中外《数学分析》教材对比研究

何桂添 吕慧君 唐国吉

关键词：数学分析;微积分;教材

一、绪论

牛顿和莱布尼茨在三百年前奠定了微積分学的基础。现在数学分析与代数构成了枝繁叶茂的现代数学之树的根基，使得现代数学与非数学领域一直生机勃勃。《数学分析》课程是一门面向数学类专业的基础课，数学领域以及非数学领域的许多新思想，新应用都源于这坚实的数学基础，数学分析的重要性不言而喻。在20世纪60年代后，我国开始自己编写了一些数学分析的教材，这些教材基本上是苏联教材的简化、修改。经过多年的教材改革，目前国内出版了许多优秀的数学分析教材。其中华东师大数学系主编的《数学分析》是各高校使用比较多的分析教材。

在美国微积分是最大的一门课，美国共有5785所大学，总计约1600万学生，这些学生当中约有50万人在大学第一学年要学习微积分，其中40万人来自四年制的大学。数学、自然科学、工程、医学、生物学等学科的学生都要学习微积分。本文拟通过国外使用最广泛的数学分析或微积分教材进行分析，概括国外数学分析或微积分教材的特点，并与我国教材作对比研究，探讨国外数学分析教材中值得我们学习和借鉴的地方。国内很多高校都要自己主编的《数学分析》教材，由于篇幅限制，本文主要选取华东师大数学系主编的《数学分析》教材以及复旦大学数学系主编的《数学分析》教材为主要参照对比教材。国外教材主要选择几个经典分析教材或微积分教材作为参照对比教材。如Canuto与Tabacco教授编写的英文版《数学分析》，Stewart编写的《微积分》以及俄罗斯数学家卓里奇编著的《数学分析》都可以当作微积分教材的圭臬。本文通过各个《数学分析》教材的对比分析，给出教材的特点，方便教师教学或学生自学在选取教材时做出合理的选择。

为方便叙述以及教材的直观对比，我们通过表1给出中外《数学分析》教材章节内容的安排。此外表2给出中外《数学分析》教材的一些指标，包含教材的页码数，插图数，例题数以及习题数。表2的教材的指标仅供参考，读者不必因为Stewart编写的《微积分》教材厚就以此为学习教材（由于中文表述与英文表述方式不同，教材的页码数并不能说明教材优劣之分），各个教材有各自的特点，各个教材的使用方法也不同。

二、中外《数学分析》教材编排比较

（一）与初等数学知识衔接的处理

表1是选取的五本《数学分析》的各章节内容安排。从表1可以看出，各教材的第1章基本上都考虑了初等数学知识的衔接，介绍了函数的基本概念以及实数的一些简单的基本性质。例如介绍了函数的定义，函数的单调性、奇偶性、周期性，复合函数与反函数的概念以及几个特殊的函数。华东师大编的《数学分析》（上、下册）在第一章还介绍了有界函数与无界函数的概念，集合的确界原理，另外在本章第4节增加了由三角函数的两角和（差）公式推导和差化积公式与积化和差和差化积公式以保证大学数学与中学数学内容的衔接。复旦大学编写的《数学分析》（上、下册）在第一章就讲解了隐函数的概念。数学分析I用了两章来处理与初等数学知识的衔接。数学分析（I）第一章介绍了集合的基本概念以及常见的几个集合，数学的基本逻辑概念与逻辑关系，数量词的问题，实数的序关系问题，区间的概念，分数与二项式系数的概念。数学分析I第二章则主要介绍了映射与函数的概念，包括单射、满射，逆函数，函数的单调性、奇偶性以及初等函数的概念。微积分的第0章之前有一个针对初等数学知识的诊断测试。微积分的第0章对微积分进行了简单的综述并列举了面积、切线、级数的和等微积分的问题。第1章才与其他教材类似进行函数的概念介绍，不过微积分的第1章的特色在于数学模型与建模思想的介绍。数学分析（第一卷）的第一章介绍了一些通用的数学概念与记号，本章的特色在于介绍了集合的势与基数以及公理化集合论。第二章除了介绍实数集的公理系统和一些一般性质，还用了比较多的篇幅讲解实数的完备性。

