多维视角解三角形高考试题

叶玉兰

解三角形作为近几年高考的热点题型，通常考查学生运用正弦定理，余弦定理求解三角形的边，角，周长，面积和最值问题。本文以一道高考题为例，多视角剖析解三角形的求解策略，提出解后思考促进教与学的工作。

一、真题呈现

（2021·全国高考真题）记△ABC是内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知b²=ac，点D在边AC上，BDsin∠ABC=asinC.

（1）证明：BD=b;（2）若AD=2DC，求cos∠ABC.

二、总体分析

这道题满分12分，广东省平均分约为4.8分，约有85%的同学没能从（2）问得分。这道题（1）问是证明，考查正弦定理的边角互化的功能，体现等量代换的数学思想。（2）问是在斜三角形的背景下求角的问题，可以从常规视角运用正弦定理，余弦定理的工具，建立边或者角的方程求解;可以联系初中平面几何的相似三角形进行求解;可以从向量的角度分析求解;也可以从坐标法出发分析求解;部分学生还使用施特瓦尔特定理进行求解，这里不作详细介绍。由此可见，这个题入手低，思路多是高三复习的一道经典好题。

三、解法探究

下面第（2）问从多个视角体会设计者的独到匠心。

视角1：常规视角

在多个三角形背景下求解cos∠ABC，可以直接求出a，b，c的值或者找到a，b，c的两个等量关系进行消元进行求解，题目的条件b²=ac可得一等量关系式而另外一个等量关系式如何寻找？可以通过多个三角形的角度互补，互余或者相等关系运用正弦定理或余弦定理建立。

评注：构造相似三角形，通过角度关系得到余弦定理的等量关系符合学生学习的就近发展区，培养学生综合运用知识的能力。

四、解后反思

高三的备考，时间紧，任务重，所以用好高考题，挖掘其育人價值，体会高考命题立意是高考备考的捷径。本文从多个视角对一道高考题进行分析，既能让学生从常规视角掌握通性通法也能从不常规视角拓宽学生的视野，沟通解三角形和向量，平面几何，解析几何等知识的联系，培养其转化和化归，数形几何，方程的数学思想，落实学生数学运算，逻辑推理，直观想象等核心素养。