基本图形——求解几何问题的脚手架

摘  要：對数学试题的研究是教师日常工作中的一部分，通过研究可以总结出处理问题常用的数学思想方法，提炼出复杂图形中隐藏的基本图形，从而使学生“知一形，晓一类”. 笔者通过对一道几何题的解法研究，总结出利用不同的基本图形而衍生出的5种解法，并且对这些解法进行比较，从而引发对一题多解的几点思考.

关键词：角平分线;基本图形;思想方法

笔者曾经在一次区级教研活动中听了一节“一题一课”中考复习课. 该节课的执教教师主要讲解了一道关于圆的几何题的多种解法. 题目如下.

题目  如图1，半圆O的直径[AB=5，] 弦[AC=3，] 将半圆O沿着AD折叠后弦AC恰好落在AB上，则折痕AD的长为      .

在听课后，笔者也对此题进行了研究，认为如果能够准确识别和构造出适当的基本图形，不但可以使问题迎刃而解，甚至还可以一题多解. 于是，笔者继续研究此题中隐藏的基本图形及对应的解法，与同行分享，不当之处敬请指正.

一、解法分析

此题属于求线段长问题. 求线段长的方法有勾股定理、相似三角形等. 如果将折痕AD看作是半圆O的一条弦，则还可以利用垂径定理求解. 但对于此题，无论运用哪种方法，都不太容易求解. 笔者曾经利用波利亚的“怎样解题表”仔细聚焦此题条件“有什么”，并不断将条件重组，从而获得了不同的解法. 但是当笔者在课堂上讲解时，只有小部分学生能根据提示想出一种解法，再想引导学生提出其他解法时发现很困难，一度出现了台上教师着急而台下学生茫然的局面. 究其原因，是题目中给出的条件加上圆中隐藏的条件比较零散. 这就要求学生具备条件重组的能力，而提高这种能力的方式之一就是积累基本图形. 林崇德在《学习与发展：中小学生心理能力发展与培养》一书中就用三个水平等级来划分数学空间想象能力，其中第二等级就是能够由较复杂的图形分解出简单的、基本图形，在基本图形中找出基本元素及其关系，并能够将图形及其特征联系起来.

接下来，笔者将从基本图形的角度来谈谈此题的几种解法.

1. 角平分线性质定理

此题属于折叠问题. 由折叠可以得出AD是[∠CAB]的角平分线. 关于角平分线，最为常见的就是角平分线的性质定理. 由此，如图2，连接CB，交AD于点E，过点E作[EF⊥AB，] 垂足为点F，从而可以求出[△ACE]和[△AFE]的各边边长，最后通过三角形相似即可求出AD的长.

解法1：如图2，连接BD，CB，交AD于点E，过点E作[EF⊥AB，] 垂足为点F.

由角平分线的性质定理，得[CE=FE.]

易证得[△ACE≌△AFE.]

所以[CE=FE，AC=AF=3.]

所以[BF=AB-][AF=2.]

在[Rt△ABC]中，由勾股定理，得[BC=4.]

设[CE=x，] 则[FE=][x，] [BE=4-x.]

在[Rt△EFB]中，由勾股定理，得[EF2+BF2=BE2，]

即[x2+][22=4-x2.]

解得[x=32.]

在[Rt△ACE]中，由勾股定理，得[AE=][325.]

由[∠CAD=∠BAD，∠ACE=∠ADB=90°]，

得[△ACE∽△ADB.]

所以[ACAD=AEAB，]

即[3AD=3255.]

解得[AD=25.]

对于角平分线性质定理，也可以过点D向[∠CAB]的两边分别作垂线DE，DF，如图3所示，再通过[△DEB]求出AE的长，最后利用直角三角形相似（射影定理）求出AD的长.

解法2：如图3，连接DB，CD，过点D作[DE⊥AB]于点E，过点D作[DF⊥AC，] 交AC的延长线于点F.

由角平分线性质定理，得[DF=DE.]

由已知条件，易证得[CD=DB.]

从而可证得[Rt△CDF ≌ Rt△BDE.]

所以[BE=CF.]

设[BE=CF=x，]

则[AF=3+x，AE=5-x.]

由已知条件，易证得[AF=AE，]

即[5-x=][3+x.]

解得[x=1.]

所以[AE=4.]

由[∠EAD=∠DAB，∠DEA=∠BDA=90°，]

得[Rt△DAE∽Rt△BAD.]

所以[ADAB=AEAD，]

即[AD5=4AD.]

解得[AD=25].

2. 等腰三角形“三线合一”的性质

由题目中给出的角平分线，学生还会想到等腰三角形“三线合一”的性质. 如图4，构造等腰三角形EAB，得到[DE=DB，] 以及线段AE和CE的长. 再通过三角形相似求出DB的长，最后利用勾股定理求出AD的长.

解法3：如图4，连接BD并延长，交AC的延长线于点E，连接CB.