（二）教材内容的编排比较

（1）对于实数的完备性处理。《数学分析》（上册）（华东师大版）放在第七章讲解，不过华东师大版的《数学分析》在第2章就已经先证明了例题“任何数列都存在单调子列”，并得出了“致密性定理”，如此闭区间上连续函数的全部性质都可以在第4章得到证明，这样尽管实数的完备性放在第7章讲解也不太会影响第4章的闭区间上连续函数性质的证明。数学分析（上册）（华东师大版）这样编排的好处在于把抽象的实数的完备性的难度与抽象性进行适当的化解，当学生已经有了一些分析的知识，特别是对于基础中等偏下的学生可能这样更容易接受完备性。《数学分析》（上册）（复旦大学版）则将确界原理、实数的完备定理以及闭区间上的连续函数性质的证明放在第3章讲解。从内容体系上看，内容比较紧凑，在第2章将完连续函数的概念与闭区间上的连续函数性质，就需要证明闭区间上的连续函数性质，因此《数学分析》（上册）（复旦大学版）将确界原理、实数的完备定理放在第3章讲解也是挺合适的。《数学分析》（I、Ⅱ）并没有花专门的章节来讲解实数的完备性，不过在《数学分析》（I）第4章证明零点定理的时候穿插了闭区间套定理的介绍，并将零点定理通过闭区间套定理来证明。像《数学分析》（I）将实数完备性打散在各个章节介绍并使用的优点是可以将抽象和复杂问题简化教学，缺点是不便于知识点提炼。微积分严谨性比其余四本《数学分析教材》稍逊一些，比较接近国内《高等数学》教材，并没有讲解实数完备性的系列定理。数学分析（第一卷）在第2章就讲解了实数完备性定理，后续章节接着在讲解极限与函数闭区间上的连续函数性质。数学分析（第一卷）基本上是按照数学知识逻辑的先后顺序安排各章节内容。

（2）对于级数安排的处理。《数学分析》（华东师大版）是将数项级数放在下册第12章讲解，后续13章至15章接着讲解函数列与函数项级数，幂级数以及傅里叶级数。《数学分析》（复旦大学版）则在第9-11章分别讲解数项级数，反常积分以及函数项级数，这样做的目的是一些反常积分的性质与定理的证明可以通过数项级数的敛散性来证明。《数学分析》（I）第5章第4节将完数列的进一步的一些性质后接着第5章第5节介绍正项级数的概念以及一些诸如比较判别法等一些常见性质。当然系统介绍级数的内容又在《数学分析》（Ⅱ）的第1-3章讲解数项级数，函数项级数以及傅里叶级数的内容。微积分则在第11章讲解无限数列和级数，是在反常积分之后讲解。数学分析（第一卷）在第3章讲完数列的极限，紧接着在第3章第4节将数项级数的性质以及判别法，而后在数学分析（第二卷）的第16章讲解函数项级数。数学分析（第一卷）这样安排数项级数主要是因为数项级数与数列联系比较紧密。

（3）对于定积分与不定积分的先后安排顺序的处理。对于不同教材，定积分与不定积分的先后安排顺序不一樣。当然从系统微积分史来看，当然定积分先于不定积分出现。抛开微积分史，定积分与不定积分的先后安排各有各的特点。微积分在第5章中则将定积分先于不定积分安排讲解。表1中的其余教材都是先讲解不定积分再讲解定积分，这样安排的优点是可以降低定积分概念的陌生感与抽象感，再由牛顿一莱布尼茨公式可以降低定积分计算。

（4）对于重积分、曲线积分以及曲面积分的安排。《数学分析》（华东师大版）先安排含参量积分，接着第20章与第21章分别讲授曲线积分与重积分（包括三重积分），其中第21章第3节讲授格林公式。第22章讲解曲面积分包括高斯公式与斯托克斯公式。《数学分析》（复旦大学版）在第19章第一节统一介绍二重积分、三重积分，第一型曲线、曲面积分的定义，接着第20章介绍二重积分与三重积分的计算，第21章介绍曲线积分与曲面积分的计算，而在第22章介绍各种积分之间的联系（包括格林公式、高斯公式和斯托克斯公式）。《数学分析》（Ⅱ）是先讲解重积分接着讲解曲线与曲面积分，《数学分析》（Ⅱ）在第8章讲授了二重积分、三重积分以及向量值函数的积分以及多重反常积分，接着在第9章讲曲线积分与曲面积分以及通量积分，并在第9章的第5节讲授格林公式、高斯公式和斯托克斯公式。《微积分》是在第15章讲授二重积分与三重积分，并在第16章讲授线积分、面积分以及向量场积分，并在这一章讲授格林公式、高斯公式和斯托克斯公式。《数学分析》（第二卷）则在第11章讲解重积分，在第12章讲授中的曲面和微分形式，有了曲面的概念基础后，在第13章讲授曲线积分与曲面积分。

（5）对于向量函数与向量函数微积分的处理。《数学分析》（华东师大版）在下册第23章以选讲的形式讲授向量函数微分学。《数学分析》（复旦大学版则在下册以附录的形式呈现向量值函数的导数。《数学分析》（Ⅱ）在第6章讲授向量值函数的微分学。微积分在第13章讲授向量函数，而在第16章讲授向量微积分以及场论的初步知识。数学分析（第二卷）在第14章讲授向量分析的微分运算与场论的积分公式。

