基于BDS-3五频超宽巷/宽巷组合的中长基线单历元定位方法

高 旺，潘树国，刘力玮，李 阳，惠 哲

（1. 东南大学 仪器科学与工程学院，南京 210096； 2. 自然资源部大地测量数据处理中心，西安 710054）

我国北斗三号（BDS-3）全球卫星导航系统已于2020 年7 月31 日正式开通，标志着北斗正式迈进全球服务时代。与北斗二号（BDS-2）在 B1I（ 1561.098 MHz ）、 B2I （ 1207.14 MHz ）、 B3I（1268.52 MHz）上播发三个频率信号相比，BDS-3在B1C（1575.42 MHz）、B1I（1561.098 MHz）、B2a（ 1176.45 MHz ）、 B2b （ 1207.14 MHz ） 和 B3I（1268.52 MHz）上播发五个频率信号[1]。更多的观测频率除了增加可用观测数量上的冗余外，还能通过组合构造出更多具有优良特性的组合观测值，通常具有长波长、弱电离层影响以及低噪声等特性。这些优势对于提升整周模糊度解算、周跳探测以及定位解算性能等具有显著的意义[2,3]。

使用多频组合观测值，最为突出的优势是一些整系数之和为零的超宽巷/宽巷模糊度能够较容易地求解。经典的三频模糊度解算方法，如TCAR 方法[4]、CIR 方法[5]，均是先解算出最易求解的超宽巷模糊度，在此基础上利用模糊度固定的超宽巷辅助宽巷解算，进而利用宽巷辅助窄巷解算。早期模型主要针对短基线并采用简单的无几何模型，在此前提下通常忽略电离层延迟的影响。后续学者在此基础上陆续提出了一系列改进的算法，更多地考虑了中长基线情况下电离层延迟的影响以及采用多星联立的几何相关模型，一定程度上扩展了三频模糊度解算模型的适用性和可靠性[6-8]。但是，需要指出的是，在中长基线情况下，由于非模型化误差、观测噪声等的存在以及受限于自身的观测值波长较短，窄巷模糊度仍然难以实现单历元瞬时固定，通常需要数个历元进行平滑或滤波。

尽管在中长基线情况下，窄巷模糊度难以实现瞬时固定，但如能充分利用模糊度容易固定的超宽巷/宽巷观测值，对于提升定位性能同样具有较大的价值。模糊度固定后的超宽巷/宽巷即类似于高精度的“伪距”，尽管无法提供类似窄巷的厘米级定位，但相比伪距观测值仍然具有较大的提升，且具有和伪距定位相当的实时性和连续性[9]。事实上，一些定位应用场景如车道级车辆导航、航道测量、高精度人员定位等，分米至亚米级的定位即可满足其精度要求，而在定位的连续性方面具有更高的要求。针对这一需求，文献[8-10]等利用GPS 或BDS-2 三频数据，提出采用三频超宽巷/宽巷观测值进行长距离实时精密定位，结果验证了中长基线情况下，三频超宽巷/宽巷观测值能提供单历元无需初始化的分米至亚米级定位。

针对BDS-3 五频信号，文献[3]研究了无几何模型应用于不同组合的模糊度解算性能，在82.5 km 的中长基线情况下，三个超宽巷模糊度单历元固定成功率接近100%，但宽巷和基础模糊度固定成功率仅分别为95.97%和75.88%，表明无几何模型有时难以实现中长基线宽巷和基础模糊度的单历元可靠固定。本文在已有三频超宽巷/宽巷单历元定位及BDS-3 五频模糊度解算研究的基础上，以实现可靠的中长基线单历元分米级定位为目标，研究无几何和几何相关模型相结合的BDS-3 五频超宽巷/宽巷组合模糊度单历元可靠解算模型和相应的单历元定位方法，并从理论和实测数据实验两个角度对模糊度解算和定位的性能进行分析和验证。

1 BDS-3 五频载波观测值组合模型

针对中长基线情况，考虑对流层和一阶电离层延迟影响的BDS-3 载波和伪距观测方程可表示为：

式中，Δ 表示站间星间二次差分算子；φ 和P 分别表示以距离为单位的载波和伪距观测值；下标j 表示卫星观测频率；ρ 表示站星距离；T 表示对流层延迟;1I 表示对应第一个频点上的一阶电离层延迟；表示第j 个频点上的电离层延迟系数， fj表示信号频率；λ 表示载波信号波长；N 表示整周模糊度；ε 表示观测值噪声。

