分学生在最初学习除法的概念时，往往分不清二者的区别，导致对除法概念理解不透、掌握不牢，使得“等分除”和“包含除”成为小学低学段学生学习中感觉比较困惑的内容。通过收集整理和分析学生在学习除法概念时出现的问题，我们发现解决问题的关键在于让学生动手操作，经历“动作表征——映像表征——符号表征”的完整学习过程，在“做”中建立数学概念。

【关键词】小学数学;除法;等分除;包含除

除法是小学数学的基本概念，也是小学生要掌握的基本技能。学生只有清楚掌握除法的含义，才能运用除法这一数学概念去解决实际生活中出现的算法问题。除法是小学数学二年级下册的教学重点内容。由于年龄特点、认知水平、思维特征等原因，学生在学习过程中容易出现一些问题。笔者在教学中注意到有这样一道题，学生普遍出现了分歧意见：

“18÷3表示将18平均分成（）份，每份是（）;还能表示18里面有（）个（）。”第一个含义，学生很容易理解，明确是等分除。第二个含义则对18里面包含（6）个（3）还是（3）个（6）感到模糊。根据乘法意义，学生认为这两个答案都可以。

出现以上问题，关键在于学生没有真正掌握“等分除”和“包含除”这两种不同的含义，从而导致不能清楚区分“等分除”和“包含除”这两种不同的情形。如果不及时厘清概念，遇到较复杂的乘除法应用题时更会无从下手。

就这道题而言，笔者认为，从“还”这个字上可以看出，题目要考察的是学生能否理解除法的两种不同含义，掌握平均分的两种不同的情形。因此，前面可以理解为“等分除”，后面则应理解为“包含除”，从而明确答案应该为18里面包含6个3。

一、教材内容呈现

1.等分除法（二下人教版教材P13）

例题：把12个竹笋平均放在4个盘里，每盘放几个？

算式：12（个）÷4（盘）= 3（个）

含义：把12个竹笋平均分成4份，求每份是几个？

概念：已知把一个数平均分成几份，求每份是多少。

2.包含除法（二下人教版教材P14）

例题：20个竹笋，每4个放一盘，能放几盘？

算式：20（个）÷4（个）= 5（盘）

含义：每份是4个，求20个里面包含几个4？

概念：已知每份是多少，求可以分成几份。

二、教学探索详解

除法含义的教学是建立在“平均分”的学习基础上。教材教授平均分的概念时用了这样的例子：“把18个橘子平均分成6份，每份几个？分一分”和“8个果冻，每2个一份，能分成几份？分一分”。然后“做一做”练习对应如下：

1.把10盒酸奶平均分成2份，每份（）盒。

2.摆一摆，填一填

（1）12根小棒，每2根一份，能分成（）份。

（2）12根小棒，每6根一份，能分成（）份。

3.圈一圈，填一填

16个杯子，每2个装一盒，可以装（）盒。

每4个装一盒，可以装（）盒。

每6个装一盒，可以装（）盒。

从中我们可以看出，以上多个例题和练习的设计都注重“分一分”“摆一摆”“填一填”“圈一圈”的操作活动。之后，教师普遍会再增加“说一说”环节。练习过程中，教师要引导学生明确平均分的操作过程存在着两种不同的情形，由于两种不同情形的平均分的操作过程不同、思考方式不同，相应的除法算式的具体含义也就不同，这就有了“等分除”与“包含除”的不同。因此，教学中，要让学生充分经历平均分的操作过程并形成相应的思考方式，还要让学生在关注平均分的结果的过程中充分感知平均分的两种不同情形及其共性，就是不论分得的结果是几份，平均分得的每一份是同樣多的。

所以，在教学“平均分”的概念时，为了让学生巩固认识“等分”与“包含”这两种不同的平均分情况，教师就应该重视动作表征、图像表征以及语言表征的转化，应当让学生充分开展直观操作活动，通过画一画、圈一圈、摆一摆等活动积累经验，形成“动作表征”。同时，教师需要注意引导学生认真观察操作活动的过程和结果，建立表象，逐步内化，形成“图像表征”，最后用语言表述“分什么”“怎么分”“分的结果”，明确“等分”和“包含”都是平均分，只是因为分的方式不同而表示了两种不同的含义。

比如，学生遇到困惑的这道题，笔者就用摆圆片并圈一圈、说一说的活动来帮助学生加深理解这道除法算式的含义。

18÷3表示将18平均分成3份，每份是6个。

18÷3表示每3个一份，可以分6份。

学生从中体会到，同一个除法算式可以表示两种含义，一个是等分除法，另一个是包含除法。

然后，笔者又给出两道选择题让学生再次加深巩固和辨析区分概念：

（1）求20里面有几个4，列式为（   ）。

① 4×5   ② 20÷5   ③ 20÷4

（2）表示把6个Δ平均分成2份，求每份是几的图是（    ）。

完成以上练习后，可以尝试完成下面这道更开放的题目，以调动学生学习的积极性，并提升学生的思维能力。

教师可以让学生根据自己对算式的理解，先明确是“等分除”还是“包含除”，然后说一说算式的含义，以及“怎么分”“分的结果”，最后再确定圈几个为1份。比如，10÷2=5可以表示将10个海螺平均分成2份，每份是5个，那么圈5个为一份，圈2份，这是等分除;还可以理解为把10个海螺每2个一份，可以分5份，那么每2个圈为一份，圈5份，这就是包含除。

如此，由抽象的算式到直观的画图，通过操作性学习体验，使学生获得认知，符合学生的认知发展规律。