基于GP模型和无监督SVM算法的冷水机组的故障检测与诊断*

张婕妤

（山东天瑞重工有限公司，山东 潍坊261061）

1 前言

随着社会快速发展，目前我国建筑能耗约占社会总能耗的30%［1］。暖通空调（Heater，Ventilation and Air Conditioning，HVAC）系统是建筑中最主要的耗能设备，其运行能耗占到建筑总能耗的50%～60%，且运行过程中可能会出现多种故障。数据显示，HVAC系统发生故障导致能耗增加约15%～30%。在我国能源消耗日益增加的今天，提高HVAC系统应用的科学性、合理性以及实施节能环保处理是十分必要的。因此，亟需建立自动故障检测与诊断（Fault Detection and Diagnosis，FDD）系统，对于保持室内舒适性、节约能耗以及延长系统使用寿命具有重要意义［2］。

Katipamula等人［3］描述了基本的FDD方法，并将其定义为定量、定性或基于过程历史的方法。单彪等人［4］研究了基于函数型数据分析HVAC系统的FDD方法，解决了应用于含有噪声干扰数据时，传统主成分分析方法产生较高误报率和漏报率的问题。王海涛等人［5］基于控制原理、质量守恒、能量守恒建立故障分类器，采用残差累积和控制图检测空气处理机组的故障，提高了系统的有效性和可靠性。HVAC系统运行过程中冷水机组较易出现故障，如冷凝器结垢和制冷剂泄漏等问题。在冷水机组的FDD方面，Li等人［6］采用基于密度聚类与主成分分析相结合的方法，提高了FDD的灵敏度和可靠性以及传感器故障估计的准确性。Karami等人［7］基于测量的数据，将无迹卡尔曼滤波器与高斯混合模型回归相结合，通过监测关键节点的变化来检测和诊断发生的故障。一些专家学者基于组件相互依赖性、守恒定律和历史数据相关知识，采用贝叶斯非线性状态估计并融入距离拒绝等技术，检测冷水机组中的能量和液压故障［8］。辛娇娇［9］基于独立成分分析和最小二乘支持向量机（SVM）相结合的方法，建立了冷水机组的FDD模型。文献［10］中介绍了将基本神经网络和辅助神经网络相结合的机器学习方法，以及文献［11］中研究了一类支持向量机（OC-SVM），分别利用监督结构和非监督结构的方式对故障进行检测。

本研究实现了一种无监督的机器学习方法，利用过程历史方法，包括高斯过程（GP）回归和SVM算法进行故障检测。线性GP回归算法为模型权重建立高斯先验，以及为回归器或期望输出建立高斯条件似然。然后，利用贝叶斯规则计算权重向量的后验分布，并输出似然最大化。由此得到了一种以均值和协方差函数为特征的似然分布模型。非线性GP回归算法是通过将数据映射到再生核希尔伯特空间（Reproducing Kernel Hilbert Space，RKHS）来构建的，为模型提供了更多的灵活性。利用GP估计一组输出变量，这些变量作为外部变量的函数构成被测组件的预测行为。GP预测概率模型能够计算出预测误差和方差，然后将误差与其标准偏差之间的比值输入到SVM检测算法，该无监督算法通过建立模型确定异常数据值，即具有低相似性、不能用概率模型描述的数据点表示为故障状态。

2 研究方法

2.1 工况研究

针对冷水机组的FDD研究过程中数据集采用的是ASHRAE RP-1043，该数据集是对制冷量（制冷剂选取R134a）为90冷吨的离心式冷水机组实施正常和故障状态的仿真实验得到的。此研究项目是美国暖通空调协会于20世纪90年代发起的，解决了当时冷水机组故障数据缺乏的难题。综合考虑故障出现频率、严重程度以及维修成本等因素，选取了5个典型故障并划分为4个严重级别（SL表示严重级别），如表1所示。