对于式(1)中所示的观测方程，可对其进行观测值线性组合。五频情况下，按周以整系数组合的载波观测值可表示为[2-3]：

相对应的观测方程可表示为：

式(2)(3)中， ik( k=1,2, … ,5)表示组合系数。组合观测值相应的频率电离层延迟系数整周模糊度以及噪声放大系数可表示为：

2 长基线五频超宽巷/宽巷模糊度解算及定位模型

联立式(1)中所示的伪距方程以及式(3)所示的组合载波方程，可得式(5)所示观测方程。对于五频观测值，在满足整系数之和为零的众多组合中，仅有四个线性无关组合，即任意一个组合系数为零的整数组合均可由这四个线性无关组合通过线性组合得到[8]。考虑组合系数的任意性，式(5)中的四个超宽巷/宽巷组合理论上可有无穷多种选择。为了选取最优组合观测量，可采用分步解算的方法逐步选取最优的组合观测量[11]，具体步骤为：

（1）联立式(5)中的五个伪距观测方程与第一个超宽巷/宽巷观测方程进行联合解算，采用无几何无电离层（GIF）模型，共同估计双差几何项 Δρ + ΔT 、双差电离层延迟 ΔI 以及组合模糊度在[-10,10]的系数范围内进行遍历，选取求解精度最优的组合系数。由于消除了几何项和电离层项的影响，在忽略多路径误差影响的前提下，该模糊度的求解理论上仅受观测噪声的影响。通过遍历搜索，可得BDS-3五频组合中，模糊度求解精度最高的组合为(1,-1,0,0,0)，取双差伪距和载波观测值精度 σΔP和 σΔφ分别为0.5 m 和0.5 cm 时，模糊度先验求解精度为0.041 周，如表1 所示；

（2）当（1）中最优的(1,-1,0,0,0)超宽巷模糊度固定后，即可视为高精度的“伪距”观测值，与五个伪距观测方程共同辅助求解第二个超宽巷模糊度，同样按照（1）中的搜索原则进行遍历，可得次优的观测组合。需要说明的是，两个载波组合观测值联立解算时需要考虑组合观测值之间的交叉相关性[8]。通过遍历搜索可知，次优组合不唯一，有若干个组合的模糊度解算精度均为 0.043 周，选取其中组合系数较小的(0,0,-1,1,0)作为次优组合；

（3）次优组合确定后，两个超宽巷方程与伪距组合进一步联立解算，同样可得若干个解算精度相同的观测组合，选择(0,0,0,-1,1)作为第三个最优组合；按照同样的方式可得第四个最优组合(0,1,-1,0,0)。

上述各步骤中，各模糊度求解精度分别如表1 中模糊度固定数量为0～3 时对应精度所示，为了对比分析模糊度固定对后续模糊度解算的影响，模糊度固定数量为0 对应的列也给出了各组合直接与伪距观测值联合求解的模糊度精度。同时表1 的最后一行也给出了在不同模糊度固定数量情况下的站星距离估计精度，如模糊度固定数为 0 时的站星距离精度为0.960 m，即表示伪距求解的站星距离精度；而模糊度固定数为4 时，即表示四个超宽巷/宽巷均固定后的站星距离精度可达0.206 m。

表1 BDS-3 五频超宽巷（EWL）/宽巷(WL)模糊度及相应的站星距离估计精度Tab.1 Precision of BDS-3 EWL/WL ambiguity resolution and corresponding station-to-satellite distance estimation

从表1 中所示结果可以看出，采用无几何无电离层模型时，BDS-3 五频组合中，有三个超宽巷的模糊度求解精度较高，分别为0.041 周、0.043 周和0.061周，且该模型中不受几何项误差和电离层误差的影响，按照如式(6)所示的先验成功率计算公式，可得其四舍五入取整的成功率几乎为100%。同时可发现，第二和第三个组合观测值直接与伪距观测值联立求解也可获得较高的精度，尤其是第二个超宽巷组合，解算精度几乎相同。这表明在实际解算时，为简化计算的流程，可同步将该三个超宽巷组合与伪距联合求解，而无需分步解算。

