创新思考 建模突破

彭良才

摘   要：解答数学题，是教学活动的一种重要形式，也是实现初中数学教学目标不可缺少的手段。通过解题教学，使学生牢固掌握数学的基础知识和基本技能，能从根本上提高学生分析和解决问题的能力。有些问题往往可以有不同的解题方式和不同的解题思路，常常能找到非常规的解题方式，这有助于开拓学生的思维深度与广度。但是非常规解题方法的运用有一定的难度和局限性，应当处理好常规和非常规性的解题关系，开拓学生的数学思维，发展思维的灵活性和创造性，实现学生思维能力的全面提升。

关键词：创新;思考;非常规

中图分类号：G633.6   文献标识码：A   文章编号：1009-010X（2021）20/23-0115-02

新课标强调学生应学会“数学地思考”，即面对一个问题时，能主动尝试着从数学的角度，运用所学的知识和方法，建立恰当的数学模型，寻求解决问题的策略。各地中考试卷中的一些“非常规”性题型很好地体现了这一点。这些问题背景清新，非日常教学所及，让人感觉无从下手。经过一番细致分析、丰富联想之后，相关数学模型才能浮出水面。

例1.（玉林中考）如图1所示，点A1、A2、A3、A4是某市正方形道路网的部分交汇点，且它们都位于同一对角线上.某人从点A1出发，规定向右或向下行走，那么到达点A3的走法共有（    ）种。

A.4   B.6   C.8   D.10

解析：观察图中道路网可见，按题目所述方法（从点A1出发，向右或向下行走）到达每一个交汇点的走法种数，等于按要求到达其左侧格点和上方格点的走法种数之和。于是可得图中数字，每个数字表示行走至该点的走法种数，故到达点A3的走法共有6种.将之推广，可得类似“杨辉三角”的“数阵”发展规律。

例2.（德城中考）如图2，有一圆形展厅，在其圆形边缘上的点A处安装了一台监视器，它的监控角度是65°.为了监控整个展厅，最少需在圆形边缘上共安装这样的监视器（   ）台.

A.3    B.4    C.5    D.6.

解析：设圆心为O，则图中圆心角∠O=65°×2=130°，而360÷130=2，则最少需在圆形边缘上安装这样的监视器3台.

例3.（嵊州中考）将自然数按如图3所示规律排列，則位于第6行第45列的数是           .

解析：观察数阵，在图3中画出线，有助于显示其中的排列规律，可见第1、2、3、…、n个“    ”上依次排列了1、3、5、…、2n-1个数，且第奇数个“    ”上的数按逆时针方向依次增大，而第偶数个“    ”上的数按顺时针方向依次增大.

第6行第45列的数在第45个“    ”上，前45个“    ”总共用去1+3+5+7+9+…+89=（1+89）×=2025个数，则第45（它上面的数按逆时针方向依次增大）个“    ”上的最大数为2025（在第1行第45列），往下数6个数应为2020，即位于第6行第45列的数是2020.

例4.（鄂州中考）在高速公路上，从3千米处开始，每隔4千米经过一个限速标志牌，并且从10千米处开始，每隔9千米经过一个速度监控仪，刚好在19千米处第一次同时经过这两种设施，那么，第二次同时经过这两种设施是在

（   ）千米处。

A.36    B.37     C.55     D.91

解析：设第二次同时经过这两种设施是在x千米处，则x-19是4和9的最小公倍数，即x=55，选C。

例5.（内江中考）如图4，小陈从O点出发，前进5米后向右转20°，再前进5米后又向右转20°，……，这样一直走下去，他第一次回到出发点O时一共走了（    ）

A.60米   B.100米   C.90米   D.120米

解析：容易发现，这是与“多边形外角”相关的数学模型，由“任意多边形的外角和是360°”，可知小陈第一次回到出发点O时，一共转了360÷20=18个弯，走了18个5米，共90米，选 C.

例6.（抚顺中考）观察图5（每幅图中最小的三角形都是全等的），请写出最小的三角形的个数有           个.

解析：容易知道，第n个图中，所有的最小三角形与最大的三角形之间都是相似的;又易发现第n个图中的最小三角形与最大三角形对应边长之比为1：2n-1，则第n个图中最小的三角形的个数为==22n-2（个）.

点评：从具体情境中抽象出数量关系和变化规律，并用符号表示，是将问题一般化的过程，它超越了原有问题的具体情境，揭示了问题的核心特征，把认知和推理提高到一个更高的水平。一般化和符号化，是学习数学必须经历的过程。尤其在例3中，引入符号“    ”更容易直观勾勒“数阵”发展规律，便于把规律符号化，易于合情推理过程的进行。由以上诸例可见，非常规性问题对学生的符号感、应用意识、创新能力能做较好区分。