考虑退化特性相关性的航空电连接器可靠性分析方法

段 雨 男，段 富 海，曹 慧

(大连理工大学 机械工程学院,辽宁 大连 116024)

0 引 言

电连接器作为特种基础性元件，在航空、航天、电子、通信等行业应用广泛．一架飞机上各类航空电连接器数量巨大，作用地位非常重要，要求其必须在各种恶劣苛刻环境条件下可靠工作，如果出现故障，将会导致与之关联的整个系统发生故障．

针对电连接器这类高可靠性、长寿命产品的可靠性评估，目前一般采用加速退化试验与Wiener 过程结合的方法．陈磊磊[1]在分析电连接器接触对接触电阻的微观失效机理基础上，采用基于Wiener过程与加速退化试验结合的方法，对电连接器进行了可靠性评估．申敏敏[2]建立了贮存条件下的Wiener过程加速退化模型，并引入了描述测量误差的参数，提高了预测精度．王浩伟等[3]研究了非线性Wiener过程在电连接器退化过程中的应用．Park等[4]用对数化的方法使产品的退化数据线性化，进而采用线性Wiener过程简化模型复杂程度．

但上述研究对电连接器产品间的个体差异考虑较少．事实上由于加工工艺、制造误差、运行环境等因素的影响，不同的产品会展现出不同的退化轨迹，即使对同批次产品总体进行可靠性评估时，也需要考虑产品之间的个体差异．基于以上分析，本文采用带随机效应的Wiener退化过程，建立单一退化特征下多应力综合加速退化模型，并采用基于Bayesian更新的EM算法[5]对参数进行估计．

此外，在研究电连接器可靠性时，往往只针对一种退化特性展开研究，如Flowers等[6]对电连接器插针在不同振动水平、频率下的微动磨损情况进行了研究．支宏旭[7]研究了温度和电流应力对电连接器的接触电阻退化的影响．骆燕燕等[8]研究了长期作用下，振动对电连接器接触件接触应力松弛的影响．夏宏运[9]研究了贮存条件下温度和插拔对电连接器接触电阻的影响．但上述研究对各退化特性间的相互影响考虑较少，实际上随着某一退化特性退化量的增加，其他退化特性退化量的增长速度会受到影响．针对此情况，本文采用Copula函数描述各退化特性间相关性，建立考虑多个退化特性的退化模型，为综合评估电连接器的可靠性提供参考依据．

1 基于Wiener过程的退化特性建模

1.1 随机效应Wiener退化模型

Wiener过程广泛应用于退化建模中，其形式为

X(t)=X(0)+λt+σB(t)

(1)

式中：X(t)是产品在t时刻的退化量；X(0)是初始退化量，通常取X(0)=0；λ>0，为漂移系数；σ为扩散系数；B(t)为标准布朗运动．

Wiener过程具有独立增量性质，且在任意时刻t～t+Δt的增量服从正态分布[10]，即ΔX(t)=X(t～t+Δt)-X(t)，ΔX(t)～N(λΔt，σ2Δt)，则X(t)的概率密度函数为

(2)

设X(t)首次达到失效阈值ξ(ξ>0)时产品失效，定义失效时间τ是退化过程{X(t)，t≥0}的退化量首次达到或超过失效阈值的时间，即：

τ=inf{t|X(t)≥ξ}

(3)

则τ的分布服从逆Gaussian分布[11]，其概率密度函数为

(4)

分布函数为

(5)

其中Φ(·)为标准正态分布的分布函数．

可靠度函数为

Rτ(t|λ，σ，ξ)=1-Fτ(t|λ，σ，ξ)

(6)

带随机效应的失效时间τ的概率密度函数变为

(7)

分布函数变为

(8)

可靠度函数变为

(9)

1.2 加速退化模型

加速退化试验思想是在失效机理保持一致的条件下，对产品施加大于工作状态时的应力，以加速其退化过程，获得产品的加速退化数据，然后通过推导得到产品在工作应力水平的退化模型，达到缩短试验时间、提高试验效率的目的．

对于Wiener过程，在加速退化试验中一般认为漂移系数λ与加速应力有关，而扩散系数σ与应力无关[12]．针对恒定应力加速退化试验中的温度及振动双应力，可采用如下的加速模型：

(10)

式中：a、b1、b2为常数，T为温度应力(K)，f为振动应力(g2/Hz)．

(11)

即

(12)

模型中的所有未知参数

1.3 参数估计

设有n个样本，对每个个体i在m个时刻ti，j的退化数据进行统计监测，得到xi，j=X(ti，j)，其中i=1，…，n，j=1，…，m．X为所有样本的退化数据全体，Xi对应为第i个样本的所有退化数据．Δtj=tj-tj-1；Δxi，j=xi，j-xi，j-1，对应于Δtj时间段内的退化增量．

设第i个产品的漂移系数为λi，令Ω={λ1，…，λn}．给定某一漂移系数λi，由式(2)可知，其对应的退化数据Xi服从正态分布，即：

(13)

