一道2020年高考数列题的十种证法探究

武增明

摘 要：本文给出一道2020年高考数列题的十种证法，与读者共赏.

关键词：高考试题;数列通项;证法探究

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2021）10-0063-02

试题 设数列{an}满足a1=3，an+1=3an-4n.

（1）计算a2，a3，猜想{an}的通项公式并加以证明;

（2）求数列{2nan}的前n项和Sn .

这是2020年高考全国Ⅲ卷理科数学第17题.

这道考题的第（1）问是以数列递推式为背景，求数列的通项公式问题，此问题符号优美，题面简洁，构思巧妙，立意新颖，让人赏心悦目，耐人寻味，回味无穷，涉及的数学知识和蕴含的数学思想方法非常丰富，逻辑推理性很强，具有很大的探究价值，具有很高的训练价值，具有很强的代表性，是一道训练数学思维的好题，很值得深入探究.于是，引起笔者极大的探究兴趣与热情.下面给出此题第（1）问的十种证法，旨在供同仁在教学过程中作参考，旨在对同学们在学习这类问题时有所帮助和启示.

证法1 （试验法） a2=5，a3=7.猜想an=2n+1，证明如下：

若an=2n+1，则an+1=2（n+1）+1=2n+3，

又3an-4n=3（2n+1）-4n=6n+3-4n=2n+3，

此时an+1=3an-4n成立，所以an=2n+1.

证法2 （数学归纳法） a2=5，a3=7.猜想an=2n+1，证明如下：

（1）当n=1时，由an=2n+1知，a1=3，符合题意，故当n=1时，an=2n+1成立.

（2）假设当n=k（k∈N*）时，an=2n+1成立，即ak=2k+1成立.

则n=k+1时，因为ak+1=3ak-4k=3（2k+1）-4k=2（k+1）+1，

所以当n=k+1时，an=2n+1成立.

由（1），（2）可知，对于任意正整数n，an=2n+1成立.

证法3 （正向思维迭代递推法）a2=5，a3=7.猜想an=2n+1，证明如下：

因为an+1=3an-4n，

所以a2-5=3（a1-3），

a3-7=3（a2-5），

a4-9=3（a3-7），

……

an-（2n+1）=3[an-1-（2n-1）].

因为a1-3=0，

所以an-（2n+1）=0，即an=2n+1.

证法4 （逆向思維迭代递推法）a2=5，a3=7.猜想an=2n+1，证明如下：

由已知可得an+1-（2n+3）=3[an-（2n+1）]，

an-（2n+1）=3[an-1-（2n-1）]，

……

a2-5=3（a1-3）.

因为a1=3，即a1-3=0，

所以an-（2n+1）=0，即an=2n+1.

证法5 （逆向思维迭代递推法）a2=5，a3=7.猜想an=2n+1，证明如下：

因为an+1=3an-4n，①

所以an=3an-1-4（n-1），②

①-②，得an+1-an=3an-3an-1-4，

所以an+1-an-2=3（an-an-1-2），

所以an-an-1-2=3（an-1-an-2-2），

……

a4-a3-2=3（a3-a2-2），

a3-a2-2=3（a2-a1-2）.

因为a2-a1-2=0，所以an+1-an-2=0.

于是数列{an}是首项为a1=3，公差d=2的等差数列，故an=a1+（n-1）d，从而an=3+（n-1）·2，即an=2n+1.

证法6 （逆向思维迭代递推法）a2=5，a3=7.猜想an=2n+1，证明如下：

因为an+1=3an-4n①

所以an=3an-1-4（n-1）②

①-②，得an+1-an=3an-3an-1-4，

所以an+1-an-2=3（an-an-1-2），

所以an+1-an-2=3（an-an-1-2）

=32（an-1-an-2-2）=33（an-2-an-3-2）=…=3n-1（a3-a2-2）=3n（a2-a1-2）.

因为a2-a1-2=0，所以an+1-an-2=0.

于是数列{an}是首项为a1=3，公差d=2的等差数列，故an=a1+（n-1）d，从而an=3+（n-1）

·2，即an=2n+1.

证法7 （逆向思维迭代递推法） a2=5，a3=7.猜想an=2n+1，证明如下：

令bn=an-（2n+1），

因为an+1=3an-4n，所以bn+1=3bn，

从而bn+1=3bn=32bn-1=33bn-2=…=3n-1b2=3nb1.

所以b1=0，故bn=0，即an-（2n+1）=0，于是an=2n+1.

证法8 （逆向思维待定系数法）a2=5，a3=7.猜想an=2n+1，证明如下：

设an+1+k（n+1）+b=3an+（k-4）n+k+b，则

an+1+k（n+1）+b=3（an+k-43n+k+b3），

所以k=k-43，b=k+b3， 解得k=-2，b=-1.

从而an+1-2（n+1）-1=3（an-2n-1），

所以an-2[（n-1）+1]-1=3[an-1-2（n-1）-1]

……

a4-2（3+1）-1=3（a3-2×3-1），

a3-2（2+1）-1=3（a2-2×2-1），

a2-2（1+1）-1=3（a1-2×1-1），

因为a1-2×1-1=0，所以an-2n-1=0，即an=2n+1.

证法9 （待定系数法） a2=5，a3=7.猜想an=2n+1，证明如下：

将an+1=3an-4n两边同除3n+1，得

an+13n+1=an3n-4n3n+1，

令an+13n+1-λ（n+1）+μ3n+1=an3n-λn+μ3n，则

an+13n+1=an3n-2λn-λ+2μ3n+1，

故2λ=4，-λ+2μ=0， 所以λ=2，μ=1.

于是an+13n+1-2（n+1）+13n+1=an3n-2n+13n，

从而数列{an3n-2n+13n}是常数数列，

所以an3n-2n+13n=a13-33

=33-33=0.

故而an3n-2n+13n=0，即an=2n+1.

证法10 （迭加法）a2=5，a3=7.猜想an=2n+1，证明如下：

将an+1=3an-4n两边同除3n+1，得

an+13n+1-an3n=-4n3n+1.

设数列{4n3n+1}的前n項和为Tn，则

Tn=4×132+4×233+4×334+…+4（n-1）3n+4n3n+1①

13Tn=4×133+4×234+…+4（n-1）3n+1+4n3n+2②

①-②，得

23Tn=432+433+434+…+43n+1-4n3n+2=432[1-（13）n]1-13-4n3n+2，

所以Tn=3n+1-2n-33n+1 .

又a232-a13=-4×132，

a333-a232=-4×233，

……

an3n-an-13n-1=-4（n-1）3n，

an+13n+1-an3n=-4n3n+1，

把上述n个等式相加，得

an+13n+1-a13=-Tn，

所以an+13n+1-1=-3n+1-2n-33n+1，

所以an+1=2n+3，

从而an=2n+1.

作为学生领路人的教师，一些前因后果需要我们教者从其背后去思考、挖掘，只有潜心研究高考试题，从中探究出更多潜在价值，才能在高中数学教学中高屋建瓴、有的放矢，才能确保对学生的指导方法得当、条理清楚、思路流畅.潜心研究高考试题，在寻求解法的同时，要领略考题的本质，挖掘其深刻的内涵，才能充分发挥考题的功能和作用.

参考文献：

[1]人民教育出版社，课程教材研究所，中学数学课程教材研究开发中心.普通高中课程标准试验教科书（必修）数学5（A版）[M].北京：人民教育出版社，2014.

[2]天利全国高考命题研究中心，北京天利考试信息网.2020全国各省市高考试题汇编全解（数学·理科）[M].拉萨：西藏人民出版社，2020.

[责任编辑：李 璟]