35CrMoA钢塑性损伤非线性超声响应有限元模拟

于淑敏 朱 晨 黄志强

(郑州国电机械设计研究所有限公司 郑州 450046)

0 引言

金属材料在加工和服役过程中都会发生塑性变形。塑性损伤会随着塑性变形的增加而逐渐扩展，当塑性损伤超过一定门槛值后，材料就会被破坏。因此，材料塑性损伤的定量检测，对于预测金属结构寿命具有重要意义。非线性超声是检测塑性损伤、疲劳损伤、蠕变损伤等材料早期损伤的有效方法之一[1−3]。材料的宏观力学性能与微观组织结构演化具有直接联系。超声非线性是由材料的非线性应力应变关系引起的，而金属材料的非线性应力应变关系是由晶格和位错等材料微结构演化造成的[4]。金属材料的损伤程度可以使用位错、滑移等微结构改变造成的累积塑性来表征，为了定量地描述超声非线性与材料微结构之间的关系，已经建立了一系列的理论模型，如位错弦模型[5]、位错偶模型[6]以及累积应变模型[7]等。相比于实验测量，有限元模拟可以快速、高效地获得材料微结构改变与超声非线性响应之间的定量关系，已被越来越多的应用于超声非线性研究中。Zhu 等[8]使用有限元法模拟了不同塑性损伤30Cr2Ni4MoV试样非线性超声响应，并进行了实验验证。但由于需要通过微观组织照片统计材料位错密度，一方面实验工作量大，应用难度高；另一方面，透射电镜(Transmission electron microscope,TEM)统计位错密度的区域十分微小(通常为µm 级)，而实际材料不同区域由于变形情况不同，位错密度也通常不同，进一步限制了其应用。本文基于Kocks-Mecking 模型与混合位错超声非线性理论模型，建立材料超声非线性响应有限元仿真模型，模拟不同塑性损伤时材料超声非线性响应，以获得材料塑性损伤-位错演化-超声非线性之间的关系，避免了繁琐的TEM 统计位错密度过程，并开展了实验验证，为材料塑性损伤的超声非线性评价提供理论基础。

1 实验方法

实验材料35CrMoA钢，其化学成分(质量分布，%)为C 0.357、Cr 1.025、Mo 0.188、Si 0.212、Mn 0.688、P 0.015、S 0.0048，Fe 余量。试样首先按照GB/T 228.1–2010《金属材料拉伸试验第1 部分：室温试验方法》在室温下进行拉伸试验，应变速率控制，加载速率2.0 mm/min。共进行6 组试验，每组2根试样，A0为原始试样，作为参考，A5组拉断，以获得试样的最大拉伸量，A1～A4 组试样分别拉伸至最大拉伸量的20%、40%、···、80%，试样相应的塑性变形分别为0.4%、3.5%、6.8%和11.2%，以分别获得不同拉伸损伤试样。拉伸试样尺寸如图1所示。

图1 拉伸试样尺寸(单位：mm)Fig.1 Dimension of tensile test specimen(Unit:mm)

随后对制备的不同塑性变形拉伸试样和原始试样进行非线性超声检测实验。测试平台为RITEC SNAP RAM-5000非线性超声测试系统，如图2所示。

图2 非线性超声检测系统示意图Fig.2 Experimental setup for nonlinear ultrasonic measurements

使用纵波法进行检测，发射探头和接收探头中心频率分别为5 MHz和10 MHz，探头直径ϕ6 mm。发射信号为5 个周期的脉冲串波，空间长度约为6.0 mm，发射信号中心频率5 MHz，使用汉宁窗调制，发射信号波形如图3所示。

图3 发射信号波形Fig.3 Waveform of the excitation signal

固体介质中的非线性应力-应变关系可描述为

式(1)中，E为弹性模量，σ为应力，ε为应变，β为二阶非线性系数。在应变较小时，应变与位移的关系为

式(2)中，u为x方向上的位移分量。忽略散射和衰减的影响，一维纵波在固体介质中的波动方程为

式(3)中，ρ为介质的密度，x为波传播的距离，t为时间。将式(1)~(2)带入式(3)中，并忽略二阶以上高阶项可以得到非线性介质中的一维纵波波动方程：

当入射波为单频正弦波，即u=A1sin(ωt)，其中A1位基波幅值，ω为角速度，根据摄动理论，波动方程的近似解为

式(5)中，k为波数。根据式(5)，二次谐波幅值A2为

那么，材料的二阶非线性系数可表示为

根据式(7)，只需要对实验测量的时域接收信号进行快速傅里叶变换(Fast Fourier transform,FFT)转换，得到接收信号中基波和二次谐波的幅值A1和A2，就可以得到材料的二阶非线性系数。实验中为了避免超声波近场干涉的影响，选取激励信号经试样下上表面分别反射后的二次波作为接收信号。

2 有限元模拟方法

2.1 位错超声非线性理论模型

金属材料的塑性损伤与位错结构的演化直接相关。在拉伸载荷作用下，材料内部的位错将发生增殖、堆积、缠结等变化，并引起超声非线性参数的改变。位错运动时会被材料内部的杂质原子、第二相粒子等钉扎，相邻两钉扎点之间的位错线会在应力的作用下形成类似弦的弓出。当周期性的应力波作用在位错弦上时，位错弦就会产生受迫振动，使入射波发生波形畸变，产生高次谐波。晶体中弹性波引起的附加应力∆σ和附加应变∆ε之间的关系为[8]