则[∠EDA=∠BDA=90°.]

因为[∠EAD=∠BAD，AD=AD，]

所以[△ADE≌△ADB.]

所以[ED=BD，] [AE=AB=5.]

所以[CE=2.]

由[∠E=∠E，∠ADE=∠BCE=90°，]

得[△ADE∽△BCE.]

所以[EDEC=AEBE，]

即[BD2=52BD.]

解得[BD=5.]

在[Rt△ADB]中，由勾股定理，得[AD=25.]

3. 利用角平分线和平行关系得到等腰三角形

在初中几何学习中，学生需要熟练掌握一些由两个或两个以上的基本图形构成的图形. 如图5，AF为[∠CAB]的平分线，[AC∥BF]，由此可以得到[BF=AB.]

解法4：如图6，连接BC，BD，过点B作[AC]的平行线交AD的延长线于点F.

由“两直线平行，内错角相等”，以及AD是[∠CAB]的平分线，得[∠F=∠DAB.]

所以[BF=AB=5.]

在[Rt△ACB]中，由勾股定理，得[BC=4.]

設[CE=x，则BE=4-x.]

由[AC∥BF]，得[△ACE∽△FBE.]

所以[CEBE=ACFB，]

即[x4-x=35.]

解得[x=32.]

以下步骤同解法1.

4. 通过角平分线和圆，利用垂径定理求解

垂径定理是圆这部分的重要定理之一. 与垂径定理相关的基本图形也有很多，其中任意一个圆周角被平分时出现垂径定理的基本图形较为常用. 如图7，连接OD，BC，CD，BD，OD与BC交于点E. 由点D是[BC]的中点，易证得OD垂直平分BC. 所以OE是[△ABC]的中位线. 从而易求得OE的长，进而得到DE的长. 在[Rt△DEB]中，易求得DB的长. 最后，在[Rt△ADB]中通过勾股定理即可求得AD的长.

解法5：如图7，连接OD，BC，CD，DB，OD交BC于点E.

在[Rt△ACB]中，由勾股定理，得[BC=4.]

由已知条件得[∠CAD=∠DAB.]

所以[CD=DB.]

易得OD垂直平分BC.

所以[EC=EB.]

因为[OA=OB，]

所以OE是[△ABC]的中位线.

所以[OE=12AC=][32，BE=12BC=2.]

所以[DE=OD-OE=1.]

在[Rt△DEB]中，由勾股定理，得[BD=5.]

在[Rt△ADB]中，由勾股定理，得[AD=][25.]

二、几点思考

1. 抓住解题关键，建构方法体系

以上5种解法各具特点，又殊途同归，找到相应的基本图形是解题的关键. 有的解法根据基本图形可以直接获得解题思路，有的解法需要适当添加辅助线，将多个基本图形组合来求解. 例如，在解法2和解法3中，除了先分析出角平分线性质定理和等腰三角形“三线合一”外，计算线段的长时还要借助直角三角形相似. 在遇到难度稍大的几何题时，教师要引导学生仔细分析题目条件，识别隐藏在其中的常见的基本图形，进而建构出解决问题的方法和体系.

2. 辨析解法优劣，优化解题方法

教师在教学中可以通过让学生进行一题多解的练习，锻炼学生的思维，开阔学生的思路，从而提高学生的数学学习兴趣. 但需要注意的是，这样的一题多解练习一定要适当. 前面给出的5种解法中，前3种解法是学生容易掌握的，而解法4需要作平行线来获得基本图形，对学生来说难度较大. 解题后优化解法也是很重要的，这需要教师和学生共同努力. 一方面，教师在讲解之前要认真备课，不仅备题目，更要备学生;另一方面，在师生共同探究出题目的多种解法后，教师一定要引导学生及时思考，从而提升解题能力.

3. 寻求方法本质，渗透数学思想

教师要具备整合、归类的能力，寻求题目的本质，指导学生“知一形，晓一类”. 对于这道几何题，获得多种解法不是教学的最终目的，重要的是教师要带领学生寻找这些解法的本质，即隐藏在其中的基本图形. 学生若理解了图形的本质，便能领悟到其中蕴涵的数学思想方法，从而揭开难题的神秘面纱，不再对几何难题望而却步. 因此，对于学生来说，基本图形就是求解几何问题的“脚手架”. 学生通过加深对不同基本图形的认识，就能在无形中提升几何直观能力，从而养成一题多思、一题多解的习惯，最终提高分析问题和解决问题的能力.

参考文献：

[1]林崇德. 学习与发展：中小学生心理能力发展与培养[M]. 北京：北京师范大学出版社，1999.

[2]郭新俊. 例谈波利亚解题理论中的“弄清问题”[J]. 初中数学教与学，2016（7）：35-37.

[3]林遂香. 在初中数学教学中渗透基本图形法的案例分析[J]. 数理化学习，2011（8）：26-27.