式(6)中，σ 为观测值噪声造成的模糊度随机性误差。

当最优的三个超宽巷模糊度固定后，对应的站星距离估计精度可从0.960 m 提升至0.805 m，表明此时能实现定位精度的提升，但提升幅度非常有限，仍需继续求解第四个宽巷模糊度。与上述三个较易固定的超宽巷组合不同，第四个宽巷组合对应的求解精度仅为0.207 周，对应的取整成功率为98.43%，表明此时直接取整存在一定的风险。但如果第四个宽巷模糊度能够正确求解，对应的站星距离估计精度将可大幅提升至0.206 m，这意味着当定位精度因子（Position Dilution of Precision, PDOP）为1 时，对应的三维定位精度将达到0.206 m。

为了提高上述第四个宽巷模糊度的求解精度，可联立多个卫星对的双差观测方程（包括伪距和模糊度固定的超宽巷方程），采用几何相关模型进行最小二乘联合求解。此时式(5)中的双差站星距参数 Δρ 将分解为[d x, d y ,d z ]三个坐标分量与对应方向余弦的乘积。由于对流层参数 ΔT 与坐标中的高程分量具有较强的相关性，为了保证参数之间的非耦合性，且考虑到对流层延迟的大部分可通过模型予以改正，因此在宽巷模糊度求解时忽略残余对流层延迟的影响，而不作为参数估计。此时的未知参数X 为：

求得宽巷模糊度的浮点解及其对应的方差-协方差矩阵后，采用最小二乘降相关（Least-Squares Ambiguity Decorrelation Adjustment, LAMBDA）方法进行模糊度的搜索和固定。模糊度固定后回代入观测方程，即可求得固定解情况下的坐标解d x, d y,dz。

为对比分析BDS-3 五频的优势，表2 给出了BDS-2 和GPS 三频观测值采用上述超宽巷/宽巷分步解算时的模糊度求解精度及最终的站星距离精度。联合表1 和表2 可以看出，BDS-3 在模糊度的解算和站星距离精度方面均优于BDS-2 和GPS，尤其在站星距离精度方面，BDS-3 相比BDS-2 和GPS 分别提升了60.08%和57.35%。

表2 BDS-2 和GPS 超宽巷（EWL）/宽巷(WL)模糊度及站星距离估计精度Tab.2 Precision of BDS-2 and GPS EWL/WL ambiguity resolution and corresponding station-to-satellite distance estimation

3 解算实验

为验证上述单历元超宽巷/宽巷模糊度解算和定位的性能，采用一组实测的BDS-3 五频中长基线数据进行验证。该基线数据来源于陕西省参考站网，观测日期为2020 年9 月22 日（24 小时），基线长度106.3 km，采样间隔为10 s。解算过程中，设定参与解算的卫星截止高度角为10 °，观测值随机模型采用指数高度角模型[12]，其中非差的伪距和载波精度分别设定为0.3 m 和2 mm。单历元解算时，首先采用无几何无电离层模型对单个卫星对的超宽巷进行解算，其中三个超宽巷模糊度与伪距观测方程同步解算（非分步）；其次利用模糊度固定的超宽巷方程联立伪距观测方程，采用几何相关模型，解算第四个宽巷模糊度。为减弱残余对流层延迟等非模型化误差对模糊度固定的影响，仅对高度角大于20 °的宽巷模糊度进行整数搜索。

该时段内包含五频数据的BDS-3卫星数及其对应的PDOP 如图1 所示，其中可视卫星数量在7～11 颗范围内波动，相应的PDOP 值在1.5～3.5 范围内，可以看出单BDS-3 系统满足独立进行定位的观测条件。

图1 BDS-3 可视卫星数及对应的定位精度因子Fig.1 Visible satellites of BDS-3 and corresponding position dilution of precision (PDOP)

超宽巷模糊度采用GIF 模型的解算偏差如图2 所示，图中不同的颜色对应不同BDS-3 卫星的结果，模糊度结果的比较真值采用多历元平滑的结果。为了对比分析第四个宽巷模糊度解算的效果，图2(d)也给出了第四个宽巷（0, 1, -1, 0, 0）组合采用GIF 模型解算的结果。四类模糊度结果的统计如表3 所示，表中给出了各个模糊度组合偏差的均方根（Root Mean Square, RMS）误差，以及模糊度偏差b 的分布情况。从图2(a)-(c)可以看出，（1, -1, 0, 0, 0）、（0, 0, -1, 1, 0）和（0, 0, 0, -1, 1）三个超宽巷组合的单历元模糊度偏差均在 0.5± 周内，对应的RMS 统计值均小于0.04 周，且在 0.2± 周以内的比例高于99.99%，这表明采用四舍五入取整方法即能够可靠固定。实际应用时，为了将取整的纳伪概率控制在较低的水平，可采用缩小的取整区间，根据本文实验，建议采用 0.2± 作为三个超宽巷的取整区间。从图2(d)可以看出，（0, 1, -1, 0, 0）宽巷组合则无法取得上述三个超宽巷相当的解算效果，其RMS 统计值为0.161 周，且有较多的模糊度偏差接近甚至超出 0.5± 周，这意味着如果直接采用四舍五入取整将存在较大的风险甚至导致取整错误。

