细加分析获本质 善用变化拓思路

曹森林

[原題再现]

例（2020·山东·泰安）若△ABC和△AED均为等腰三角形，且∠BAC = ∠EAD = 90°.

（1）如图1，点B是DE的中点，判断四边形BEAC的形状，并说明理由.

（2）如图2，若点G是EC的中点，连接GB并延长至点F，使CF = CD. 求证：①EB = DC;②∠EBG = ∠F.

[图1][图2]

[考点剖析]

1.知识点：等腰直角三角形的性质、三角形全等的条件与性质、平行四边形的判定方法.

2.思想方法：转化思想.

3.解题策略：寻找全等三角形、倍长中线等.

4.基本模型：手拉手模型、8字型全等模型、中点模型.

[学情分析]

（1）问考查平行四边形的判定方法.平行四边形的判定方法有五种：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形;两组对边分别相等的四边形是平行四边形;两组对边分别平行的四边形是平行四边形;两组对角分别相等的四边形是平行四边形;对角线互相平分的四边形是平行四边形.结合题意并抓住题目中的几何要素，方能合理选择判定方法.

解：（1）四边形BEAC是平行四边形.（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）

理由：∵△EAD为等腰三角形，且∠EAD = 90°，∴∠E = 45°.

∵B是DE的中点，∴AB⊥DE. ∴∠BAE = 45°.

∵△ABC为等腰三角形，且∠BAC = 90°，∴∠CBA = 45°，∴∠BAE = ∠CBA.∴BC[?]EA.

∵AB⊥DE，∴∠EBA = 90°， ∴∠BAC = ∠EBA = 90°.

∴BE[?]AC. ∴四边形BEAC是平行四边形.

（2）问中第一小问要证明线段EB = DC的方法较多，根据题目中两个等腰直角三角形提供的信息，结合边角关系寻找全等来解决问题比较合理;第二小问要证∠EBG = ∠F，合理处理中点信息很关键，可借助倍长中线的策略转移等价线段.

解：①∵△AED和△ABC为等腰三角形，∴AE = AD，AB = AC.

∵∠EAD = ∠BAC = 90°，

∴∠EAD+∠DAB = ∠BAC+∠DAB，即∠EAB = ∠DAC，

∴△AEB ≌ △ADC，∴EB = DC.

②延长FG至点H，使GH = FG，如图3，

∵G是EC的中点，∴EG = CG.

∵∠EGH = ∠FGC，∴△EHG ≌ △CFG，∴∠H = ∠F，EH = CF.

∵CD = CF，∴BE = CF，∴BE = EH，∴∠EBG = ∠H，∴∠EBG = ∠F.

[变式应用]

变式1：如图4，若△ABC和△AED均为等腰三角形，且∠BAC = ∠EAD = 90°，将△ABC绕点A逆时针旋转一个角度α（0° < α < 180°），延长DC交BE于P，求证：DP⊥BE.

解析：先证△AEB ≌ △ADC，可得∠EAB = ∠DAC.结合三角形内角和定理判断∠EPD = ∠DAE = 90°.

变式2：如图5，若△ABC和△AED均为等腰三角形，且∠BAC = ∠EAD = 90°，AM⊥EC，反向延长AM交BD于点N，求证：BN = DN，EC = 2AN.

解析：如图6，延长AN，过B，D分别作AP的垂线，垂足分别为Q，P.

可证△AME ≌ △DPA，△AMC ≌ △BQA（AAS），则ME = PA，MC = QA，AM = DP，AM = BQ.

则DP = BQ，可证△BQN ≌ △DPN（AAS）， 所以BN = DN.

于是EC = EM + MC = AP + AQ = AQ + 2QN + AQ = 2（AQ + QN） = 2AN.

[A][B][P][E][C][D][图4][D][N][B][C][M][E][A][图5][A][C][M][E][B][Q][P][N][图6][D]

变式3：（2020·贵州·黔东南·改编）△ABC和△DCE都是等边三角形，

（1）如图7，若B，C，E三点不在一条直线上，∠ADC = 30°，AD = 3，CD = 2，求BD的长.

（2）如图8，若B，C，E三点在一条直线上，且△ABC和△DCE的边长分别为1和2，求AD.

解析：（1）依据“SAS”可证△ACE ≌ △BCD，

由BD = AE，利用勾股定理，在Rt△ADE中，AD = 3，DE = 2，

∴AE [=AD2+DE2=9+4=13]，∴BD[ =AE=13].

（2）过A作AF⊥CD于F，如图9，

∵B，C，E三点在一条直线上，∴∠BCA + ∠ACD + ∠DCE = 180°.

∵△ABC和△DCE都是等边三角形，∴∠BCA = ∠DCE = 60°，∴∠ACD = 60°.

∴在Rt△ACF中，CF = [12]，AF = [32]，∴FD = CD - CF = [32]，

在Rt△AFD中，由勾股定理可得[AD2=3]，所以AD = [3].

[图7] [A][D][P][C][B][E][图9] [E][F][C][B][A][D] [D][A][B][C][E][图8]

[勤于积累]

模型积累：手拉手，找全等

模型展示：如图10，△ABC，△ADE均为等腰三角形，AB = AC，AD = AE，∠BAC = ∠DAE.

模型结论：连接BD，CE，则△BAD ≌ △CAE.

[图10][B][C][D][A][E][②][B][E][C][A][D][①][B][E][A][C][D][③]

模型解读：（1）这个图形是由两个共顶点等腰三角形构成的，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形;

（2）把小等腰三角形的腰长看作小手，大等腰三角形的腰长看作大手，这个模型类似于大手拉小手，常与旋转结合出现在中考试题中.

方法归纳：（1）中点问题四大处理策略：

①倍长中线，构造全等三角形，目的是对已知条件中的线段（角）关系进行转移;

②等腰三角形底边中点出现时，常利用三线合一的性质得到更多边角关系;

③已知一边中点时，构造三角形的中位线，可以解决角相等、线段倍数关系、平行等;

④直角三角形中，遇到斜边的中点，利用直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，来证明数量关系，而且得到两个等腰三角形全等.

（2）几何综合题涉及知识较多，常用解题策略如下：

①简化图形，积累模型经验，快速寻找等量关系;

②根据重要信息，合理使用常规辅助线，挖掘更多指向目标的价值信息;

③构造全等三角形，通过全等转移等量关系，寻找突破口;

④多剖析特殊图形中的线段（角）的大小，比如勾股定理的使用、线段倍数的证明等.

（作者单位：江苏省泰州市明珠实验学校）