三、中外《数学分析》教材特点

（一）华东师大版《数学分析》

全书逻辑严密，章节内容安排符合中等水平学生等大部分学生的认知规律，通俗易懂。《数学分析》第五版保持前四版的风格，内容选取适当，深入浅出，易教易学，可读性强的特点。随着数字时代的到来，第五版相对前四版补充了丰富的数字资源，比如附上了各章的综合自测题。本书的最大特点是具有丰富例题与习题，各节习题设置了基本习题和提高习题，每章最后还设置了总练习题和各章的自测题。此外本书附上了微积分学简史（第五版以数字资源出现，第四版以附录呈现）。课本最后附录中除了给出积分表，还给出了实数理论（这也弥补了实数完备性安排在第七章的靠后性，同时附录中的实数理论是第七章实数完备性的有益补充）。本书对于后续课程会出现或者证明比较烦琐的内容作为选讲内容出现（例如定积分的近似计算，可积性理论补叙）。

（二）复旦大学版《数学分析》

本书第四版与前三版相比，概念的表述与定理的论证更清晰，读起来通顺流畅。本书与华东师大版的《数学分析》一样有电子资源比如数学分析简史。本书按照篇章安排章节内容，例如第一篇极限论分为两部分：第一部分极限初论（第一章变量和函数，第二章极限和连续），第二部分极限续论（第三章关于实数的基本定理及闭区间上连续函数性质的证明）。本书有些概念使用更高观点来叙述，例如关于黎曼可积的问题时引入零测集叙述。

（三）Canuto编写的《数学分析》

《数学分析》（I、Ⅱ）是由Canuto与Tabacco教授在意大利高等教育体系的结构和教学大纲下编写的英文版《数学分析》教材。该教材符合欧洲课程规范，深受欧洲数学专业学生和数学研究者的喜爱。估计欧洲的中学生水平接受《数学分析》还有一些困难，《数学分析》（I）前两章比较细致地讲授初等数学知识。全书介绍了一些工程、物理、计算机科学背景，同时从表2可知全书比较多例题与练习题（练习题都有比较详细的解答）。《数学分析》（I、Ⅱ）都有专门的章节讲解微分方程。全书的定义、定理以及性质的叙述严谨，论证严密。

（四）Stewart编写的《微积分》

《微积分》已经是第七版修订，深受欧美高校的理工科教师与学生的青睐。全书比较厚实，具有丰富的例题、习题以及插图，叙述由浅入深，通俗易懂。准确来讲本书比较接近国内高校的《高等数学》教材，很多观点的叙述可能要高于国内的《高等数学》教教材，叙述的严谨性可能不如其余参考文献的《数学分析》教材。本书的特点主要有以下几点：①全书与初等数学紧密连接，书本前面开始有初等数学诊断测试，后续各章节还会回顾与讲述初等数学知识点;②各知识点、概念、函数讲述详细，并尽可能配有丰富的插图;③全书采用彩色印刷（可能考虑比较多概念与重要公式和插图）;④各章节配有丰富的习题和附加题，附录中只为奇数题号的习题给出解答;⑤全书具有数学建模思想，并给出许多工程、物理、生物等实际问题的数学模型并相关论述。

（五）卓里奇著的《数学分析》（第一卷、第二卷）

《数学分析》（第一卷、第二卷）是俄罗斯数学家卓里奇著的数学专业教材，中文版本由李植翻译的。本教材已增补至第7版，作者加强了分析学、代数学和几何学等现代数学课程之间的联系。全书观点较高（部分章节由实分析、复分析，拓扑学的观点进行叙述），内容丰富新颖，所选习题也具有特色。全书分两卷出版，第一卷主要包括一元函数微分学和积分学以及多元函数微分学。在微分学中特别关注了微分在变量变化特征的局部描述中作为线性标尺的作用，在叙述积分学时，尽量用直观的材料描述黎曼积分。第二卷的头两章概括了与连续函数理论和微分学有关的结果，其叙述采用一般的不变形式，以便自然地与多元函数微分学相衔接。在介绍曲线积分与曲面积分时使用了微分形式语言，基于初等材料引入全部基本的几何概念和解析结构，然后由他们构成一系列抽象定义。第15章总结了流形上的微分形式积分理论（国内少许数学分析教材对流形上的微积分进行介绍），也是对第11章至14章的理论叙述的系统性补充。

通过上面中外教材的分析，教师可以根据学生的情况选择教材，学生也可以自身的需求选择适合自己的教材。教师可结合教材培养学生的分析问题能力、解决实际问题能力，从而达到培养创新人才和应用型人才的目的，将数学建模思想以及外国教材的优点融入课堂教学，进而达到提高课堂教学质量。