图2 超宽巷/宽巷模糊度采用GIF 模型时的单历元模糊度偏差Fig.2 Single-epoch EWL/WL ambiguity biases with GIF mode

表3 超宽巷/宽巷模糊度解算结果统计Tab.3 Statistics of the EWL/WL ambiguity resolution

由于采用GIF 模型无法实现单历元可靠固定，因此对第四个宽巷模糊度采用几何相关模型进行多星联合解算。采用最小二乘计算后，根据模糊度浮点解及其相应的方差-协方差矩阵，可计算模糊度解算精度因子（Ambiguity Dilution of Precision, ADOP）和模糊度次优/最优方差比值（Ratio），分别如图3 和图4 所示。其中ADOP 表征了模糊度求解的先验精度，是从模型强度的角度评估模糊度解算的可靠性；而Ratio 则是通过比较最优固定解和次优固定解方差二次型，从后验角度评估解算的效果，一般设定为2～3，本文采用2.5 作为其阈值。

图3 宽巷模糊度精度因子Fig.3 WL ambiguity dilution of precision (ADOP)

从图3 可以看出，单历元宽巷模糊度解算的ADOP 均在0.12 周以内，等效于模糊度解算的先验成功率高于99.9%[13]；从图4 中可以看出绝大部分历元均能通过Ratio 阈值检验，仅有10 个历元低于该阈值，固定率可达99.88%。

图4 (0,1,-1,0,0)宽巷模糊度固定Ratio 值Fig.4 Ratio of (0,1,-1,0,0) WL ambiguity fixing

宽巷模糊度固定后，将模糊度回代入观测方程，即可求得固定解情况下的坐标解，通过与坐标真值比较，在北（N）、东（E）和天（U）三个方向上的定位误差结果如图5 所示。为了体现单历元超宽巷/宽巷定位解相比伪距定位的优势，图5(b)中也给出了采用式(5)中伪距观测值的定位解。两种模型的定位精度统计如表4 所示。采用单历元超宽巷/宽巷固定解模型，N/E/U 三个方向上的定位精度分别为0.161 m、0.187 m和0.457 m，可实现单历元分米级定位；而采用伪距观测值时，定位精度分别为0.386 m、0.389 m 和0.872 m，超宽巷/宽巷固定解相比伪距的定位精度在三个方向上分别提升了58.29%、51.93%和47.59%。

表4 超宽巷/宽巷及伪距定位精度统计(RMS)Tab.4 Statistics of the positioning results with EWL/WL and pseudorange observations

图5 超宽巷/宽巷及伪距定位精度对比Fig.5 Positioning error comparison with EWL/WL and pseudorange

4 结 论

以实现可靠的中长基线单历元分米级定位为目标，本文研究提出了一种基于BDS-3 五频超宽巷/宽巷组合的中长基线单历元定位方法。首先采用伪距/载波联合的无几何无电离层模型解算三个超宽巷模糊度，理论分析和实测数据实验均表明三个超宽巷模糊度具有较高的解算精度，单历元即可通过取整可靠固定；然后采用几何相关模型，联立多个卫星对的双差观测方程（包括伪距和模糊度固定的超宽巷方程），进行最小二乘求解第四个宽巷模糊度，实验结果表明单历元模糊度固定率可达99.88%。

通过理论分析可得，BDS-3 固定四个超宽巷/宽巷模糊度后，站星距离精度可达0.206 m，相比三频BDS-2 和GPS 分别提升60.08%和57.35%；中长基线实测数据结果表明，利用BDS-3 五频观测值，超宽巷/宽巷模糊度固定后在北/东/天三个方向的定位精度分别为0.161 m、0.187 m 和0.457 m，能够实现单历元实时分米级定位。