式(8)中，

式(9)中，µ为剪切模量，b为伯氏矢量的模，ν为泊松比，Λ为位错密度，L为位错弦长度的一半，θ为位错线与伯氏矢量的夹角，σb为背应力，Ω和R分别为剪应变和剪应力转变为纵向应变和纵向应力的转换因子。AH2和AH3分别为晶格的二阶和三阶Huang 系数，fe和fs分别为刃型位错和螺型位错在总位错中所占的比例。超声非线性系数β可以表示为[4]

多数情况下，4(1−ν)ΩΛL2R(1+νfs−2νfe)−1/3µ要远小于1/AH2可以忽略其影响。因此，超声非线性系数β可进一步简化为

本文将根据式(4)通过编写材料本构模型模拟拉伸损伤35CrMoA钢试样的非线性超声响应。

2.2 位错密度演化模型

金属材料的塑性变形与位错运动有关，根据Kocks-Mecking 模型[9]，金属变形抗力σs只与位错密度Λ有关，可表示为

式(12)中，α为常数，大多数金属为0.5。在塑性变形中，位错密度的变化率为

式(13)中，k1和k2分别为位错生成和湮灭系数。位错湮灭是动态回复过程的结果，在室温拉伸中，可以忽略其影响。通过对35CrMoA 钢流变曲线进行拟合，就可以求得系数k1。

2.3 有限元模型

在均匀各向同性介质中，超声非线性来源主要有材料非线性、几何非线性和塑性损伤等。通常认为塑性损伤引起的超声非线性主要来源于材料中位错的演化。本文将使用有限元法研究位错演化导致的塑性损伤引起的超声非线性响应。考虑到超声纵波主要引起试样的纵向变形而横向变形很小，因此可以将模型近似简化为二维平面模型，有限元模型示意图如图4所示。

图4 有限元模型示意图(单位：mm)Fig.4 Schematic diagram of the simulation model(Unit:mm)

在模型上表面中心6 mm(与发射探头尺寸相同)范围内施加汉宁窗调制的5 个周期的正弦波应力边界条件模拟激发信号，应力幅值为20 MPa。有限元模型使用四阶拉格朗日单元，为了保证计算的收敛性，每个波长需要约1.5 个网格单元解析[10]，钢中超声纵波的波长约为1.2 mm，因此有限元模型单元网格尺寸∆y为0.8 mm。计算中时间步长∆t应满足

式(14)中，cL为钢中超声纵波波速。计算中使用的材料参数为AH2=−AH3= 195 GPa，µ= 82 GPa，ν= 0.3，b= 2.5 nm，L= 23 nm，转换因子Ω和R均取0.33[11]，并且假设刃型位错和螺型位错在总位错中各占一半。图5为应变ε= 0.112 时，超声波在试样中的传播过程。

图5 不同时刻应力波在试样中的传播Fig.5 Propagation of elastic waves in the specimen at different times

可以看出，超声波约在时间t= 1.4 µs 后传播到接收探头位置，并在试样内发生了多次反射。对于文中模拟试样，超声非线性主要来自于材料非线性。图5中接收信号的时域波形和频谱分布如图6所示。

图6中一次波是发射信号经过试样直接到达接收探头的信号，二次波是发射信号依次经过试样下表面和上表面反射后到达接收探头的信号。使用汉宁窗截取图6(a)中时域接收信号的二次波(t=4～5.5 µs)信号，并进行FFT可以得到图6(b)中的接收信号频谱分布。可以看出，由于材料的非线性应力应变关系，接收信号在2f0频率处出现了二次谐波。

图6 接收信号Fig.6 Received signal in time

3 结果与讨论

为了研究不同塑性变形下材料超声非线性系数的变化规律，将不同塑性变形试样超声非线性参量相对于原始未拉伸试样超声非线性参量β0为参考进行归一化处理，归一化相对超声非线性系数与塑性变形的关系如图7所示。

图7 不同塑性变形下归一化相对超声非线性系数Fig.7 Effect of plastic strain on normalized nonlinearity parameter

可以看出，超声非线性系数随着塑性变形的增加逐渐增大。在塑性变形的早期阶段，超声非线性系数增加的主要原因是位错密度的增加；而在塑性变形后期，超声非线性系数的增加主要与位错墙和位错胞的形成有关。在塑性变形的早期阶段，模拟结果低于实验结果，其原因可能是在塑性变形初期，在位错密度较高的区域出现位错缠结，阻碍了位错运动，从而降低了位错超声非线性响应[12]。本文由于只考虑了平面位错演化对超声非线性的作用，在塑性变形后期，随着位错密度的增加，位错之间相互堆积，形成位错胞和位错墙，而位错胞和位错墙引发的超声非线性响应高于平面位错[13]，因此，在塑性变形后期计算结果低于实验结果。

4 结论

通过实验和有限元模拟的方法研究了超声纵波在拉伸变形35CrMoA 钢试样中的超声非线性响应，得到以下结论：

(1)超声非线性系数与塑性变形具有显著的相关性，金属材料塑性损伤引起的超声非线性响应主要来自于位错。文中建立的有限元模型可以较好地模拟不同塑性损伤下35CrMoA 钢的超声非线性响应。

(2)在塑性变形的早期阶段，超声非线性系数模拟结果低于实验结果，其原因可能是在塑性变形初期，在位错密度较高的区域出现位错缠结，阻碍了位错运动，从而降低了位错超声非线性响应。

(3)在塑性变形后期，随着位错密度的增加，位错之间相互堆积，形成位错胞和位错墙，而位错胞和位错墙引发的超声非线性响应高于平面位错，因此，在塑性变形后期超声非线性系数计算结果低于实验结果。