表1 故障类型及严重级别 %

2.2 算法研究

2.2.1 SVM算法和Mercer核函数

采用SVM算法对冷水机组数据集的故障进行检测。SVM算法最初于1995年由Vapnik等人引入，该算法方法很快得到普及并应用到不同的工程问题中。SVM是采用结构风险最小化（SRM）进行优化的学习机器。该准则由两个相反目标的联合最小化组成。第一个是根据现有数据衡量的经验风险。当机器的复杂性很高时，这些数据的观测误差可能趋向于一个任意的低值。此时，由于机器的复杂性在看不到的数据上测量误差将会增加。第二个是由测试误差的单调函数项的最小化组成，其被称为结构风险并取决于机器的复杂性。在线性系统中复杂性随系统参数的范数增加。假如给定一组训练数据xi、yi，其中，1≤i≤N，以及线性估计的形式：

式中w是线性学习机器的参数集，是给定输入量xi的估计输出。SVM准则优化了经验和结构风险之间的权衡，包括函数形式的最小化：

式中yi是期望输出，L（，yi）表示为线性估计的期望和响应之间的距离测度的凸函数。距离度量具有一定的约束条件，并采用拉格朗日优化方法插入到函数中，函数中的子索引p表示原函数，后文进行推导。

SRM原理最初只能进行线性估计，可以利用在高维Hilbert空间中表达算法克服该缺点。采用Mercer核心的函数实现输入数据的非线性转换，将线性SVM的原理扩展到非线性情况。位于输入空间的向量x可以通过非线性变换φ（·）映射到Hilbert空间H中的更高维。Mercer定理表明存在一个函数φ：Rn→H和一个点积：

当且仅当K是Hilbert空间上的正积分算子，对于任意函数g（x）：

上式成立，具有点积的Hilbert空间通常被称为RKHS。第一个被证明符合Mercer定理的核是齐次多项式核（公式6）以及非齐次多项式核函数（公式7）：

在实际中广泛应用的核类型是平方指数核，其表达式：

在这种情况下，对应的非线性映射是不明确的，其Hilbert空间的维数是无限的。

SRM准则给出了支持向量分类器（SVC）和支持向量回归器（SVR）等有监督学习机。此外，利用无监督学习机器分析数据集，包括OC-SVM和SVDD。因为故障可以被视为异常值，所以无监督方法非常适合于故障检测。OC-SVM利用优化的超平面将数据与原点分开，只允许小部分数据点v位于超平面和原点之间。在这种情况下这些点是异常值。假设数据xi映射到具有一个内核点积K和转换函数φ（xi）的RKHS，构造该形式的线性函数：

式中，w是RKHS中的向量，p为偏差。这两个变量的优化包括以下原始函数的最小化：

其中，0＜v＜1。函数最小化了结构风险和经验风险（由松弛变量ζj的和表示），松弛变量ζj决定了样本在这个边缘的容错度。1/vN项是结构风险和经验风险之间的权衡，可以证明1/vN控制原点和分离超平面之间的数据数量。

采用拉格朗日优化法求解泛函得到最优的参数值。首先通过向原始函数添加约束条件，每个约束条件乘以拉格朗日乘数αj，然后表达式对所有原始变量求导然后置零：

即原始参数向量w是训练数据的线性组合，其中组合的对偶参数为拉格朗日乘数αj。联合公式12和公式9可将其表示为对偶变量的函数，由此得到判别器的对偶表达式如下：

拉格朗日优化，基于公式12给出了该函数的对偶表示：

式中：

式中，α是包含所有拉格朗日乘子αj的列向量，K是包含所有点积K（xi，xj）的矩阵。f（xi）≤ρ的样本都与非零拉格朗日乘数相关。

另一种用于异常检测的方法是SVDD，该算法的思想利用了约束函数使结构风险和经验风险同时最小化。应用的判据包括找到最小的超球，它能包含几乎所有的数据。在这种情况下，结构风险用球体的半径来表示，而经验风险是球体外的样本的函数。判别函数为：