则关于退化数据X和所有漂移系数Ω的对数似然函数为

(14)

由于模型中考虑电连接器间的个体差异，引入了λi，使得模型中含有隐含参数，普通的参数估计方法如极大似然估计、矩估计等方法不再适用，故本文采用基于Bayesian更新的EM算法[13]．

EM算法每次迭代由E步(期望步)和M步(极大步)构成．E步利用已观测数据的期望代替λi；M步对求过期望后的对数似然函数取极大值．通过E步、M步不断迭代逐步改进模型的参数，直至达到精度要求为止[14]．与此同时，在推得λi的后验分布依然为正态分布的条件下，利用Bayesian公式，做到与退化数据同步更新，相较于普通的EM算法提高了估计精度．具体λi后验估计如下：

p(λi|Xi，ψ(k))∝p(Xi|λi，ψ(k))p(λi|ψ(k))∝

(15)

又已知Xi和ψ(k)，且λi先验估计服从正态分布，有

(16)

对比式(15)与(16)可得

(17)

(18)

则将式(17)和(18)代入式(14)中代替λi，有

E步：

Q(ψ|X，ψ(k))=EΩ|ψ(k)[L(ψ|X，Ω)]=

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

至此所有未知参数均可求出．

2 基于Copula函数的多退化特性建模

2.1 Copula函数理论

在对产品的多个退化特性进行可靠性评估过程中，往往已知各退化特性间存在着相关关系，但由于其中的相关机理十分复杂，难以得到具体的相关系数，无法通过协方差的方法确定其联合分布，此时可通过Copula函数解决这一问题．

Copula最早由Sklar提出，旨在将多维分布函数与各边缘分布函数连接起来，此定理将联合分布H(y1，y2，…，yn)中随机变量各自的随机特性用其各自边缘分布F(y)描述，而随机变量间的相关性特性则由Copula函数Cn(u1，u2，…，un)描述，极大简化了联合分布函数的建模复杂度，提高了相关性建模的可行性．

2.2 常用的Copula函数及其选择

常用Copula函数中代表性的包括Gumbel Copula、Clayton Copula、Frank Copula和t-Copula[16]．

(1)Gumbel Copula

(24)

其中θ为待定参数，θ∈[1，+∞)，当θ→0时，u，v→不相关．

(2)Clayton Copula

(25)

其中θ∈[0，+∞)，当θ→+∞时，u，v→完全相关．

(3)Frank Copula

(26)

其中θ∈(-∞，0)∪(0，+∞)，当θ>0时，u，v→正相关，当θ<0时，u，v→负相关．

(4)t-Copula

(27)

其中Tθ，ρ表示相关系数为θ、自由度为ρ的二元标准t分布函数．

由于不同的Copula函数即使在参数θ相同的条件下所描述的相关结构也不尽相同，Copula函数的选择是否合适，直接关系到多变量之间的相关性描述是否准确．

从如图1所示4种Copula函数的密度函数图可见，Gumbel Copula函数适合描述上尾相关、下尾渐进独立的非对称尾部随机向量；Clayton Copula函数适合描述下尾相关、上尾渐进独立的非对称尾部随机向量；Frank Copula函数适合描述尾部渐进独立的对称尾部随机向量；t-Copula函数适合描述尾部渐进相关的随机向量．因此，该4种函数模型便可以描述绝大部分相关关系．

(a)Gumbel Copula

更具体的选择方法，可通过AIC准则对模型进行检验，AIC准则的数学表达式为

A=-2logLe+2N

(28)

其中logLe表示整体对数似然函数，N为未知参数个数．

AIC值越小，说明拟合程度越高．

2.3 相关多退化特性建模

Copula函数可以对多元随机变量进行建模，即采用vine Copula函数，而二元是多元的基础和组成单元，因此本文选取较为典型的二元相关退化特性进行相关性建模，并假设每个退化特性均服从前文所建立的退化模型．

Y=(y1y2)，是二维退化向量，其联合分布函数为H(y1，y2)，对应边缘分布函数分别为F(y1)、F(y2)，则其联合分布函数根据Sklar定理可表示为

H(y1，y2)=Cn(F(y1)，F(y2)；θ)

(29)

其中Cn(u1，u2)为二维Copula函数；θ为Copula函数中反映相关性的待估参数．

对应的联合概率密度函数为

h(y1，y2)=c(F(y1)，F(y2)；θ)·f(y1)·f(y2)

(30)

其中c(F(y1)，F(y2)；θ)为Cn(F(y1)，F(y2)；θ)的概率密度函数．

由于仅含有未知参数θ，故对式(30)采用极大似然估计法，即可求出未知参数θ的估计值．

当采用独立假设算法时[17]，电连接器的联合可靠度函数为各退化可靠度函数的乘积：

R(t)=R1(t)·R2(t)

(31)

当采用Copula函数算法时，可靠度函数为

R(t)=P(min(T1，T2)>t)=P(T1>t，T2>t)=

R1(t)+R2(t)-1+Cn(F(y1)，F(y2)；θ)

(32)

