抓住偏差紧纠错 引辨悟道突困惑

摘 要：学生的错误往往是学生思维的真实写照，作为教师要抓住学生思维的偏差，分析学生致错的原因而优化教学，引导学生使其突破困惑.

关键词：抓住偏差;反思教学;突破困惑

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2021）10-0046-02

在教学中学生经常会出错，错误也体现着学生最真实的思维，最自然的想法，在排除一个个错误与障碍之后，正确结论才呼之欲出.

一、特殊值引来偏差，想当然任性而为

例1 若关于x的一元二次方程（x-2）（x-3）=m有实数根x1，x2，且x1≠x2，有下列结论：①x1=2，x2=3;②m>-14;③二次函数y=（x-x1）（x-x2）+m的图象与x轴交点的坐标为（2，0）和（3，0）.其中，正确结论的个数是（）.

A.0B.1C.2D.3

课堂上出示这道题目后，通过小组讨论与交流后，平时比较机灵的几个同学很快就说出了答案D.生1：取特殊值m=0，关于x的一元二次方程（x-2）（x-3）=m有实数根x1=2，x2=3，于是结论①正确.由于m=0>-14，故结论②正确.当m=0时，二次函数y=（x-x1）（x-x2）+m的图象与x轴交点的坐标为（2，0）和（3，0）.于是结论①②③都正确.

听了这个小組的代表生1的想法后，笔者首先给予孩子们活跃的思维表现给予语言上的鼓励，但是这里呈现出的思维偏差也是十分明显的，即特殊代表不了一般.

选择题利用特殊值在排除“错误”答案时有其独特的优势，可以“一招制敌”.学生正是受此影响，思维定势，误认为在选正确答案时也是如此，取一个特殊值验证就可以，于是就产生了以偏概全的错误解法.

二、“想当然”而为之

生2：“结论①x1=2，x2=3与结论③二次函数y=（x-x1）（x-x2）+m的图象与x轴交点的坐标为（2，0）和（3，0）是等价的，结论①错了，结论③自然不正确，正确的只有②，”.

而事实上这是想当然而为之，出现这种偏差是同学们在对结论③的认知上忽略了二次函数y=（x-x1）（x-x2）+m中的“m”了，误认为结论①与结论③等价，马虎大意而出错.

生3：“结论③中，二次函数y=（x-x1）（x-x2）+m的图象与x轴交点的坐标为（2，0）和（3，0），由于二次函数解析式之“交点式”中有“m”这一项，所以函数与x轴的交点不可能是为（2，0）和（3，0），结论③错误.”

三、方程切线有玄机，数形结合突困惑

1.切线生疑，变式递进

求解圆的切线方程的一个教学片断：

例2 过圆x2+y2=25上一点（3，-4）的切线方程为（）.

A.3x+4y-25=0B.3x-4y-25=0

C.3x+4y-5=0D.3x-4y-5=0

生1：这是一道简单题目，将点（3，-4）代入选项中4个直线方程，通过验证只有B选项是符合的，很快得出选项B正确.

本题是直线与圆的位置关系中求解圆的切线问题，作为选择题学生首先联想到了特殊值法.如果是以解答题形式出现，我们又该如何求解呢？

生2：可以利用公式过圆x2+y2=r2上一点p（x0，y0）的切线方程为xx0+yy0=r2来求解，把点（3，-4）代入xx0+yy0=r2，得3x+4y=25，再化为一般式方程为3x+4y-25=0得解.

师：这个公式课本中并没有明确介绍，只有平时喜欢探究的学生可以利用其直接计算，部分学生还是不甚熟悉，需要我们进行推导.

生3：可以利用圆的切线性质，圆的切线垂直于过切点的半径.

生4：对，我们可以先以特殊值（3，-4）进行推导，再过渡到一般值.

生5：关键是求出切线的斜率，由直线的点斜式写出其直线方程.

师：同学们说的很对，点斜式是我们求解直线方程的常用方法，请一位来同学陈述一下.

生6：过圆心（0，0）与点（3，-4）的直线（半径所在直线）的斜率是k1=0+40-3=-43，故圆的切线所在直线的斜率k2与其互为负倒数，为34，由点斜式方程（y-y0）=k（x-x0）将点与斜率代入求得其切线方程.

生7：根据生6的方法我们将点（3，-4）换为（x0，y0），便可求得过圆x2+y2=r2上一点p（x0，y0）的切线方程为xx0+yy0=r2.

由此可以看出，学生的思维还是比较活跃，适当增加难度，继续深度探究.

2.数形结合，探究新知

例3 求过圆x2+y2-4x-4y+94=0外一点（3，-4）的切线方程？

生8：设所求切线方程的斜率为k，则其直线方程为y+4=k（x-3），化为一般式方程为kx-y-4-3k=0，又圆x2+y2-4x-4y+94=0的圆心坐标为（32，32），半径为32.则圆心到切线的距离为d=32k-32-4-3kk2+1=-112-32kk2+1=32，解得k=-5633，所以切线方程为y+4=-5633（x-3），即56x+33y-25=0.

学生们看着生8在黑板上的板书都附和着，认为得来全不费工夫嘛.可孰知，一条切线已经丢掉了.

师：不对，应该还有一条切线方程的，学生们陷入了困惑.

师：请同学们看图，显然这样的切线会有两条.以几何图形验证代数运算，生8的结果显然是不全面的，无疑漏掉了一条切线方程.

有的学生根据图形很快得出了另一条切线方程为x-3=0.

于是，过圆x2+y2-4x-4y+94=0外一点（3，-4）的切线方程为56x+33y-25=0或x-3=0.

3.纠正偏差，突破困惑

数形结合思想是我们在数学教学中必须要关注的，有些代数问题辅助以几何图形，解决起来就省事许多.在本题中，正是数学结合才纠正了学生思维上的偏差，让学生认识到还有一条切线方程的存在.那么这条切线方程为何代数方法没有求出来呢？

通过观察图形，我们发现切线x-3=0是垂直于y轴的，直线的倾斜角为90°，所以斜率不存在.因而在生8的求解中，设切线的斜率为k时，其前提必须是直线的斜率必须存在.这样思考，也就不难理解为何代数法求出的切线方程只有一条了.

以上两则教学案例表明，“想当然”现象在学生的学习中普遍存在，学生的思维活跃而具有自身的封闭性，但学生是可塑的，他的思维依赖于教师的引导.论语云：“学而不思则罔，思而不学则殆”，由此道明了学习与思考的逻辑关系.不思考的学习就是机械性的操作，会因迷茫而误入陷阱;一味的空想不踏实钻研一样会误入歧途而难有成就.只有将学与思融为一体，且学且思考，才能让学习有效.其实，对学生的好多错误，多少老师仅一笑而过，没有深思作为施教者应该如何对待学生错误，如何反思优化教学，引导学生走出迷茫的困境呢！诚如以上两则教学案例，尤其对于中等偏下学生，教师要关注课堂上他们点点滴滴的表现，在师生合作的辨析中去伪存真;切忌“一笔带过”与“一笑而过”，要引领学生“顿悟”，开导学生“点悟”.也希望在我们平时“热闹”的数学课堂背后，教师能够关注更多的教学“门道”，从发展学生思维的深度与广度上多花力气，在育人与树人的理念上多下功夫，让培育学生数学核心素养不仅是一句口号，更要扎扎实实落实在课堂教学中.

参考文献：

[1]惠红民.一题一课：中考数学压轴题的分析与解[M].杭州：浙江大学出版社，2016（5）.

[2]杨虎.数学教学应从理解起步[J].数学通讯，2020（11）：4-5.

[责任编辑：李 璟]