式中，a是超球中心、ρ是半径。要求同时最小化半径和松弛变量之和（ζj）。松弛变量的总和表示超球外的样本。然后是要最小化的函数：

式中，C代表两种最小化之间的权衡，拉格朗日优化结果：

其中拉格朗日乘子最小化：

上式中的列向量K包含所有的范数K（xi，xj）。最小化结束后位于球体之外的样本被认为是异常值。可以表明，当使用产生单位范数向量的核时，如平方指数核（公式8），OC-SVM和SVDD是等价的。

(3)内创业在本质上是基于行动或者是行动导向的一个概念，它在现存组织边界中运作，并把当前组织的产品、创新、服务、技术、交流、结构和操作往新的方向延伸；

2.2.2 GP算法

采用GP算法估计冷水机组传感器的值，其通过非线性变换表示在Hilbert空间中的估计量φ（·）：

假设误差ε来自高斯分布N（0，σ2），建立参数权值w～N（0，∑w）的先验。假设是独立同分布的过程，且独立于观测值xn和参数w，回归的协方差E（ynym|X）：

由于∑w是一个正定矩阵，所以φT（xn）∑wφ（xm）是Hilbert空间中的一个点积，则回归序列的协方差矩阵可表示为：

式中K是观测值之间的核点积矩阵。如果数据不包含任何噪声，则观测值的核矩阵等价于回归量的协方差矩阵。例如，xn，yn作为训练样本，并添加一个新的样本x*，样本的预测是f*=wT（x*）。该过程的联合概率分布是一个零平均高斯分布，其协方差矩阵包含新估计的协方差y*。训练回归器y以及两者之间的交叉协方差：

式中，K**=K（x*，x*）、K*，y=KyT，*是所有点积K（x*，xn）的行向量。GP的目标是计算给定训练数据的新样本x*的预测性后验。使用贝叶斯规则，这个后验函数具有另一个高斯函数的形式，其均值和方差为：

在没有噪声的情况下，均值与最小均方误差预测相匹配，而对于任意值的噪声，协方差值σ2与核岭回归预测相匹配。GP的优点是提供了预测的后验分布而不仅仅是预测，其方差相对于之前的方差减小了KTy，*，K-1y，y Ky，*。

2.3 故障检测器的结构

测试了两种识别异常工况的方法。每一种方法都由图1和图2所示的三部分组成。该过程首先根据GP算法的结果估计传感器的值。在图1中，将GP估计的平均值（公式24的第一个表达式）与实际值比较计算估计误差，然后输入到SVND。图2所示的方法略有不同，因为在计算误差后，通过估计的标准偏差（公式24的第二个表达式）对其进行归一化。

图1 提出方法的结构

图2 改进方法的结构

GP使用输入xn（i）来预测输出yn（i），GP输出表示冷水机组传感器值。训练阶段后，GP回归器进入第一个测试阶段。此阶段把正态数据输入到回归估计器。计算测试误差，然后将其输入检测器的下一部分。假设具有正常数据和错误数据，当输入正常情况下产生低错误，但在三个回归输出中显示高错误时，就会检测到故障。

3 实验

实验首先测试了所提出的分析方法的有效性，然后将结果与标准故障检测方案进行了比较。分析方法包括GP-SVM结构，首先仅使用预测误差实现。然后，根据GP算法产生的误差方差估计值识别故障，该结果与独立SVDD和SVND算法的结果进行了比较。

3.1 数据

采用ASHRAE RP-1043数据集。根据冷水机组故障种类和严重级别，选取了故障严重程度为SL1、SL2、SL3、SL4的四组数据样本作为训练集和测试集，具体内容如表2所示。数据集总共24000个样本，包含正常样本和5个故障样本，4种严重程度，样本采样周期为10 s。其中，用于训练的数据由4组19200个样本组成（对应于不同的严重程度），测试样本包括4组4800个样本。

表2 数据集描述

3.2 实验设置

进行了4次不同的训练和测试试验，每一次都有4组训练。第一次训练对应的是GP部分。输入数据是由6种特征构成的6维向量，如表3所示。

表3 特征量选取

通过训练3个GP回归器来预测冷水机组传感器的值，得到预测误差和GP方差。用瞬时预测误差向量除以GP输出标准差来训练SVM。该训练可以认为是无监督的，因为所有涉及的数据都是观察到的，并且在训练期间没有使用故障数据。