当采用最薄弱环节算法时[17]，可靠度函数为

R(t)=min(R1(t)，R2(t)，…，Rn(t))

(33)

3 验证算例

3.1 接触电阻退化特性可靠性评估

以某型航空电连接器接触电阻为研究对象，分析其单一退化特性．根据《电连接器试验方法》(GJB 1217—91)规定，其接触电阻超过5 mΩ，则视为接触失效．设计其在温度及振动综合应力下的加速退化模拟数据．为保证电连接器在高应力下的失效机理不变，温度不得超过158 ℃[18]．具体方案如下：

(1)设置S1、S2、S3、S44组应力水平，如表1所示．

(2)每组应力水平下设置6个电连接器样本数据，各应力下的模拟退化数据如图2所示．

在得到各应力下退化数据后，需要检验电连接器的退化量分布是否服从Wiener过程．

表1 各组应力水平设置Tab.1 Stress level setting of each group

(a)应力S1

前文中曾提到，在相等的时间间隔Δt内，产品的退化增量ΔX(t)服从正态分布，所以本文采用Anderson-Darling统计检验方法对相等时间间隔内每个样品退化增量ΔX(t)进行正态性检验，若计算得到p>0.05，说明每个退化增量服从正态分布[19]，则整个退化过程服从Wiener过程．

采用Minitab软件进行计算，得到各组数据p值如表2所示，由于篇幅限制，展示部分图像如图3所示．

表2 各组数据p值Tab.2 p Value of each group

(a)应力S1下样品1

由表2可以看出，所有退化增量p值均大于0.05，故可以认为整个退化过程服从Wiener过程，可以采用前文建立的退化模型．

图4 工作应力下接触电阻失效概率密度函数曲线Fig.4 Failure probability density function curve of contact resistance under working stress

图5 工作应力下接触电阻可靠度曲线Fig.5 Reliability curve of contact resistance under working stress

本文方法与文献[15]方法对模拟数据计算得到可靠度曲线的比较见图6，文献为不考虑随机效应的预测方法．可见考虑个体差异的电连接器可靠度略低于文献[15]所采用的方法，说明不考虑电连接器个体差异情况下，计算得到的电连接器可靠度存在一定风险．

图6 可靠度曲线比较Fig.6 Reliability curve comparison

3.2 相关多退化特性可靠性评估

实际工作中，电连接器的接触电阻增大会导致电连接器接触件部分温度升高，软化接触件金属，使接触压力减小，压力减小会进一步增大接触电阻，所以电连接器的接触电阻与接触件正压力两退化特性间存在着相关关系．因此本文研究接触电阻和接触压力松弛率的二元相关退化模型．

图7 接触压力松弛率失效概率密度函数曲线Fig.7 Failure probability density function curve of contact pressure relaxation rate

图8 接触压力松弛率可靠度曲线Fig.8 Reliability curve of contact pressure relaxation rate

将两概率密度函数代入式(30)，计算各Copula 函数的参数θ估计值如表3所示．

表3 Copula函数参数估计值Tab.3 Parameter estimation value of Copula function

下面对Copula函数进行选择．采用前文方法，计算4种Copula函数的AIC值．将求得的各参数估计值代入式(28)，各AIC值如表4所示．

表4 各Copula函数AIC值Tab.4 AIC value of each Copula function

从表4可见，Frank Copula函数对二元相关退化特征的联合退化模型拟合效果最好，将θ值代入式(32)，得到Frank Copula相关可靠度函数．

最终，将采用式(31)的独立假设算法可靠度曲线、采用式(32)的Frank Copula相关算法可靠度曲线、采用式(33)的两条最薄弱环节算法可靠度曲线共4条曲线置于同一图中进行对比，如图9所示．

图9 电连接器可靠度曲线Fig.9 Reliability curve of electrical connector

由图9可见，在电连接器使用初期，系统可靠度均保持着较高水平，随时间增加，3种算法的可靠度结果差异愈加明显．其中，采用最薄弱环节的算法可靠度最高，采用独立假设算法的可靠度最为保守，二者分别适用于退化过程相互独立的两特性之间，以及退化过程完全相关的特性之间．

而采用Frank Copula相关算法的可靠度介于二者之间，其适用于各退化特性间存在着一定联系，但并不完全相关的情况．这种关系在实践中更为常见，适用于工程实际中的大多数结构部件，因此用该算法计算出的可靠度更加契合真实的可靠度．

4 结 论

(1)航空电连接器由于制造误差、加工工艺等因素存在个体差异，传统基于Wiener过程的退化模型已经无法满足对电连接器可靠性评估要求．本文通过引入随机参数的方法建立基于随机效应的Wiener过程退化模型，从实例分析结果中可见，考虑个体差异后产品的可靠度略低于传统方法的．

(2)针对目前较少有文献研究同时考虑电连接器多个退化特性的情况，提出多退化特性建模方法，采用Copula函数描述各退化特性间的相关性，简化了联合退化特性分布函数建模难度，同时该方法可应用于其他产品的多退化特性研究，具有一定实用价值．