循环节的认定应遵循简写法的“法理”

张琦

[摘 要]循环小数是一个常见的数学概念，教材对其有着严格定义，它也是一个母概念，依次衍生出“循环节”“简写法”等子概念。在简写循环小数时，因为“循环节”出现了“替补”，所以造成循环节认定上的麻烦和简写的争议。因此，循环节的认定应遵循简写法的“法理”。

[关键词]循环节;简写;循环小数

四年级期末试卷中有这样一道填空题：无限小数7.5656565……简记法是（ ），如果根據四舍五入法保留两位小数是（ ）。对于第二个空，学生的答案“7.57”高度统一;对于第一个空，学生却有两种截然不同的答案。同样的，全体阅卷教师产生了严重的分歧并进行了激烈的争辩，但直到最后仍未有定论，最后只能将两种答案都算作正确答案，才算平息风波。虽然评分标准可以权宜处理，而正确答案必然只有一个。

下面笔者结合所思所想详细论述这道题中有关循环节的认定方法。

一、带有非循环数字的写法

有教师坚持认为7.5656565……的循环节是65，原小数应简记为7.565，循环节只有两位数字，所以根据简写规则，应该只保留一个循环节，并在循环节的首位和末位数字上面描画一个小圆点，从这一点看，这种简记方式完全符合循环小数的简写规则。而用一般方法书写循环小数时，由于小数数位的无限重复，所以到最后用省略号表示，但是省略号之前的数位至少已经将依次不断重复的数字呈现出来了，后面省略的部分是不言而喻的，如5.1212121212……，很容易让人推断出省略号省略的部分是不断重复的“12”，如果省略号之前没有揭示依次不断重复的规律，后者没有规律可循，如3.1415926……，这就是一个无理数，无法简写，只能借用一个新字符（如“π”）来表示。

也就是说，在用一般方法表示循环小数时，为了明白无误地显露循环节，一般要将一个完整的循环节重复列出2至3组，再加上省略号，而小数中的已显示部分，最后是以5结尾，说明数字5就是已显示的最后一组循环节的最后一个数字，据此推断7.5656565……的循环节应是65。

综合判断，原小数已经显示了两组循环节“65”，而且可以看到，这个循环小数是一个混合循环小数，也就是不是所有小数数位都参与循环，十分位上的数字5就是独立存在的，不参与循环，这也符合循环小数的定义：一个小数，从小数部分的某一位开始，一个或者几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫作循环小数。从定义中的“某一个”可以看出，循环小数的小数部分是可以包含非循环数字的，但是这一个（或多个）循环数字必须出现在第一个循环节之前，如循环小数3.2471818181818……，第一个循环节“18”出现在万分位和十万分位，而之前的十分位、百分位、千分位则属于独立的一次性非循环数字，而非循环数字出现在中间，那么循环节只能从非循环数字后算起，如循环小数3.1818182471818181818……，循环节仍是“18”，但是这个循环节“18”只能从第11、12位小数开始算起，简写为[3.181818247]18，而不能是3.18247，紧贴小数点后出现三次的“18”只能算是“非循环数字”，与后面重复出现的“18”有天壤之别。

同理，小数7.5656565……首个出现的循环节应该是第2、3位小数，循环节前出现一个非循环数字“5”，此循环小数可简写为[7.5]65。

二、不带非循环数字的写法

有的教师认为7.5656565……的循环节是56，仔细观察这个小数，不难发现它是从第一位就开始循环，以第1、2位小数为循环节，并且在一般表示法中已经显示了三组，7.5656565……最后一个数字5可以视为一个循环节写到一半，省略号省略的部分应该是以6开头的补充循环节“656565……”可简写为[7.]56。

这个理由也完全站得住脚，完全符合循环小数和循环节的定义。因为循环小数的定义里说到（前文已提到，此处不再赘述），从小数部分的“某一位”起，“某一位”这平平无奇的三个字暗藏玄机：既然是某一位，那就可以从第一位开始，也就是从小数部分的十分位开始。这样一来，循环节就是从十分位起算到后面的某一位截止，此时循环节中也就不存在非循环数字，第一个循环节就应该是从贴近小数点的第一个数字算起，从后面重复的内容来看，确实只有“56”不断循环，而且完整显示出三组，最后省略号前一位到底是哪个数字已经无所谓，也就是在哪里截断后写上省略号，全凭人的直观意志。

这样的例子还有很多，一个小数的循环节越长，“伪循环节”就越多，如3.879879879……，循环节应该是“879”，规范的简写法应该是[3.]879。但是，如果硬将第一位小数8定性为“非循环数字”，那么循环节摇身一变就成为“798”，从第二位数字开始循环;如果将第1、2位数定义为“非循环数字”，那么循环节又变为“987”，从第三位数字开始循环……这全是因为循环的周期性和递补性所致。

三、从简写法的“法理”上找答案

首先从循环小数的专业定义说起，现代汉语词典这样解释：从小数点后面某一位起到某一位止，一个或者几个数字总是依次不断重复出现，这样的小数就是循环小数。其中依次不断重复出现的数字叫循环节。循环小数的缩写法，是将第一个循环节之后的数字一概省略，而在这唯一一个循环节的首尾数字上标记一个小圆点。

例如0.33333……从小数部分第一位数字3起，开始不断重复这一个数字，因而，其循环节是3，简写为[0.]3;1.2333……从小数部分第二位数字3开始，不断重复出现这一个数字，其循环节仍然是3，简写法是[1.2]3;7.5656565……，严格来说，是从小数部分第一位数字5起到第二位数字6止，开始不断重复，因此循环节是56，简记作[7.]56;如果这个小数的十分位上不是5而换成别的数字，如7.0565656……，那么争议就会消失，毫无疑问，是从小数部分第二位数字5起到第三位数字6止开始循环，此时循环节是65，简记作[7.0]65……。

从简写法的“法理”上来讲，循环小数的简写本就是为了简略方便，因此在不改变数值大小的前提下，简写越简单越好。

综合比较分析后再来审视学生的两个答案。首先7.5656565……与[7.]56和[7.5]65等值，根据循环数字的复制性、周期性和递补性，循环部分是56循环还是65循环，其实都一样。再者，从形式上来看，[7.]56比[7.5]65更简略，便于书写，因此这道题的正确答案是[7.]56。

最后，换算成分数来考虑：[7.]56=[75699]，而[7.5]65=[7560990]=[75699]，显然，分数[75699]比[7560990]要简略，按此，也是选择[7.]56。

以上是笔者对循环节认定的一些看法，如有不当，敬请指教。

（责编 黄春香）