对于GP和SVM算法，采用标准的平方指数核KSE（xm，xn）=exp（-σ-2||xn-xn||2），其中，宽度参数为σ。GP结构协方差函数包括指数平方核，估计量偏差k，独立的白噪声：

式中δ（n-m）表示Kronecker Delta，参数K和σn被简单地初始化为1。一些初始化σ从0.1～10的范围产生的结果没有显著差异。SVM结构需要对其核参数C和v进行交叉验证，从测试数据中抽取了20%的数据，并对三个参数进行了验证，其中，σ（0.01-10）和C（1-100）的对数间隔值，SVND（0.01-0.99）线性间隔值。

3.3 评价指标

总体准确率（OAR）通常用作评估分类器总体性能的简单度量，其为正确预测数量除以观测总量。然而，特定于类的性能在FDD中也很重要，其中术语真阳性率（TPR）和假阳性率（FPR）表征了分类器对单个类的性能。对于给定的类，TPR是在所有实际为阳性的样本中被正确地判断为阳性的比率。而FPR是在所有实际为阴性的样本中被错误地判断为阳性的比率。TPR和FPR的计算方法如下：

3.4 结果

在测试阶段，针对所有系统中不同的检测阈值，计算代表TPR与FPR关系的ROC（Receiver Operation Curve）曲线。如图3～图6所示。在所有图中，实线表示GP-SVDD或者GP-SVND的性能，虚线表示SVDD和SVND的性能，以便进行比较。

图3为图1所示结构（结构1）的ROC曲线。其中，该结构中SVDD的输入由误差与外部变量组成。该外部变量也会被送入GP。由图3可以看出，相对于SVDD算法和SVND算法，提出方法有相当大的改进，但当FPR增大时，SVDD和SVND算法表现出更好的性能。图4显示了使用图1结构的方法的运行结果，但GP-SVM算法中的检测器（SVDD或SVND）没有使用外部输入。很明显发现，总体性能改善并不显著，同时，高FPR的TPR略有增加。第一个实验相对于第二个实验性能提高的原因可以简单解释如下：GP-SVM可以区分高误差和低误差的样本；在第一个实验中，机器能够判断出高误差的原因是GP的性能不好或者数据错误，然而在第二个实验中，由于没有使用输入数据，检测器无法区分两者。而图3中的高FPR的TPR降低了，这可以解释为，由于在检测过程中使用了输入数据，GP-SVM中检测器的结构复杂性增加了。

图3 结构1在有外界输入时结果对比

图4 结构1在无外界输入时结果对比

同时，图5显示了图2中结构方法的运行结果，其中GP的预测标准差被用来归一化预测误差。在实验中，也将输入数据用于GP-SVM结构中的故障检测。然而，由于误差被归一化以提高对故障数据和正常数据的区分度，输入测量数据成为多余的。图6显示了图2结构的GP-SVM算法的结果，其中输入没有被送入结构的SVM部分。可以看到，性能没有下降，而且在某些方面略有改善，特别是ROC曲线的斜率更陡，其转折的地方出现在较低的FPR，这可以解释为检测器的复杂性降低的结果。最后，SVDD和SVND之间的比较并不明显，这是因为如果使用平方指数核，这两种结构是等价的，微小的差异可能是两方案之间的小参数验证不一致。

图5 结构2在有外界输入时结果对比

图6 结构2在无外界输入时结果对比

4 结论

提出了用于冷水机组故障检测的基于GP预测器和无监督SVM的新型检测方法。GP算法用于预测冷水机组的测量结果，将冷水机组的运行状况近似为外部变量的响应。然后将GP产生的预测误差及其估计的方差作为SVM检测器的输入，该检测器能够以无监督的方式检测冷水机组的故障，从而实现在线故障诊断。经过实验结果对比，可以发现提出的方法相比单独的SVM在冷水机组的FDD中具有更优越的性能和创新，前者的两种结构均采用无监督训练过程，适合在线运行。